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人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用
基础检测2
一、单选题
1．已知函数 在 处的导数为1，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
2．曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．函数 的导函数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 的图象如图所示（其中 是函数 的导函数），下面
四个图象中 的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
5．已知函数 的图象在点 处的切线斜率为 ，且函数
在 处取得极值，则 （ ）
A． B． C． D．
6．如果一个物体的运动方程为 ，其中 的单位是千米， 的单位是小
时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（ ）
A．12千米/小时 B．24千米/小时 C．48千米/小时 D．64千米/小时
7．已知函数 ，则 ）的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
8．函数 的单调递减区间是（ ）A． B． C． D．
9． 与 是定义在 上的两个可导函数，若 , 满足 ,则
与 满足（ ）
A． B． 为常数函数
C． D． 为常数函数
10．已知函数 的导函数为 ，且满足关系式 ，则
的值等于（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12． 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．函数 在 处的切线的斜率为_________.
14．函数 的极小值点为___________．
15．已知函数 ，则 在 上的最小值是_______________.
16．在平面直角坐标系 中，曲线 在点 处的切线方程为
（e是自然对数的底数），则实数a的值是_____________.
三、解答题
17．已知函数 在 处取得极值.
（1）求实数 的值；
（2）当 时，求函数 的最小值.
18．函数 ，曲线 在点 处的切线在 轴上的
截距是 .（1）求 ；
（2）讨论 的单调性.
19．已知函数 .
（1）当 时，求函数 的在(3， )处的切线方程；
（2）若函数 在其图象上任意一点 处切线的斜率都小于 ，求实数
的取值范围.
20．已知函数 在 时有极值0．
（1）求常数 ， 的值；
（2）求 在区间 上的最值．
21．已知函数 .
（1）求在 处的切线的方程；
（2）求函数的单调区间.
22．已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值.参考答案
1．B
【分析】
由已知结合导数的定义即可直接求解.
【详解】
解：因为函数 在 处的导数为1，
则 .
故选：B.
【点睛】
本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．
2．A
【分析】
首先求函数在 处的导数，再根据导数的几何意义求切线方程.
【详解】
， ，根据导数的几何意义可知曲线在 处的切线的斜率 ，所
以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
故选：A
【点睛】
本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.3．D
【分析】
利用导数的运算法则即可得出.
【详解】
，
故选： .
【点睛】
本题考查了导数的运算法则，属于基础题.
4．C
【分析】
根据函数 的图象，依次判断 在区间 ， ， ， 上
的单调性即可．
【详解】
由函数 的图象可知：
当 时， ， ，此时 单调递增；
当 时， ， ，此时 单调递减；
当 时， ， ，此时 单调递减；当 时， ， ，此时 单调递增．
故选：C
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．意在考查学生对这些知识的
理解掌握水平.
5．C
【分析】
计算 ，然后根据 ，可得 ，最后可得结果.
【详解】
由题可知： ，
则 解得 ， .
经检验，当 ， 时， 在 处取得极大值，
所以 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查曲线在某点处的导数的几何意义，重在于计算以及理解，属基础题.
6．C【分析】
对v求导，代入t值即可.
【详解】
由 ，则当 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查了瞬时变化率、导数的概念的问题，属于基础题.
7．C
【分析】
求出函数 的导函数，进而求出导函数大于0以及小于0的解，根据导函数
在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点.
【详解】
解：由 ，
得： .
由 ，得： ，或 .
由 ，得： .
所以函数 的增区间为 .函数 的减区间为 .所以， 是函数的极大值点， 是函数的极小值点.
故选：C.
【点睛】
本题考查求具体函数的极值点，解题的关键是区分极值点和极值的定义，属于基础题.
8．D
【分析】
求导， ，由 即可得解.
【详解】
函数的定义域是 ， ，
令 ，解得 ，
故函数 在 上单调递减，
选：D.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数单调性，考查了导数的基本能应用，属于基础题.
9．B
【详解】
，则 为常数．
故选：B.
10．D【分析】
求得函数的导数，然后令 ，求得 的值.
【详解】
依题意 ，令 得 ， ，
故选D.
【点睛】
本小题在导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.
11．B
【分析】
利用导数的几何意义即可求解.
【详解】
由图可知： ，
即 .故选：B
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，考查了数形结合的思想，属于基础题.
12．A
【分析】
根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.
【详解】
由导函数f′(x)的图象知
在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；
在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；
在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；
所以f(x)的极小值点的个数为1，
故选：A
【点睛】
本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.
13．1
【分析】
直接利用导数的几何意义求解即可
【详解】
解：由 ，得 ，
则 ，所以 在 处的切线的斜率为1
故答案为：1
【点睛】
此题考查导数的几何意义的应用，属于基础题
14．2
【分析】
对 求导，令 后，分析 取得正负时x的范围，从而得出 在相应
区间的单调性，得出极值点.
【详解】
因为 ，所以 ，令 ，得
，
所以当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
所以 在 时取得极小值，
故填：2.
【点睛】
本题考查函数的导函数与函数的单调性和极值的关系，属于基础题.15．
【分析】
利用导函数可知在 上 ，有 单调递减，即可求区间内最小值.
【详解】
在 上，有 ，知： 单调递减，
∴ ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数单调性求区间最值，属于基础题.
16．3
【分析】
求导，代入 ，可求得答案.
【详解】
由 ，得 ，故 .
故答案为：3.
【点睛】
本题考查导函数的几何意义，根据曲线的切线方程求参数的值，属于基础题.17．（1） ；（2） .
【分析】
（1）求导，根据极值的定义可以求出实数 的值；
（2）求导，求出 时的极值，比较极值和 之间的大小的关系，最后
求出函数的最小值.
【详解】
（1） ，函数 在 处取
得极值，所以有 ；
（2）由（1）可知： ，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数
单调递减，故函数在 处取得极大值，因此 ，
， ，故函数 的最小值为
.
【点睛】
本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.
18．（1）7；（2）在 单调递增.
【分析】(1)求得 的导数，可得切线的斜率和切点，以及切线方程，代入 ，解方程可得
a;
(2）求得g (x）的解析式和导数，分解因式可得导数的符号，进而判断单调性;
【详解】
（1）函数 的导数为
曲线 在点 处的切线斜率为 切点为 ，
所以切线方程为 ，
代入 可得 ，
解得
（2）
，
当 时， ， 在 上单调递增.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数的运用求切线方程和单调性，关键在于正确求出函数的导
数，考查方程思想和化简运算能力，属于综合题．19．（1）y=9；（2） 或 .
【分析】
（1）求出 以及 ，即可求出切线方程；（2） 对任意
恒成立，等价于 对任意 恒成立，令 ，求出
的最大值，即可求出 的范围.
【详解】
解：（1） 时， ，
， ，
所以函数 在 处的切线方程为：
（2）因为 ，
由题意得： 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
设 ，所以 ，
所以当 时， 有最大值为 ，所以 ，解得 或 ，
所以，实数 的取值范围为 或 .
【点睛】
本题考查已知恒成立求参数问题，属于基础题.
方法点睛：（1）参变分离
（2） 的恒成立问题转化为
（3）求出 在已知范围下函数的值域
（4）求解参数
20．（1） ， ；（2）最小值为0，最大值为4．
【分析】
（1）已知函数 在 处有极值0，即 ， ，
通过求导函数，再代入列方程组，即可解得 、 的值；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最
值即可．
【详解】
（1） ，由题知： ，
联立（1）、（2）有 或 ．
当 时 在定义域上单调递增，故舍去；
所以 ， ，经检验，符合题意．
（2）当 ， 时， ，
故方程 有根 或 ，
由 得 ，
由 得 ，
函数 的单调增区间为： ， ，减区间为： ．
函数在 取得极大值，在 取得极小值；
经计算 ， ， ， ，
所以函数的最小值为0，最大值为4．
【点睛】
关键点睛：解题的关键是求出 后，求出 ，然后，
利用导数求出函数的单调性、最值问题，属于基础题．21．（1） ；（2）函数的单调增区间是 ，单调减区间是
.
【分析】
（1）先利用导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式求直线方程即可；
（2）利用导数正负确定函数的单调区间即可.
【详解】
解：（1）函数 ，则 ，故在 处的切线的斜率 ，
故切线的方程是 ，即 ；
（2）令 ，得 或 ，令 ，得 ，
故函数的单调增区间是 ，单调减区间是 .
22．（1） 或 ；（2）最小值 ，最大值 .
【分析】
（1）直接解不等式可得不等式的解集；
（2）对函数求导，令 ，求出方程根，得出单调性可得函数的最值．
【详解】
（1）因为 ，
由 ，得 .所以 或 .
所以不等式 的解集为 或 ；
（2）由 得： .
令 ，得 ，或 （舍）.
与 在区间[0，2]上的情况如下：
x 0 （0，1） 1 （1，2） 2
－ 0 +
0 减 增
所以当 时， 取得最小值 ；
当 时， 取得最大值 .
