专题1.8集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇）（人教A版2019必修第一册）（解析版）_2024-2025高一（7-7月题库）_2024年7月试卷

4> 4> 4>1 ，故 4= 4=p ，所以 p =p4 ， 4 p p p p p3 1 4 1 1 2 3 3 1 故 S={p ,p2,p3,p4} ，此时 {p3,p4,p5,p6,p7}⊆T . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 若 q∈T ， 则 q ∈S ，故 q =pi ,i=1,2,3,4 ，故 q=pi+3,i=1,2,3,4 ， p3 p3 1 1 1 1 学科网（北京）股份有限公司即 ，故 ， q∈{p3,p4,p5,p6,p7} {p3,p4,p5,p6,p7}=T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 此时 S∪T={p ,p2,p3,p4,p4,p5,p6,p7} 即 S∪T 中有7个元素. 1 1 1 1 1 1 1 1 故A正确. 故选：A. 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）（2023春·湖北咸宁·高一校考开学考试）下列命题正确的是（ ） 1 A．“a>1”是“ <1”的充分不必要条件 a B．命题“∀x<1,x2<1”的否定是“∃x<1,x2≥1” C．设x,y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+ y2≥4”的必要而不充分条件 D．设a,b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件 【解题思路】对于ACD，根据两个条件之间的推出关系可判断它们的正误，对于B，根据全称量词命题的 否定形式可判断其正误. 1 【解答过程】对于A， <1即为a<0或a>1， a 因为a>1可得推出a<0或a>1，a<0或a>1推不出a>1， 1 故“a>1”是“ <1”的充分不必要条件，故A正确. a 对于B，命题“∀x<1,x2<1”的否定是“∃x<1,x2≥1”，故B正确. 对于C，当x≥2且y≥2时，有x2+ y2≥8≥4， 取x= y=√2，满足x2+ y2≥4，但x≥2且y≥2不成立， 故“x≥2且y≥2”是“x2+ y2≥4”的充分而不必要条件，故C错误. 对于D，取a=1≠0，b=0，此时ab=0，故ab≠0不成立， 当ab≠0时，必有a≠0， 故“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 10．（5分）（2023春·河北承德·高三校考阶段练习）若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“ ∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是（ ） A．(−∞，−5) B．(−3，−1] C．(3，+∞) D．[0，3] 【解题思路】根据假命题的否定为真命题可知∀x∈M，x≤3，又∀x∈M，|x|>x，求出命题成立 学科网（北京）股份有限公司的条件，求交集即可知M满足的条件. 【解答过程】∵ ∃x∈M，x>3为假命题, ∴∀x∈M，x≤3为真命题， 可得M⊆(−∞,3]， 又∀x∈M，|x|>x为真命题， 可得M⊆(−∞,0)， 所以M⊆(−∞,0)， 故选：AB. 11．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={x∣−1≤x≤7}，B={x∣a+2≤x≤2a−1}，若 使B⊆A成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ） A．(−∞,4] B．(−∞,3] C．(3,4] D．[4,5) 【解题思路】根据题意B⊆A讨论B≠∅和B≠∅情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案. 【解答过程】由题意集合A={x∣−1≤x≤7}，B={x∣a+2≤x≤2a−1}， 因为B⊆A，所以当B=∅时，a+2>2a−1，即a<3 ； 当B≠∅时，有−1≤a+2≤2a−1≤7 ，解得3≤a≤4， 故M=(−∞,4],则M的一个真子集可以是(−∞,3]或(3,4]， 故选：BC. 12．（5分）（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）对任意A,B⊆R，定义 .例如，若 ，则 ，下列命题中为 A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B} A={1,2,3},B={2,3,4} A⊕B={1,4} 真命题的是（ ） A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅ B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=B C．若 且 ，则 D．若 ，则 A,B⊆R A⊕B⊆A A⊆B A,B⊆R (∁ A)⊕B= ∁ (A⊕B) R R 【解题思路】根据定义 ，得到 ， A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B} A⊕B=[(∁ A)∩B]∪[A∩(∁ B)] R R 对四个选项一一验证. 【解答过程】根据定义 . A⊕B=[(∁ A)∩B]∪[A∩(∁ B)] R R 对于A：若 ,则 , , , A⊕B=B (∁ A)∩B=B A∩(∁ B)=∅(∁ A)∩B=B⇒B⊆(∁ A) R R R R 学科网（北京）股份有限公司,∴ ,故A正确; A∩(∁ B)=∅⇒A⊆B A=∅ R 对于B：若 ,则 , , , ,∴ A⊕B=∅ (∁ A)∩B=∅ A∩(∁ B)=∅ A∩B=A⇒A⊆B A∩B=B⇒B⊆A R R A=B,故B正确; 对于C：若 ,则 , ,则 .故C错; A⊕B⊆A A⊕B⊆A A∩(∁ B)⊆A B⊆A R 对于D：左边 ,右边 (∁ A)⊕B=(A∩B)∪(∁ A∩∁ B) R R R ∁ (A⊕B)= ∁ {[(∁ A)∩B]∪[A∩(∁ B)]}=(A∩B)∪(∁ A∩∁ B) 所以左=右.故D正确. R R R R R R 故选：ABD. 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）（2023·全国·高一假期作业）已知命题p:∀x∈R,ax2+2x+1≠0”的否定为真命题，则实 数a的取值范围是 ¿ . 【解题思路】问题等价于ax2+2x+1=0有解，即¿或a=0，解得答案. 【解答过程】已知问题等价于ax2+2x+1=0有解，即¿或a=0，解得a≤1. 故答案为：¿. 14．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设命题p:|4x−3|≤1；命题q:x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0，若 1 ¬p是¬q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 0≤a≤ ． 2 【解题思路】根据题意，得到q是p的必要不充分条件，进行求解即可. 1 【解答过程】p:|4x−3|≤1,∴ ≤x≤1, 2 , q:x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0,∴a≤x≤a+1 因为¬p是¬q的必要而不充分条件， ∴q是p的必要不充分条件, ∴¿, 1 ∴实数a的取值范围是0≤a≤ , 2 1 故答案为0≤a≤ . 2 学科网（北京）股份有限公司15．（5分）（2023秋·北京石景山·高一统考期末）设P为非空实数集满足：对任意给定的x、y∈P（ x、y可以相同），都有x+ y∈P，x−y∈P，xy∈P，则称P为幸运集. ①集合P={−2,−1,0,1,2}为幸运集；②集合P={x|x=2n,n∈Z}为幸运集； ③若集合P 、P 为幸运集，则P ∪P 为幸运集；④若集合P为幸运集，则一定有0∈P； 1 2 1 2 其中正确结论的序号是 ②④ . 【解题思路】①取x= y=2判断；②设x=2k ∈P,y=2k ∈P判断；③举例 1 2 P ={x|x=2k,k∈Z},P ={x|x=3k,k∈Z}判断；④由x、y可以相同判断； 1 2 【解答过程】①当x= y=2，x+ y=4∉P，所以集合P不是幸运集，故错误； ②设 ，则 ，所 x=2k ∈P,y=2k ∈P x+ y=2(k +k )∈A,x−y=2(k −k )∈A,xy=2k ⋅k ∈A 1 2 1 2 1 2 1 2 以集合P是幸运集，故正确； ③如集合P ={x|x=2k,k∈Z},P ={x|x=3k,k∈Z}为幸运集，但P ∪P 不为幸运集，如 1 2 1 2 x=2,y=3时，x+ y=5∉P ∪P ，故错误； 1 2 ④因为集合P为幸运集，则x−y∈P，当x= y时，x−y=0，一定有0∈P，故正确； 故答案为：②④. 16．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合S,T,S⊆N·,T⊆N·,S,T中，至少有两个元素，且S,T y 满足：①对于任意x,y∈S，若x≠ y，都有xy∈T；②对于任意x,y∈T，若x 4> 4>1 ，故 4= 4 =p ，所以 p =p 3 ， 4 p p p p 2 2 4 2 2 3 3 2 故 ，此时 ，故 ，矛盾，舍去； S={1,p ,p 2,p 3} p 5∈T,p ∈T p 4∈S 2 2 2 2 2 2 若 ，则p p ，故p p ，所以 ， p ≥2 2< 3

4> 4> 4>1 ，故 4= 4 =p ，所以 p =p 4 ， 4 p p p p p 3 1 4 1 1 2 3 3 1 故 ，此时 ， S={p ,p 2,p 3,p 4} {p 3,p 4,p 5,p 6,p 7}⊆T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 若 q∈T ，则 q ∈S ，故 q =p i,i=1,2,3,4 ，故 q=p i+3,i=1,2,3,4 ， p 3 p 3 1 1 1 1 即 ，故 ， q∈{p 3,p 4,p 5,p 6,p 7} {p 3,p 4,p 5,p 6,p 7}=T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 此时 S∪T={p ,p 2,p 3,p 4,p 5,p 6,p 7} ，即 S∪T 中有7个元素. 1 1 1 1 1 1 1 故答案为：7. 四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（2023·高一课时练习）已知集合 . A={x|ax2+4x+4=0,a∈R,x∈R} （1）若A中只有一个元素，求a及A； （2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 【解题思路】（1）分a=0和a≠0两种情况讨论，当A中只有一个元素时，求a的取值； （2）讨论集合A=ϕ或有一个元素时，a的取值范围. 【解答过程】（1）当a=0时，4x+4=0，解得：x=−1 ， 所以A中只有一个元素，即A={−1}， 学科网（北京）股份有限公司当a≠0时，Δ=16−16a=0，解得：a=1， x2+4x+4=0，解得：x=−2，此时A={−2} 综上可知a=0时A={−1}，a=1时A={−2}. （2）当集合A=ϕ时，Δ=16−16a<0，解得：a>1 由（1）可知集合A有1个元素时，a=0或a=1， 综上可知：a=0或a≥1， 即a∈{0}∪[1,+∞). 18．（12分）（2023·高一课时练习）已知集合M=¿. (1)若N=¿，N⊆M，求实数m的取值范围； (2)若N=¿，M⊆N，求实数m的取值范围. 【解题思路】(1)分N为空集和N不为空集两种情况分别求解，最后再求并集即可； (2)M⊆N，则M是N的子集，列出不等式组求解即可. 【解答过程】（1）①若N=∅，则m+1>2m−1，即m<2，此时N⊆M； ②若N≠∅，则¿，解得2≤m≤3. 综合①②，得实数m的取值范围是¿. （2）（2）若M⊆N，则¿，解得3≤m≤4， 所以实数m的取值范围是¿. 19．（12分）（2022秋·吉林四平·高三校考阶段练习）已知命题p：“实数a满足¿”，命题q：“ ， 都有意义”． ∀x∈R √ax2+ax+3 (1)已知m=1，p为假命题，q为真命题，求实数a的取值范围； (2)若p是¬q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）将m=1代入，化简p、q，然后根据p为假命题，q为真命题，列出不等式，即可得到 结果. （2）先根据条件化简p、q得到¬q，然后根据p是¬q的充分不必要条件，列出不等式，即可得到结果. 【解答过程】（1）当m=1时，由{x|1≤x≤2}⊂{x|1≤x≤a}， 得a>2，即：若p为真命题，则a>2； 若q为真命题，即ax2+ax+3≥0恒成立， 则当a=0时，3≥0满足题意； 当a≠0时，¿，解得012． 因为p是¬q的充分不必要条件， 所以m+1>12，解得m>11． 故m的取值范围是¿. 20．（12分）（2023秋·广东揭阳·高一校考期中）已知集合A=¿，B=¿.请从①A∪B=B，②A∩B=∅， ③A∩(∁ B)≠∅这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件 R 分别解答，按第一个解答计分） 1 (1)当a= 时，求A∩B； 2 (2)若______，求实数a的取值范围. 1 【解题思路】(1)取a= 化简B，化简A，再根据交集的定义求A∩B； 2 (2)若选①，由A∪B=B可得A⊆B，讨论a的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论a的 正负，化简集合B，结合条件A∩B=∅列不等式求a的取值范围；若选③，讨论a的正负，化简集合B， 结合条件A∩(∁ B)≠∅列不等式求a的取值范围. R 【解答过程】（1）由题意得，A=¿. 1 当a= 时，B=¿， 2 ∴A∩B={2,3}； （2）选择①. ∵A∪B=B，∴A⊆B， 当a=0时，B=∅，不满足A⊆B，舍去； 1 当a>0时，B=¿，要使A⊆B，则 ≤1，解得a≥1； a 1 当a<0时，B=¿ ，此时 <0，不满足A⊆B，舍去. a 综上，实数a的取值范围为[1,+∞). 选择②. 当a=0时，B=∅，满足A∩B=∅； 学科网（北京）股份有限公司1 1 当a>0时，B=¿，要使A∩B=∅，则 >3，解得00时，B=¿， ∁ B=¿，要使A∩(∁ B)≠∅，则 >1，解得04}. R （2）选①： 因为A∪B=B，所以A⊆B， 当A=∅时，则a−1>2a+1，即a<−2，满足A⊆B，则a<−2； 3 当A≠∅时，a≥−2，由A⊆B得¿，解得−1≤a≤ ； 2 3 [ 3] 综上：a<−2或−1≤a≤ ，即实数a的取值范围为(−∞,−2)∪ −1, ； 2 2 选②： 因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A是B的真子集， 当A=∅时，则a−1>2a+1，即a<−2，满足题意，则a<−2； 学科网（北京）股份有限公司3 当A≠∅时，a≥−2，则¿，且不能同时取等号，解得−1≤a≤ ； 2 3 [ 3] 综上：a<−2或−1≤a≤ ，即实数a的取值范围为(−∞,−2)∪ −1, ； 2 2 选③： 因为A∩B=∅， 所以当A=∅时，则a−1>2a+1，即a<−2，满足A∩B=∅，则a<−2； 3 当A≠∅时，a≥−2，由A∩B=∅得2a+1<−2或a−1>4，解得a<− 或a>5， 2 3 又a≥−2，所以−2≤a<− 或a>5； 2 3 ( 3) 综上：a<− 或a>5，实数a的取值范围为 −∞,− ∪(5,+∞). 2 2 22．（12分）（2023春·北京顺义·高二校考阶段练习）设A是非空实数集，且0∉A．若对于任意的 x x,y∈A，都有xy∈A，则称集合A具有性质P ；若对于任意的x,y∈A，都有 ∈A，则称集合A 1 y 具有性质P ． 2 (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质P 的集合A； 1 (2)若非空实数集A具有性质P ，求证：集合A具有性质P ； 2 1 (3)设全集 ，是否存在具有性质 的非空实数集A，使得集合 具有性质 ？若存 U={x|x≠0,x∈R} P ∁ A P 1 U 2 在，写出这样的一个集合A；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）根据题意直接写出A={−1,1}即可； （2）根据性质P 可知1∈A，分别说明集合A中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质P 2 1 即可． （3）由题意可知1∈∁ A，且∁ A不是单元素集{1}，令a∈A,b∈∁ A,c∈∁ A，且c≠1， 若 U U U U ac∈∁ A，则a∈∁ A，这与a∈A矛盾； U U 1 1 若ac∈A，则 ∈∁ A，c÷ =ac∈∁ A，这与ac∈A矛盾，综上可得到结论． a U a U 【解答过程】（1）由(−1)×(−1)=1,(−1)×1=−1,1×1=1，可得恰含有两个元素且具有性质P 的集合 1 A={−1,1}； （2）若集合A具有性质P ，不妨设a∈A， 2 学科网（北京）股份有限公司a 由非空数集A具有性质P ，有 =1∈A． 2 a ①若A={1}，易知此时集合A具有性质P ． 1 ②若实数集A只含有两个元素，不妨设 ， A={1,a } 1 1 由 =a ，且a ≠1，解得：a =−1，此时集合A具有性质P ． a 1 1 1 1 1 ③若实数集A含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素a ,a ∈A， 1 2 1 则有 ∈A，由于集合A具有性质P ， a 2 1 1 所以有a ÷ =a a ∈A，这说明集合A具有性质P ； 2 a 1 2 1 1 （3）不存在具有性质P 的非空实数集A，使得集合∁ A具有性质P ， 1 U 2 由于非空实数集A具有性质P ，令集合B= ∁ A， 1 U 依题意不妨设b∈B，a∈A， b 因为集合B具有性质P ，所以 =1∈B， 2 b 1 若B={1}，则a≠1， ∈A， a 1 因为非空实数集A具有性质P ，故a× =1∈A，这与B={1}矛盾， 1 a 故集合B不是单元素集{1}， 令c∈B，且c≠1， ac ①若ac∈B，可得 ∈B，即a∈B，这与B= ∁ A矛盾； c U 1 1 ②若ac∈A，由于a∈A，1∉A，所以 ∈B，因此c÷ =ac∈B，这与ac∈A矛盾， a a 综上可得：不存在具有性质P 的非空实数集A，使得集合∁ A具有性质P ． 1 U 2 学科网（北京）股份有限公司