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人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用
综合检测2
一、单选题
1．曲线 在点 处切线的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设 是可导函数，且 ，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．
3． 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ．对任意正
数a，b，若 ，则必有（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．C． D．
5．函数 在 时有极值0，那么 的值为（ ）
A．14 B．40 C．48 D．14或40
6．函数 的导函数为 ，若已知 的图象如图，则下列说法正确的是（
）
A． 一定为偶函数 B． 在 单调递增
C． 一定有最小值 D．不等式 一定有解
7．若函数y＝x3＋ x2＋m在[-2，1]上的最大值为 ，则m等于（ ）
A．0 B．1
C．2 D．
8．已知函数 与 的图象如图所示，则函数 的递减区间为（
）A． B．
C． D．
9．函数 是 上的单调函数，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
10．函数 ，若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
12．已知锐角 ， 满足 ，则下列结论一定正确的是（
）
A． B．C． D．
二、填空题
13．已知 ， 为实数，函数 在点 处的切线方程为
，则 的值为______．
14．函数 的最大值为________.
15．已知 是定义在 上的函数 的导函数，且 ，则
， ， 的大小关系为_____
16．已知函数 是定义在R上的偶函数，其导函数为 ，若对任意的正实数，
，则不等式 的解集为______
三、解答题
17．（1）求函数 的极小值；
（2）求函数 的单调减区间.
18．已知函数 及点 ，过点 作直线 与曲线 相切（1）求曲线在点 处的切线 方程；
（2）求曲线过点 的切线 的斜率.
19．设函数 过点
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）求函数 在 上的最大值和最小值.
20．已知二次函数 .
（1）求 在点 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性
21．已知函数 ，a为实数.
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 在区间 上是减函数，求a的取值范围.22．已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 （其中 是 的导函数）有两个
极值点 、 ，且 ，求 的取值范围.参考答案
1．C
【分析】
求得函数 的导数，由导数的几何意义，可令 ，计算可得所求切线的斜率.
【详解】
解： 的导数为 ，
可得曲线 在点 处切线的斜率为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的斜率，熟练掌握导数的运算性质是解题的关键，是一道基
本题.
2．D
【分析】
由导数的定义可得 ，即可得答案．
【详解】
根据题意， ，
故 .
故选：D．【点睛】
本题考查导数的定义，属于基础题．
3．C
【分析】
设函数 ，得到 ，得到 在区间 上为单调
递减函数或常数函数，结合 ，即可求解.
【详解】
由题意，设函数 ，则 ，
所以函数 在区间 上为单调递减函数或常数函数，
因为 ，所以 ，即 .
故选：C.
4．B
【分析】
根据图象得出 的单调性即可.
【详解】
由图可知 在 ， 上递减，在 ， 上递增，
故
故选：B
5．B【分析】
由导数与函数的关系 得出 的值，再检验 ， 或 ，
是否成立.
【详解】
函数 ，
若在 时有极值0，可得
则 ，解得： ， 或 ，
当 ， 时， ，满足题意函数
在 时有极值0．
当 ， 时， ，不满足题意：函数
在 时有极值0．
．
故选：B
6．C
【分析】A.由函数 判断；B.由 的图象判断； C.由
结合函数的单调性判断；D.最小值是 和 正负不一定判断.
【详解】
A. 如函数为 ，则 符合题意，但
不是偶函数，故错误；
B.由 的图象，得 在 递减， 递增；在 递减，在 递增，
故错误；
C.由 ，所以 存在极小值 和 ，无论 是否存在，
均可得出 一定有最小值，故正确；
D.最小值不一定为负数，故错误；
.故选：C.
7．C
【分析】
利用导数研究函数的单调性，找出最值，解方程即可得到答案.
【详解】
，易知，当 时， ，当 或 时，，
所以函数y＝x3＋ x2＋m在 ， 上单调递增，在 上单调递减，又当
时，
，当 时， ，所以最大值为 ，解得 .
故选：C
8．D
【分析】
求出导函数 ，结合函数图象求出 成立的x的范围即可.
【详解】
解： ，
由图象： 和 时， ，即 ，
故 在 上递减，
故选：D.
9．D
【分析】
函数在 上时单调函数，等价于导函数大于等于 或小于等于 恒成立，列不等式求出
的范围即可．【详解】
函数 是 上的单调函数，即 或
(舍)在 上恒成立
，解得
故选：D
【点睛】
本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题．
10．B
【分析】
求导 ，可得 在 的单调性，利用单调性，即可得答案.
【详解】
因为 ，
所以 ，
当 时， ，则 在 为减函数，
因为 ，
所以 ，即 ，故选：B
11．A
【分析】
先求导数，利用单调性转化为 ，构造新函数
求解 的最小值即可.
【详解】
，由题意可知 在 恒成立，
即 恒成立，
设 ，
时， ， 为减函数；
时， ， 为增函数；
的最小值为 ，所以 ，
故选：A.
【点睛】
利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1） 在区间 上单调递增等价于 在区间 上恒成立；
（2） 在区间 上单调递减等价于 在区间 上恒成立.
12．D
【分析】
结合已知条件，构造函数 ，得： ，根据选项，逐一验证即可.
【详解】
，
即 ，
设 ，则 ，
所以 在 上是减函数，所以 ，
由 在 上是增函数，得 ，即 ，
同理可得 ，所以
故选：D
【点睛】解题关键在于利用 ，变为 ，
进而构造 ，
再利用导数进行判断选项，难度属于中档题
13．
【分析】
先求导，由直线的点斜式求得切线方程，再对照系数建立关于 的方程组，解之可求得
答案.
【详解】
因为 ，所以 在 处的切线为
．
，解得 ， ．
故答案为： .
14．
【分析】先求导，根据单调性求函数最大值即可.
【详解】
解： ，
∴当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
∵ ，∴ 的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】
易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要
分类讨论，基础题.
15．
【分析】
令 ，则 ，可以判断出 在
上单调递增，再由 ， ， 根据单调性即可比较大小.【详解】
令 ，则 ，
因为 对于 恒成立，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
，
，
，
因为 ，所以 ，所以 ，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是构造函数 ，利用导数判断出 在 上单调
递增，更关键的一点要能够得出 ， ， ，根据单调性即可比
较大小.
16．
【分析】根据条件可得函数 为偶函数，且在 单调递减，从而可得不等式.
【详解】
当 时， ，且 为偶函数，
在 单调递减，
，
解得： ，
故答案为： .
【点睛】
求解的关键在于构造什么样的函数，再利用导数研究函数的单调性，进而将不等式进行等
价转化.
17．（1） ；（2）
【解析】
分析：（1）求函数导数，令导函数为0，根据单调性可得极小值；
（2）求函数导数，令导函数小于0即可解得减区间.
详解：（1） ，
令 ，得 ， ，且 时， ；时， ； 时，
故 在 时取得极小值 .
（2）函数 的定义域为 ，
，
令 ，即： ，解得：
所以函数 的单调递减区间为 .
点睛：求函数 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解
方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左
右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右
正（左减右增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即
是极值也是最值.
18．（1） （2） 或
【分析】
（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式求出切线方程；
（2）利用导数的几何意义和斜率公式可解得结果.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以切线 的斜率为 ，又 ，
所以切线 方程为 ，即 .
（2）设切点为 ，
则 ，整理得 ，解得 或 ，
所以切线 的斜率为 或 ，
综上所述：切线 的斜率为 或
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，属于基础题.
19．（1）增区间 ， ，减区间 ，极大值 ，极小值
．（2）最大值 ，最小值 ．
【分析】
（1）将点代入函数解析式即可求得a，对函数求导，分析导函数的正负，确定单调区间及
极值；
（2）分析函数在此区间上的单调性，由极值、端点值确定最值.
【详解】（1）∵点 在函数 的图象上,∴ ,解得
,∴ ,∴ ,当 或 时,
, 单调递增;当 时, , 单调递减.∴当 时,
有极大值,且极大值为 ,当 时, 有极小值,
且极小值为
（2）由1可得:函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.∴
,又 , ,∴
【点睛】
本题考查函数单调区间、极值和最值的求法，求极值与单调区间都要分析导函数的零点，
但是注意导函数的零点并非一定是极值点，要结合零点两侧的单调性进行判断.
20．（1） ；（2）答案见解析.
【分析】
（1）对函数 求导，根据导数的几何意义，先求出切线斜率，进而可得切线方程；（2）先对 求导，分别讨论 ， 两种情况，根据导数的方法研究函数单调性，
即可得出结果.
【详解】
（1）由 得 ，
则 在点 处的切线斜率为 ，
又 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为
所以
当 时， 在 上恒正；
所以 在 上单调递增
当 时，由 得 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；综上所述，
当 时， 在 上单调递增；
当 时，当 时， 单调递减； 当 时，
单调递增.
【点睛】
本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，考查导数的方法求函数单调性，属于常考题型.
21．（1）答案见解析；（2） .
【分析】
（1）求出函数 的导函数 ，对 和 进行比较即可得到 的单调性；
（2）根据 的取值范围，分 和 进行求解，当 时分离出 ，根据
的单调性，即可得出 的取值范围.
【详解】
（1） ，
当 ，即 时， ， 在R上单调递增，
当 ，即 时，由 得 或 ，由 得 .
分别在 与 上单调递增，在 单调递减，综上所述，当 时， 在R上单调递增；
当 时， 分别在 与 单调递增，在 单调递减.
（2）由已知得 在区间 上恒成立，
在区间 上恒成立，
当 时， ；当 时， .
而 在 上单调递增， 时， ，则 .
综上 .
【点睛】
本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性求函数的最值，本题将
分离是解题的关键，考查学生的分析能力，和计算能力，属于中档题.
22．（1） ；（2） .
【分析】
（1）对函数进行求导，求出点 处的切线的斜率，用点斜式求出切线方程；
（2）利用函数 有两个极值点 ， 得a与两极值的关系 ，
， ， ，可得 ， ，令 ， ，求新函数 在区间的最值可得其取值范围.
【详解】
（1） 的定义域为 ， .
而 ，即 ，
故所求切线的斜率为 ，
所以方程为
（2） ，
则 的定义域为 ，
，
若 有两个极值点 、 ，且
则方程 的判别式 ，
且， ，得 ，且 .
所以
设 ，
则 在 上恒成立
故 在 单调递减，
从而 ，
所以 的取值范围是 .
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是化简 ，再构造
函数 ，再利用导数求函数的值域.
