第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023春·重庆北碚·高二校考阶段练习）命题：∀x∈R，x2+x−1≥0的否定是（ ）
A．∃x ∈R，x 2+x −1≥0 B．∃x ∈R，x 2+x −1<0
0 0 0 0 0 0
C．∀x∈R，x2+x−1≤0 D．∀x∈R，x2+x−1<0
【解题思路】利用全称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论
【解答过程】解：命题：∀x∈R，x2+x−1≥0的否定是∃x ∈R，x 2+x −1<0,
0 0 0
故选：B.
2．（5分）（2023·全国·高一假期作业）下列说法：①集合{x∈N|x3=x}用列举法可表示为{－1，0，
1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图像象交点组的集
合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为（ ）
A．3 B．2
C．1 D．0
【解题思路】对于①，通过解方程求出x的值，即可判断出结果的正误；对于②，根据集合的表示方法即
可判断出结果的正误；对于③，通过联立方程，得出交点坐标，从而判断结果的正误.
【解答过程】由x3=x，得x(x−1)(x+1)=0，解得x＝0或x＝1或x＝－1，又因为−1∉N，故集合
{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0，1}，故①不正确．
集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确
表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确．
联立¿，解得¿，∴一次函数与y＝－2x＋8的图像交点为（2，4），
∴所求集合为¿且y=4}，故③不正确．
故选：D.
3．（5分）（2023·全国·高三对口高考）下面有四个命题：
①{3}⊆{x|x≥3}；
②若 ，则 ；
a=2√2,B={x∈R|x≥2+√2} a∈B
③若−a不属于N∗，则a属于N∗；
学科网（北京）股份有限公司④若 ，则
A={x|y=√1−x2},B={y|y=√1−x2} A=B
其中真命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解题思路】根据子集概念判断①，由元素与集合关系判断②③，化简集合A,B判断④.
【解答过程】①由子集概念知 正确；
{3}⊆{x|x≥3}
②因为2√2<2+√2，所以a∉B，故错误；
③当a=0时，−0∉N∗，0∉N∗，故错误；
④因为 ，所以 ，故错误.
A={x|y=√1−x2}=[−1,1],B={y|y=√1−x2}=[0,1] A≠B
故选：B.
4．（5分）（2023·全国·高一假期作业）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条
件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必
要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【解题思路】根据条件及充分条件和必要条件的的确定p,q,r,s之间的关系，然后逐一判断命题①②③④
即可.
【解答过程】因为p是r的的充分不必要条件，所以p⇒r，r推不出p，
因为q是r的的充分条件，所以q⇒r，
因为s是r的必要条件，所以r⇒s，
因为q是s的必要条件，所以s⇒q，
因为q⇒r，r⇒s，所以q⇒s，又s⇒q，，所以s是q的充要条件，命题①正确，
因为p⇒r，r⇒s，s⇒q，所以p⇒q，
q推不出p，故p是q的充分不必要条件，②正确；
因为r⇒s，s⇒q，所以r⇒q，r是q的充分条件，命题③错误；
因为s⇒q，q⇒r，所以s⇒r，又r⇒s，
所以r是s的充要条件，命题④错误；
故选：B.
5．（5分）（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）已知 的定义域为A，集合
f(x)=√x2−1
B={x∈R∣1<ax<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．[−2,1] B．[−1,1] C．(−∞,−2]∪[1,+∞) D．(−∞,−1]∪[1,+∞)
【解题思路】先根据二次不等式求出集合A，再分类讨论集合B，根据集合间包含关系即可求解.
【解答过程】 的定义域为A，
f(x)=√x2−1
所以x2−1≥0，
所以x≥1或x≤−1，
①当a=0时，B={x∈R∣1<0x<2}=∅,
满足B⊆A，
所以a=0符合题意；
②当a>0时，
1 2
B={x∈R∣ <x< }，
a a
所以若B⊆A，
1 2
则有 ≥1或 ≤−1，
a a
所以0<a≤1或a≤−2（舍）
③当a<0时，
2 1
B={x∈R∣ <x< }，
a a
所以若B⊆A，
1 2
则有 ≤−1或 ≥1（舍），
a a
−1≤a<0，
综上所述，a∈[−1,1]，
故选：B.
6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知命题p:∀x∈R，ax2+2x+3>0的否定是真命题，那么实
数a的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．a< B．0<a≤ C．a≤ D．a≥
3 3 3 3
【解题思路】由题意可知，命题：∃x∈R，ax2+2x+3≤0为真命题，分x=0、x≠0两种情况讨论，利
用参变量分离法求出实数a的取值范围.
【解答过程】由题意可知，命题：∃x∈R，ax2+2x+3≤0为真命题.
①当x=0时，则3≤0，不合乎题意；
学科网（北京）股份有限公司3 2 1
②当x≠0时，则a≤− − ，令t= ≠0，
x2 x x
则y=−3t2−2t=−3 ( t+ 1) 2 + 1 ，
3 3
1 1 1
所以，当t=− 时，y = ，则a≤ .
3 max 3 3
1
综上所述，实数a的取值范围是a≤ .
3
故选：C.
7．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合 ，
M={x|(x−a)(x−3)=0},N={x|(x−4)(x−1)=0}
则下列说法一定正确的是（ ）
A．若M∪N={1,3,4}，则M∩N=∅
B．若M∪N={1,3,4}，则M∩N≠∅
C．若M∩N=∅，则M∪N有4个元素
D．若M∩N≠∅，则M∪N={1,3,4}
【解题思路】首先解方程得到：M={3,a}或M={3} ,N={1,4},针对a分类讨论M∩N,M∪N即可.
【解答过程】（1）当a=3时，M={3}，M∩N=∅,M∪N={1，3，4}；
（2）当a=1时，M={1,3}，M∩N={1},M∪N={1，3，4}；
（3）当a=4时，M={3,4}，M∩N={4},M∪N={1，3，4}；
（4）当a≠1,3,4时，M={3,a}，M∩N=∅,M∪N={1，3，4,a}；
综上可知A，B，C，不正确，D正确
故选：D.
8．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有两个元素，且S，T
满足：
①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T
y
②对于任意x，y∈T，若x<y，则 ∈S；
x
下列命题正确的是（ ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
学科网（北京）股份有限公司【解题思路】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即
可.
【解答过程】首先利用排除法：
若取S={1,2,4}，则T={2,4,8}，此时S∪T={1,2,4,8}，包含4个元素，排除选项 C；
若取S={2,4,8}，则T={8,16,32}，此时S∪T={2,4,8,16,32}，包含5个元素，排除选项D；
若取S={2,4,8,16}，则T={8,16,32,64,128}，此时S∪T={2,4,8,16,32,64,128}，包含7个元素，排除选
项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合 ，且 ， ，
S={p ,p ,p ,p } p <p <p <p p ,p ,p ,p ∈N∗
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
则 ，且 ，则p ，
p p <p p p p ,p p ∈T 4∈S
1 2 2 4 1 2 2 4 p
1
同理p ，p ，p ，p ，p ，
4∈S 4∈S 3∈S 3∈S 2∈S
p p p p p
2 3 2 1 1
若 ，则 ，则p ，故p 即 ，
p =1 p ≥2 3<p 3=p p =p2
1 2 p 3 p 2 3 2
2 2
p p p p
又 p > 4> 4>1 ，故 4= 4=p ，所以 p =p3 ，
4 p p p p2 2 4 2
2 3 3 2
故
S={1,p ,p2,p3}
，此时
p5∈T,p ∈T
，故
p4∈S
，矛盾，舍.
2 2 2 2 2 2
若 ，则p p ，故p p 即 ，
p ≥2 2< 3<p 3=p , 2=p p =p3,p =p2
1 p p 3 p 2 p 1 3 1 2 1
1 1 1 1
p p p p p
又 p > 4> 4> 4>1 ，故 4= 4=p ，所以 p =p4 ，
4 p p p p p3 1 4 1
1 2 3 3 1
故 S={p ,p2,p3,p4} ，此时 {p3,p4,p5,p6,p7}⊆T .
1 1 1 1 1 1 1 1 1
若 q∈T ， 则 q ∈S ，故 q =pi ,i=1,2,3,4 ，故 q=pi+3,i=1,2,3,4 ，
p3 p3 1 1
1 1
学科网（北京）股份有限公司即 ，故 ，
q∈{p3,p4,p5,p6,p7} {p3,p4,p5,p6,p7}=T
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
此时
S∪T={p ,p2,p3,p4,p4,p5,p6,p7}
即
S∪T
中有7个元素.
1 1 1 1 1 1 1 1
故A正确.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023春·湖北咸宁·高一校考开学考试）下列命题正确的是（ ）
1
A．“a>1”是“ <1”的充分不必要条件
a
B．命题“∀x<1,x2<1”的否定是“∃x<1,x2≥1”
C．设x,y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+ y2≥4”的必要而不充分条件
D．设a,b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
【解题思路】对于ACD，根据两个条件之间的推出关系可判断它们的正误，对于B，根据全称量词命题的
否定形式可判断其正误.
1
【解答过程】对于A， <1即为a<0或a>1，
a
因为a>1可得推出a<0或a>1，a<0或a>1推不出a>1，
1
故“a>1”是“ <1”的充分不必要条件，故A正确.
a
对于B，命题“∀x<1,x2<1”的否定是“∃x<1,x2≥1”，故B正确.
对于C，当x≥2且y≥2时，有x2+ y2≥8≥4，
取x= y=√2，满足x2+ y2≥4，但x≥2且y≥2不成立，
故“x≥2且y≥2”是“x2+ y2≥4”的充分而不必要条件，故C错误.
对于D，取a=1≠0，b=0，此时ab=0，故ab≠0不成立，
当ab≠0时，必有a≠0，
故“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件，故D正确.
故选：ABD.
10．（5分）（2023春·河北承德·高三校考阶段练习）若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“
∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．(−∞，−5) B．(−3，−1] C．(3，+∞) D．[0，3]
【解题思路】根据假命题的否定为真命题可知∀x∈M，x≤3，又∀x∈M，|x|>x，求出命题成立
学科网（北京）股份有限公司的条件，求交集即可知M满足的条件.
【解答过程】∵ ∃x∈M，x>3为假命题,
∴∀x∈M，x≤3为真命题，
可得M⊆(−∞,3]，
又∀x∈M，|x|>x为真命题，
可得M⊆(−∞,0)，
所以M⊆(−∞,0)，
故选：AB.
11．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={x∣−1≤x≤7}，B={x∣a+2≤x≤2a−1}，若
使B⊆A成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ）
A．(−∞,4] B．(−∞,3] C．(3,4] D．[4,5)
【解题思路】根据题意B⊆A讨论B≠∅和B≠∅情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案.
【解答过程】由题意集合A={x∣−1≤x≤7}，B={x∣a+2≤x≤2a−1}，
因为B⊆A，所以当B=∅时，a+2>2a−1，即a<3 ；
当B≠∅时，有−1≤a+2≤2a−1≤7 ，解得3≤a≤4，
故M=(−∞,4],则M的一个真子集可以是(−∞,3]或(3,4]，
故选：BC.
12．（5分）（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）对任意A,B⊆R，定义
.例如，若 ，则 ，下列命题中为
A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B} A={1,2,3},B={2,3,4} A⊕B={1,4}
真命题的是（ ）
A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅ B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=B
C．若 且 ，则 D．若 ，则
A,B⊆R A⊕B⊆A A⊆B A,B⊆R (∁ A)⊕B= ∁ (A⊕B)
R R
【解题思路】根据定义 ，得到 ，
A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B} A⊕B=[(∁ A)∩B]∪[A∩(∁ B)]
R R
对四个选项一一验证.
【解答过程】根据定义 .
A⊕B=[(∁ A)∩B]∪[A∩(∁ B)]
R R
对于A：若 ,则 , , ,
A⊕B=B (∁ A)∩B=B A∩(∁ B)=∅(∁ A)∩B=B⇒B⊆(∁ A)
R R R R
学科网（北京）股份有限公司,∴ ,故A正确;
A∩(∁ B)=∅⇒A⊆B A=∅
R
对于B：若 ,则 , , , ,∴
A⊕B=∅ (∁ A)∩B=∅ A∩(∁ B)=∅ A∩B=A⇒A⊆B A∩B=B⇒B⊆A
R R
A=B,故B正确;
对于C：若 ,则 , ,则 .故C错;
A⊕B⊆A A⊕B⊆A A∩(∁ B)⊆A B⊆A
R
对于D：左边 ,右边
(∁ A)⊕B=(A∩B)∪(∁ A∩∁ B)
R R R
∁ (A⊕B)= ∁ {[(∁ A)∩B]∪[A∩(∁ B)]}=(A∩B)∪(∁ A∩∁ B)
所以左=右.故D正确.
R R R R R R
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023·全国·高一假期作业）已知命题p:∀x∈R,ax2+2x+1≠0”的否定为真命题，则实
数a的取值范围是 ¿ .
【解题思路】问题等价于ax2+2x+1=0有解，即¿或a=0，解得答案.
【解答过程】已知问题等价于ax2+2x+1=0有解，即¿或a=0，解得a≤1.
故答案为：¿.
14．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设命题p:|4x−3|≤1；命题q:x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0，若
1
¬p是¬q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 0≤a≤ ．
2
【解题思路】根据题意，得到q是p的必要不充分条件，进行求解即可.
1
【解答过程】p:|4x−3|≤1,∴ ≤x≤1,
2
,
q:x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0,∴a≤x≤a+1
因为¬p是¬q的必要而不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件,
∴¿,
1
∴实数a的取值范围是0≤a≤ ,
2
1
故答案为0≤a≤ .
2
学科网（北京）股份有限公司15．（5分）（2023秋·北京石景山·高一统考期末）设P为非空实数集满足：对任意给定的x、y∈P（
x、y可以相同），都有x+ y∈P，x−y∈P，xy∈P，则称P为幸运集.
①集合P={−2,−1,0,1,2}为幸运集；②集合P={x|x=2n,n∈Z}为幸运集；
③若集合P 、P 为幸运集，则P ∪P 为幸运集；④若集合P为幸运集，则一定有0∈P；
1 2 1 2
其中正确结论的序号是 ②④ .
【解题思路】①取x= y=2判断；②设x=2k ∈P,y=2k ∈P判断；③举例
1 2
P ={x|x=2k,k∈Z},P ={x|x=3k,k∈Z}判断；④由x、y可以相同判断；
1 2
【解答过程】①当x= y=2，x+ y=4∉P，所以集合P不是幸运集，故错误；
②设 ，则 ，所
x=2k ∈P,y=2k ∈P x+ y=2(k +k )∈A,x−y=2(k −k )∈A,xy=2k ⋅k ∈A
1 2 1 2 1 2 1 2
以集合P是幸运集，故正确；
③如集合P ={x|x=2k,k∈Z},P ={x|x=3k,k∈Z}为幸运集，但P ∪P 不为幸运集，如
1 2 1 2
x=2,y=3时，x+ y=5∉P ∪P ，故错误；
1 2
④因为集合P为幸运集，则x−y∈P，当x= y时，x−y=0，一定有0∈P，故正确；
故答案为：②④.
16．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合S,T,S⊆N·,T⊆N·,S,T中，至少有两个元素，且S,T
y
满足：①对于任意x,y∈S，若x≠ y，都有xy∈T；②对于任意x,y∈T，若x<y，则 ∈S.若S有4
x
个元素，则S∪T有 7 个元素.
【解题思路】由题可知 有4个元素，根据集合的新定义，设集合 ，且 ，
S S={p ,p ,p ,p } p <p <p <p
1 2 3 4 1 2 3 4
，分类讨论 和 两种情况，并结合题意和并集的运算求出 ，进而可得
p ,p ,p ,p ∈N∗ p =1 p ≥2 S∪T
1 2 3 4 1 1
出答案.
【解答过程】解：由题可知，S⊆N·,T⊆N·，S有4个元素，
若取S={2,4,8,16}，则T={8,16,32,64,128}，此时S∪T={2,4,8,16,32,64,128}，包含7个元素，
具体如下：
设集合 ，且 ， ，
S={p ,p ,p ,p } p <p <p <p p ,p ,p ,p ∈N∗
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
则 ，且 ，则p ，
p p <p p p p ,p p ∈T 4∈S
1 2 2 4 1 2 2 4 p
1
学科网（北京）股份有限公司同理p p p p p ，
4∈S, 4∈S, 3∈S, 3∈S, 2∈S
p p p p p
2 3 2 1 1
若 ，则 ，则p ，故p ，所以 ，
p =1 p ≥2 3<p 3=p p =p 2
1 2 p 3 p 2 3 2
2 2
p p p p
又 p > 4> 4>1 ，故 4= 4 =p ，所以 p =p 3 ，
4 p p p p 2 2 4 2
2 3 3 2
故 ，此时 ，故 ，矛盾，舍去；
S={1,p ,p 2,p 3} p 5∈T,p ∈T p 4∈S
2 2 2 2 2 2
若 ，则p p ，故p p ，所以 ，
p ≥2 2< 3<p 3=p , 2=p p =p 2,p =p 3
1 p p 3 p 2 p 1 2 1 3 1
1 1 1 1
p p p p p
又 p > 4> 4> 4>1 ，故 4= 4 =p ，所以 p =p 4 ，
4 p p p p p 3 1 4 1
1 2 3 3 1
故 ，此时 ，
S={p ,p 2,p 3,p 4} {p 3,p 4,p 5,p 6,p 7}⊆T
1 1 1 1 1 1 1 1 1
若 q∈T ，则 q ∈S ，故 q =p i,i=1,2,3,4 ，故 q=p i+3,i=1,2,3,4 ，
p 3 p 3 1 1
1 1
即 ，故 ，
q∈{p 3,p 4,p 5,p 6,p 7} {p 3,p 4,p 5,p 6,p 7}=T
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
此时
S∪T={p ,p 2,p 3,p 4,p 5,p 6,p 7}
，即
S∪T
中有7个元素.
1 1 1 1 1 1 1
故答案为：7.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023·高一课时练习）已知集合 .
A={x|ax2+4x+4=0,a∈R,x∈R}
（1）若A中只有一个元素，求a及A；
（2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
【解题思路】（1）分a=0和a≠0两种情况讨论，当A中只有一个元素时，求a的取值；
（2）讨论集合A=ϕ或有一个元素时，a的取值范围.
【解答过程】（1）当a=0时，4x+4=0，解得：x=−1 ，
所以A中只有一个元素，即A={−1}，
学科网（北京）股份有限公司当a≠0时，Δ=16−16a=0，解得：a=1，
x2+4x+4=0，解得：x=−2，此时A={−2}
综上可知a=0时A={−1}，a=1时A={−2}.
（2）当集合A=ϕ时，Δ=16−16a<0，解得：a>1
由（1）可知集合A有1个元素时，a=0或a=1，
综上可知：a=0或a≥1，
即a∈{0}∪[1,+∞).
18．（12分）（2023·高一课时练习）已知集合M=¿.
(1)若N=¿，N⊆M，求实数m的取值范围；
(2)若N=¿，M⊆N，求实数m的取值范围.
【解题思路】(1)分N为空集和N不为空集两种情况分别求解，最后再求并集即可；
(2)M⊆N，则M是N的子集，列出不等式组求解即可.
【解答过程】（1）①若N=∅，则m+1>2m−1，即m<2，此时N⊆M；
②若N≠∅，则¿，解得2≤m≤3.
综合①②，得实数m的取值范围是¿.
（2）（2）若M⊆N，则¿，解得3≤m≤4，
所以实数m的取值范围是¿.
19．（12分）（2022秋·吉林四平·高三校考阶段练习）已知命题p：“实数a满足¿”，命题q：“
， 都有意义”．
∀x∈R √ax2+ax+3
(1)已知m=1，p为假命题，q为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是¬q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）将m=1代入，化简p、q，然后根据p为假命题，q为真命题，列出不等式，即可得到
结果.
（2）先根据条件化简p、q得到¬q，然后根据p是¬q的充分不必要条件，列出不等式，即可得到结果.
【解答过程】（1）当m=1时，由{x|1≤x≤2}⊂{x|1≤x≤a}，
得a>2，即：若p为真命题，则a>2；
若q为真命题，即ax2+ax+3≥0恒成立，
则当a=0时，3≥0满足题意；
当a≠0时，¿，解得0<a≤12，
故0≤a≤12．
学科网（北京）股份有限公司故若p为假命题，q为真命题，
则¿，解得0≤a≤2，
即实数a的取值范围为[0,2]．
（2）对于p，m≥1且m+1≤a．
对于q，0≤a≤12，则¬q：a<0或a>12．
因为p是¬q的充分不必要条件，
所以m+1>12，解得m>11．
故m的取值范围是¿.
20．（12分）（2023秋·广东揭阳·高一校考期中）已知集合A=¿，B=¿.请从①A∪B=B，②A∩B=∅，
③A∩(∁ B)≠∅这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件
R
分别解答，按第一个解答计分）
1
(1)当a= 时，求A∩B；
2
(2)若______，求实数a的取值范围.
1
【解题思路】(1)取a= 化简B，化简A，再根据交集的定义求A∩B；
2
(2)若选①，由A∪B=B可得A⊆B，讨论a的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论a的
正负，化简集合B，结合条件A∩B=∅列不等式求a的取值范围；若选③，讨论a的正负，化简集合B，
结合条件A∩(∁ B)≠∅列不等式求a的取值范围.
R
【解答过程】（1）由题意得，A=¿.
1
当a= 时，B=¿，
2
∴A∩B={2,3}；
（2）选择①.
∵A∪B=B，∴A⊆B，
当a=0时，B=∅，不满足A⊆B，舍去；
1
当a>0时，B=¿，要使A⊆B，则 ≤1，解得a≥1；
a
1
当a<0时，B=¿ ，此时 <0，不满足A⊆B，舍去.
a
综上，实数a的取值范围为[1,+∞).
选择②.
当a=0时，B=∅，满足A∩B=∅；
学科网（北京）股份有限公司1 1
当a>0时，B=¿，要使A∩B=∅，则 >3，解得0<a< ；
a 3
1
当a<0时，B=¿，此时 <0，A∩B=∅.
a
( 1)
综上，实数a的取值范围为 −∞, .
3
选择③.
当a=0时，B=∅，∁ B=R，∴A∩(∁ B)=A≠∅，满足题意；
R R
1
当a>0时，B=¿，
∁
B=¿，要使A∩(∁ B)≠∅，则 >1，解得0<a<1；
R R a
1
当a<0时，B=¿，
∁
B=¿，此时 <0，A∩(∁ B)=A≠∅，满足题意.
R a R
综上，实数a的取值范围为(−∞,1).
21．（12分）（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合A={x∣a−1≤x≤2a+1},B={x∣−2≤x≤4}.
在①A∪B=B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B=∅这三个条件中任选一个，
补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.
(1)当a=3时，求∁ (A∩B)；
R
(2)若______，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）利用集合的交并补运算即可得解；
（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件推得集合的包含关
系，再结合数轴法即可得解.
【解答过程】（1）当a=3时，A={x∣2≤x≤7}，而B={x∣−2≤x≤4}，
所以A∩B={x∣2≤x≤4}，则∁ (A∩B)={x∣x<2或x>4}.
R
（2）选①：
因为A∪B=B，所以A⊆B，
当A=∅时，则a−1>2a+1，即a<−2，满足A⊆B，则a<−2；
3
当A≠∅时，a≥−2，由A⊆B得¿，解得−1≤a≤ ；
2
3 [ 3]
综上：a<−2或−1≤a≤ ，即实数a的取值范围为(−∞,−2)∪ −1, ；
2 2
选②：
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A是B的真子集，
当A=∅时，则a−1>2a+1，即a<−2，满足题意，则a<−2；
学科网（北京）股份有限公司3
当A≠∅时，a≥−2，则¿，且不能同时取等号，解得−1≤a≤ ；
2
3 [ 3]
综上：a<−2或−1≤a≤ ，即实数a的取值范围为(−∞,−2)∪ −1, ；
2 2
选③：
因为A∩B=∅，
所以当A=∅时，则a−1>2a+1，即a<−2，满足A∩B=∅，则a<−2；
3
当A≠∅时，a≥−2，由A∩B=∅得2a+1<−2或a−1>4，解得a<− 或a>5，
2
3
又a≥−2，所以−2≤a<− 或a>5；
2
3 ( 3)
综上：a<− 或a>5，实数a的取值范围为 −∞,− ∪(5,+∞).
2 2
22．（12分）（2023春·北京顺义·高二校考阶段练习）设A是非空实数集，且0∉A．若对于任意的
x
x,y∈A，都有xy∈A，则称集合A具有性质P ；若对于任意的x,y∈A，都有 ∈A，则称集合A
1 y
具有性质P ．
2
(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质P 的集合A；
1
(2)若非空实数集A具有性质P ，求证：集合A具有性质P ；
2 1
(3)设全集 ，是否存在具有性质 的非空实数集A，使得集合 具有性质 ？若存
U={x|x≠0,x∈R} P ∁ A P
1 U 2
在，写出这样的一个集合A；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）根据题意直接写出A={−1,1}即可；
（2）根据性质P 可知1∈A，分别说明集合A中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质P
2 1
即可．
（3）由题意可知1∈∁ A，且∁ A不是单元素集{1}，令a∈A,b∈∁ A,c∈∁ A，且c≠1， 若
U U U U
ac∈∁ A，则a∈∁ A，这与a∈A矛盾；
U U
1 1
若ac∈A，则 ∈∁ A，c÷ =ac∈∁ A，这与ac∈A矛盾，综上可得到结论．
a U a U
【解答过程】（1）由(−1)×(−1)=1,(−1)×1=−1,1×1=1，可得恰含有两个元素且具有性质P 的集合
1
A={−1,1}；
（2）若集合A具有性质P ，不妨设a∈A，
2
学科网（北京）股份有限公司a
由非空数集A具有性质P ，有 =1∈A．
2 a
①若A={1}，易知此时集合A具有性质P ．
1
②若实数集A只含有两个元素，不妨设 ，
A={1,a }
1
1
由 =a ，且a ≠1，解得：a =−1，此时集合A具有性质P ．
a 1 1 1 1
1
③若实数集A含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素a ,a ∈A，
1 2
1
则有 ∈A，由于集合A具有性质P ，
a 2
1
1
所以有a ÷ =a a ∈A，这说明集合A具有性质P ；
2 a 1 2 1
1
（3）不存在具有性质P 的非空实数集A，使得集合∁ A具有性质P ，
1 U 2
由于非空实数集A具有性质P ，令集合B= ∁ A，
1 U
依题意不妨设b∈B，a∈A，
b
因为集合B具有性质P ，所以 =1∈B，
2 b
1
若B={1}，则a≠1， ∈A，
a
1
因为非空实数集A具有性质P ，故a× =1∈A，这与B={1}矛盾，
1 a
故集合B不是单元素集{1}，
令c∈B，且c≠1，
ac
①若ac∈B，可得 ∈B，即a∈B，这与B= ∁ A矛盾；
c U
1 1
②若ac∈A，由于a∈A，1∉A，所以 ∈B，因此c÷ =ac∈B，这与ac∈A矛盾，
a a
综上可得：不存在具有性质P 的非空实数集A，使得集合∁ A具有性质P ．
1 U 2
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