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绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 已知集合
，则
A.
B.
C.
D.
【1 题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合B 再求出交集.
【详解】
，
∴
，则
，
故选A．
【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
2. 若
，则
A.
B.
C.
D.
【2 题答案】
【答案】D
【解析】
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【分析】
根据复数运算法则求解即可.
【详解】
．故选D．
【点睛】本题考查复数
商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．
3. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.
某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》
的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共
有60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A.
B.
C.
D.
【3 题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为
70÷100=0.7．故选C．
【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
4. （1+2x2 ）（1+x）
4的展开式中x3的系数为
A. 12
B. 16
C. 20
D. 24
【4 题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】由题意得x3的系数为
，故选A．
【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
5. 已知各项均为正数的等比数列
的前4 项和为15，且
，则
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2
【5 题答案】
【答案】C
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【解析】
【分析】
利用方程思想列出关于
的方程组，求出
，再利用通项公式即可求得
的值．
【详解】设正数的等比数列{an}的公比为
，则
，
解得
，
，故选C．
【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．
6. 已知曲线
在点
处的切线方程为
，则
A.
B.
C.
D.
【6 题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得
，将点的坐标代入直线方程，求得
．
【详解】详解：
，
将
代入
得
，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
7. 函数
在
的图像大致为
A.
B.
C.
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D.
【7 题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由
的近似值即可得出结果．
【详解】设
，则
，所以
是奇函数，图象
关于原点成中心对称，排除选项C．又
排除选项D；
，排除选项
A，故选B．
【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，
注重了基础知识、基本计算能力的考查．
8. 如图，点
为正方形
的中心，
为正三角形，平面
平面
是线段
的
中点，则
A.
，且直线
是相交直线
B.
，且直线
是相交直线
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C.
，且直线
是异面直线
D.
，且直线
是异面直线
【8 题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】
利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
【详解】如图所示， 作
于
，连接
，过
作
于
．
连
，
平面
平面
．
平面
，
平面
，
平面
，
与
均为直角三角形．设正方形边长为2，易知
，
．
，故选B．
【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角形．
9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的
为
，则输出的值等于
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A.
B.
C.
D.
【9 题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】
根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.
【详解】输入的
为
，
不满足条件；
不满足条件；
满足条件
输出
，故选C．
【点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析．
10. 双曲线C：
=1 的右焦点为F，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若
，则
△PFO 的面积为
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A.
B.
C.
D.
【10 题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采
取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【详解】由
．
，
又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在
上，
，故选A．
【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间
距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的
高，便可求三角形面积．
11. 设
是定义域为
的偶函数，且在
单调递减，则
A.
B.
C.
D.
【11 题答案】
【答案】C
【解析】
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【分析】
由已知函数为偶函数，把
，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】
是R 的偶函数，
．
，
又
在(0，+∞)单调递减，
∴
，
，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
12. 设函数
=sin（
）(
＞0)，已知
在
有且仅有5 个零点，下述四个结论：
①
在（
）有且仅有3 个极大值点
②
在（
）有且仅有2 个极小值点
③
在（
）单调递增
④
的取值范围是[
)
其中所有正确结论的编号是
A. ①④
B. ②③
C. ①②③
D. ①③④
【12 题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得
，结合正弦函数
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的图像分析得出答案．
【详解】当
时，
，
∵f（x）在
有且仅有5 个零点，
∴
，
∴
，故④正确，
由
，知
时，
令
时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2 个也可能是3 个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当
时，
，
若f（x）在
单调递增，
则
，即
，
∵
，故③正确．
故选D．
【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思
想解三角函数问题，属于中档题．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13. 已知
为单位向量，且
=0，若
，则
___________.
【13 题答案】
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【答案】
.
【解析】
【分析】根据
结合向量夹角公式求出
，进一步求出结果.
【详解】因为
，
，
所以
，
，所以
，
所以
．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想
得出答案．
14. 记Sn为等差数列{an}的前n 项和，
，则
___________.
【14 题答案】
【答案】4.
【解析】
【分析】根据已知求出
和
的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果.
【详解】因
，所以
，即
，
所以
．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答
案．
15. 设
为椭圆
的两个焦点，
为
上一点且在第一象限.若
为等腰三角形，
则
的坐标为___________.
【15 题答案】
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【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆的定义分别求出
，设出
的坐标，结合三角形面积可求出
的坐标.
【详解】由已知可得
，
又
为
上一点且在第一象限,
为等腰三角形，
．∴
．
设点
的坐标为
，则
，
又
，解得
，
，解得
（
舍去），
的坐标为
．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直
观想象、逻辑推理等数学素养．
16. 学生到工厂劳动实践，利用
打印技术制作模型.如图，该模型为长方体
挖去四
棱锥
后所得的几何体，其中
为长方体的中心，
分别为所在棱的中点，
，
打印所用原料密度为
，不考虑打印损耗，制作该模型所需
原料的质量为___________
.
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【16 题答案】
【答案】118．8
【解析】
【分析】根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质
量.
【详解】由题意得，
，
四棱锥O−EFG 的高3cm， ∴
．
又长方体
的体积为
，
所以该模型体积为
，
其质量为
．
【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17. 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小鼠随机分成
两组，每
组100 只，其中
组小鼠给服甲离子溶液，
组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩
尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到
如下直方图：
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记
为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于
”，根据直方图得到
的估计值为
.
（1）求乙离子残留百分比直方图中
的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
【17 题答案】
【答案】(1)
，
；(2)
，
.
【解析】
【分析】(1)由
及频率和为1 可解得
和
的值；(2)根据公式求平均数.
【详解】(1)由题得
，解得
，由
，解
得
.
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为
，
乙离子残留百分比的平均值为
【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.
18.
的内角
的对边分别为
，已知
．
（1）求
；
（2）若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
【18 题答案】
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【答案】(1)
;(2)
.
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得
.(2)根据三角形面积公式
，又根据正弦定理和
得到
关于
的函数，
由于
是锐角三角形，所以利用三个内角都小于
来计算
的定义域，最后求解
的值域.
【详解】(1)根据题意
，由正弦定理得
，因为
，
故
，消去
得
．
，
因为故
或者
，而根据题意
，故
不成立，所以
，又因为
，代入得
，所以
.
(2)因为
是锐角三角形，由（1）知
，
得到
，
故
，解得
.
又应用正弦定理
，
，
由三角形面积公式有：
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.
又因
,故
，
故
.
故
的取值范围是
【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求
解），最后考查
是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.
19. 图1 是由矩形ADEB，Rt△ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，
∠FBC=60°，将其沿AB，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2 中的A，C，G，D 四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2 中的二面角B−CG−A 的大小.
【19 题答案】
【答案】(1)见详解；(2)
.
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【解析】
【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形
，
和菱形
内部
夹角，所以
，
依然成立，又因
和
粘在一起，所以得证.因为
是平面
垂线，所以易证.(2)在图中
找到
对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑
关于
的垂线，发现此垂足与
的连线
也垂直于
.按照此思路即证.
【详解】(1)证：
，
，又因为
和
粘在一起.
，A，C，G，D 四点共面.
又
.
平面BCGE，
平面ABC，
平面ABC
平面BCGE，得证.
(2)过B 作
延长线于H，连结AH，因为AB
平面BCGE，所以
而又
，故
平面
，所以
.又因为
所以
是二面角
的平面角，而在
中
，又因为
故
，所以
.
而在
中
,
，即二面角
的度数为
.
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【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者
粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转
化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力．
20. 已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）是否存在
，使得
在区间
的最小值为
且最大值为1？若存在，求出
的所有值；若
不存在，说明理由.
【20 题答案】
【答案】(1)见详解；(2)
或
.
【解析】
【分析】(1)先求
的导数，再根据
的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据
的各种范围，利用函数
单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出
,
的值.
【详解】(1)对
求导得
.所以有
当
时，
区间上单调递增，
区间上单调递减，
区间上单调递增；
当
时，
区间上单调递增；
当
时，
区间上单调递增，
区间上单调递减，
区间上单调递增.
(2)若
在区间
有最大值1 和最小值-1，所以
若
，
区间上单调递增，
区间上单调递减，
区间上单调递增；
此时在区间
上单调递增，所以
，
代入解得
，
，与
矛盾，所以
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不成立.
若
，
区间上单调递增；在区间
.所以
，
代入解得
.
若
，
区间上单调递增，
区间上单调递减，
区间上单调递增.
即
在区间
单调递减，在区间
单调递增，所以区间
上最小值为
而
，故所以区间
上最大值为
.
即
相减得
，即
，又因为
，所以
无解.
若
，
区间上单调递增，
区间上单调递减，
区间上单调递增.
即
在区间
单调递减，在区间
单调递增，所以区间
上最小值为
而
，故所以区间
上最大值为
.
即
相减得
，解得
，又因为
，所以无解.
若
，
区间上单调递增，
区间上单调递减，
区间上单调递增.
所以有
区间
上单调递减，所以区间
上最大值为
，最小值为
即
解得
.
综上得
或
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【点睛】这是一道常规
函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最
大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．
21. 已知曲线C：y=
，D 为直线y=
上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB 过定点：
（2）若以E(0，
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.
【21 题答案】
【答案】(1)见详解；(2) 3 或
.
【解析】
【分析】（1）可设
，
，
然后求出A，B 两点处的切线方程，比如
：
，又因为
也有类似的形式，从而求出带参数直线
方程，最后求出它所过的定点.
（2）由(1)得带参数的直线
方程和抛物线方程联立，再通过
为线段
的中点，
得出
的值，从而求出
坐标和
的值，
分别为点
到直线
的距离，则
，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.
【详解】(1)证明：设
,
,则
．
又因为
，所以
.则切线DA 的斜率为
，
故
，整理得
.
设
，同理得
.
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,
都满足直线方程
.
于是直线
过点
，而两个不同的点确定一条直线，所以直线
方程为
.
即
，
当
时等式恒成立．所以直线
恒过定点
.
（2）由（1）得直线
的方程为
.
由
，可得
，
于是
.
设
分别为点
到直线
的距离，则
.
因此，四边形ADBE 的面积
.
设M 为线段AB 的中点，则
，
由于
，而
，
与向量
平行，所以
，解得
或
.
当
时，
；当
时
因此，四边形
的面积为3 或
.
【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就
可以．思路较为清晰，但计算量不小．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
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一题计分。
22. 如图，在极坐标系
中，
，
，
，
，弧
，
，
所在圆
的圆心分别是
，
，
，曲线
是弧
，曲线
是弧
，曲线
是弧
.
（1）分别写出
，
，
的极坐标方程；
（2）曲线
由
，
，
构成，若点
在
上，且
，求
的极坐标.
【22 题答案】
【答案】(1)
,
,
,
(2)
,
,
,
.
【解析】
【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中
的取值范围.
(2)根据条件
逐个方程代入求解，最后解出
点的极坐标.
【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.
，
,
.
(2)解方程
得
，此时P 的极坐标为
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解方程
得
或
，此时P 的极坐标为
或
解方程
得
，此时P 的极坐标为
故P 的极坐标为
,
,
,
.
【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.
23. 设
，且
.
（1）求
的最小值；
（2）若
成立，证明：
或
.
【23 题答案】
【答案】(1)
；(2)见详解.
【解析】
【分析】(1)根据条件
，和柯西不等式得到
，再讨论
是
否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的
代入原不等式，便可得到
参数
的取值范围.
【详解】(1)
故
等号成立当且仅当
而又因
，解得
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时等号成立
所以
的最小值为
.
(2)
因为
，所以
.
根据柯西不等式等号成立条件，当
，即
时有
成立.
所以
成立，所以有
或
.
【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.
