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绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共4 页，23 小题，满分150 分，考试用时120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔
将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不
按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1. 已知集合
，则
=
A.
B.
C.
D.
2. 设复数z 满足
，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则
A.
B.
C.
D.
3. 已知
，则
A.
B.
C.
D.
4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽
喉至肚脐的长度之比也是
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端
的长度为26 cm，则其身高可能是
A. 165 cm
B. 175 cm
C. 185 cm
D. 190cm
5. 函数f(x)=
在[—π，π]的图像大致为
A
B.
C.
D.
6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为
阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的
概率是
A.
B.
C.
D.
7. 已知非零向量
满足
，且
，则
与
的夹角为
A.
B.
C.
D.
8. 如图是求
的程序框图，图中空白框中应填入
A. A=
B. A=
C. A=
D. A=
9. 记
为等差数列
的前n 项和．已知
，则
A.
B.
C.
D.
10. 已知椭圆C 的焦点为
，过F2的直线与C 交于A，B 两点.若
，
，则C 的方程为
A.
B.
C.
D.
11. 关于函数
有下述四个结论：
①f(x)
偶函数 ②f(x)在区间（
,
）单调递增
③f(x)在
有4 个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论
编号是
A. ①②④
B. ②④
C. ①④
D. ①③
12. 已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为2 的正三角形，E，F 分
别是PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球O 的体积为
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13. 曲线
在点
处的切线方程为___________．
14. 记Sn为等比数列{an}的前n 项和．若
，则S5=____________．
15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据
前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概
率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1 获胜的概率是____________．
16. 已知双曲线C：
的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C 的两条渐近线分
别交于A，B 两点．若
，
，则C 的离心率为____________．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17.
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，设
．
（1）求A；
（2）若
，求sinC．
18. 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1
底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，
BB1，A1D 的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N 的正弦值．
19. 已知抛物线C：y2=3x 的焦点为F，斜率为
的直线l 与C 的交点为A，B，与x 轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l 的方程；
（2）若
，求|AB|．
20. 已知函数
，
为
的导数．证明：
（1）
在区间
存在唯一极大值点；
（2）
有且仅有2 个零点．
21. 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方
案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙
药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只
时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药
的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得
分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白
鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得
分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分．甲、乙两种药的治愈率分
别记为α 和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求
的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，
表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲
药比乙药更有效”的概率，则
，
，
，其中
，
，
．假设
，
．
(i)证明：
为等比数列；
(ii)求
，并根据
的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C
参数方程为
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）求C 上的点到l 距离的最小值．
23. 已知a，b，c 为正数，且满足abc=1．证明：
（1）
；
（2）
．
