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人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用
基础检测1
一、单选题
1．函数 的导数是（ ）
A． B． C． D．
2．过原点作曲线 的切线，则切线的斜率为（ ）
A．e B． C．1 D．
3．设 ，则曲线 在点 处的切线的
倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的图像在点 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．若曲线 在 处的切线与直线 平行，则a=（ ）
A． B．1 C． 或1 D． 或16．如图是函数 的导函数 的图象，则函数 的极小值点的
个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知函数 ，则其单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数 在定义域内可导， 的图象如图所示，则导函数 的
图象为（ ）
A． B．
C． D．9．曲线 在点 处的切线斜率为8，则实数 的值为（ ）
A． B．6 C．12 D．
10．函数 在 处取得极值，则（ ）
A． ，且 为极大值点 B． ，且 为极小值点
C． ，且 为极大值点 D． ，且 为极小值点
11．如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数
B．在x＝1时，f（x）取得极大值
C．在（4，5）内f（x ）是增函数
D．在x＝2时，f（x）取得极小值
12．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为
主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一
就是在规定的时间 内完成房产供应量任务 .已知房产供应量 与时间 的函数关系
如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高
的是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
13．函数 的单调递减区间是______．
14．已知函数 的定义域为 ，它的导函数 的图象如图所示，则函数
的极值点有______个.
15．设函数 的导函数是 ，若 ，则
____________．
16．已知曲线 ( 为自然对数的底数)在 处的切线斜率等于 ，则实数
___________.
三、解答题
17．已知函数 .（1）求函数 的单调递减区间；
（2）求函数 在 上的最大值和最小值.
18．（1）求导：
（2）求函数 在 处的导数.
19．已知函数 .
（1）若 在区间 上为增函数，求a的取值范围.
（2）若 的单调递减区间为 ，求a的值.
20．已知函数 ，且 .
（1）求 的值；
（2）若函数 在 上的最大值为20，求函数 在 上的最小值.
21．已知 .
（1）当 时，讨论 的单调区间；
（2）若 在定义域R内单调递增，求a的取值范围.
22．已知函数
（Ⅰ）求函数 在点 处的切线方程；（Ⅱ）求证：参考答案
1．B
【分析】
根据导数的计算公式计算即可.
【详解】
解： ，
.
故选：B .
2．B
【分析】
先设出切点坐标为 ，则由导数的几何意义可得切线的斜率为 ，从而可得切线方程
为 ，再将原点坐标代入可得切点的纵坐标 ，再将 代入曲线方
程中可求出 的值，进而可得切线的斜率
【详解】
解：设切点坐标为 ，
由 ，得 ，所以切线的斜率为 ，所以切线方程为 ，
因为切线过原点，所以 ，得 ，
因为切点 在曲线 上，所以 ，解得 ，
所以切线的斜率为 ，
故选：B
3．C
【分析】
根据导数的概念可得 ，再利用导数的几何意义即可求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，则曲线 在点 处的切线斜率为 ，
故所求切线的倾斜角为 .
故选：C
4．A
【分析】求导 ，再分别求得 ， ，由点斜式写出切线方程.
【详解】
由题意可得 ，则 ．
因为 ，
所以 ，
则所求切线方程是 ，即 ．
故选：A
5．A
【分析】
利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程
求解．
【详解】
解： ，于是切线的斜率 ，
切线与直线 平行
，
，
时， ，切点是 ，切线的斜率 ，
故切线方程是： ，
即 和直线 重合，
故 ，
故选：A．
6．B
【分析】
通过读图由 取值符号得出函数 的单调区间，从而求出函数的极值点，
得出答案．
【详解】
由图象，设 与 轴的两个交点横坐标分别为 、 其中 ，
知在 ， 上 ，
所以此时函数 在 ， 上单调递增，
在 上， ，此时 在 上单调递减，所以 时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值．
则函数 的极小值点的个数为1．
故选: B
【点睛】
本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题．
7．A
【分析】
求导 ，求函数的单调递增区间，即求不等式 ，解不等式即可的答
案.
【详解】
由 ，函数定义域为 ，
求导 ，令 ，得 或 （舍去）
所以 单调增区间是
故选：A.
8．C
【分析】
根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】由图可知，函数 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，排
除选项B和D；
函数 在 上先递减后递增再递减，所以 在 上应为负、正、负
的趋势，即选项A错误，C正确；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查导数与原函数图像之间关系的判定，属于基础题型.
9．A
【分析】
先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得 的值.
【详解】
由 ，得 ，
则曲线 在点 处的切线斜率为 ，得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.
10．B
【分析】
先求导，再根据题意得 ，由此求得 ，再根据导数研究函数的极值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又 在 处取得极值，
∴ ，得 ，
∴ ，
由 得， ，即 ，
∴ ，即 ，
同理，由 得， ，
∴ 在 处附近的左侧为负，右侧为正，
∴函数 在 处取得极小值，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题．11．C
【分析】
根据图形，利用单调性和极值的几何特征逐一判断即可.
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，在（﹣3， ）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，A错误；
对于B，在（ ，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x＝1不是f（x）的极大值点，
B错误；
对于C，在（4，5）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C正确；
对于D，在（ ，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在（2，4）上，f′（x）＜0，
f（x）为减函数，则在x＝2时f（x）取得极大值，D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查函数单调性和极值的图形特征，是基础题.
12．B
【分析】
根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果.
【详解】
单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长
速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，
故函数的图象应一直下凹的.
故选B.
【点睛】
本题考查变化率的知识，实质上是考查曲线在某点处导数的几何意义，属基础题.
13．
【分析】
求出导函数 ，在 上解不等式 可得 的单调减区间．
【详解】
，其中 ，
令 ，则 ，故函数 的单调减区间为 ，
故答案为： ．
【点睛】
一般地，若 在区间 上可导，我们用 求，则 在 上的减区间，
反之，若 在区间 上可导且为减函数，则 ，注意求单调区间前先确定函
数的定义域．
14．2
【分析】根据导函数的图像求出函数的单调区间，由极值点的定义即可求解.
【详解】
由导函数的图像可知，
函数的单调递增区间为 ， ，
单调递减区间为 ，
所以 为极大值点， 为极小值点，
所以函数 的极值点有2个.
故答案为：2
15．0
【分析】
直接对原函数求导即得解.
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案为：0
【点睛】
本题主要考查函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．1
【分析】
由导数的几何意义知 ，即可求参数 即可.
【详解】
由函数解析式，知： ，
依题意： ，
∴ ，则 ，
故答案为：1.
【点睛】
本题考查了根据导数的几何意义求参数，属于简单题.
17．（1） ；（2）最大值为 ，最小值为
【分析】
（1）求出 ，令 ，得到函数 的单调递减区间；
（2）求出函数在 的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】
（1） ，
令 ，得 ，所以 的减区间为 .
（2）由（1），令 ，得 或 知： ， 为增函数，
， 为减函数， ， 为增函数.
， ， ， .
所以 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.
18．（1） ；（2）1；
【分析】
（1）直接根据导数的运算法则，即可得答案；
（2）求导后可得 ，再将 代入即可得答案；
【详解】
（1） ；
（2） ；【点睛】
本题考查导数的四则运算，属于基础题.
19．（1） ；（2）3.
【分析】
（1）由题意可得 在 上恒成立，即 在 上恒成立，转化为不
等式右边的最小值成立，可得答案；
（2）显然 ，否则函数 在 上递增.利用导数求出函数 的递减区间为
，再根据已知递减区间，可得答案
【详解】
（1）因为 ，且 在区间 上为增函数，
所以 在 上恒成立，即 在(1，+∞)上恒成立，
所以 在 上恒成立，所以 ，即a的取值范围是
（2）由题意知 .因为 ，所以 .
由 ，得 ，
所以 的单调递减区间为 ，又已知 的单调递减区间为 ，
所以 ，
所以 ，即 .
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间 上递增或递减
与函数的递增或递减区间是 的区别，属于基础题.
20．（1） ；（2）
【分析】
（1）先对函数 求导，然后由 ，列出关于 的方程组，解方程
组可求出 的值；
（2）由函数 在 上的最大值为20，求出 的值，然后由函数的单调性求函数
在 上的最小值.
【详解】
解：（1）因为 ，所以 ，
因为 ,所以 ,
解得
所以 .
（2）由（1）可知 ，则 ，
令 ，得 ,
和 的变化情况如下表：
2
0
极小值
因为 ，
所以函数 在 上的最大值为 ,
所以 ，解得 ,
所以 ,由上面可知 在 上单调递增，在 上单调递减；
又因为 ，
所以函数 在 上的最小值为 .
【点睛】
此题考查利用导数求函数的极值和最值，属于基础题.
21．（1） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2）
【分析】
（1）计算 ，根据 与 ，可得结果.
（2）利用等价转化的思想， 在 上恒成立，然后根据 的单调性，简单计算，
可得结果.
【详解】
（1）当 时，
则 ，
令 ，得
令 ，得
所以 的单调递增区间为单调递减区间为
（2）由题可知： 在定义域R内单调递增
等价于
由 在 上单调递增，又
则
【点睛】
本题考查导数的简单应用，掌握导数与原函数之间的关系，属基础题.
22．(1) .
(2)证明见解析.
【解析】
分析：（1）求切线方程先求导 ，然后代入切点横坐标的出切线
斜率即可求得切线方程；（2）分析函数单调性求出函数最值即可.
（Ⅰ）
所以 则切线方程为
（Ⅱ）令 则 设 的两根为 ，由于 不妨设 则 在 是递减的，在 是递增的，
而 所以在 单调递增，
所以 ，因为
所以 .
点睛：考查导数的几何意义和单调性最值的应用，属于常规题.
