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章末检测（一) 集合与常用逻辑用语
◎◎◎◎◎◎滚动测评卷◎◎◎◎◎◎
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1．设全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝( )
A．{x|0≤x<1} B．{x|01}
【答案】B
【解析】∵全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，∴∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩(∁U B)＝{x|00
【答案】D
【解析】选项A中，0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是( )A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－nn} D．{x|－m0，所以m>－n，结合二次函数y＝
(m－x)·(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n0的解集是( )
A．{x|x<5a或x>－a} B．{x|x>5a或x<－a}
C．{x|－a5a.结合二次
函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}，故选A.
6．若－40.
∴ ≤－1.当且仅当x－1＝ ，即x＝0时等号成立．
7．关于x的方程 的解集为( )
A．{0} B．{x|x≤0或x>1}
C．{x|0≤x<1} D．{x|x≠1}
【答案】B【解析】由题意知， ≥0，所以x≤0或x>1，
所以方程 的解集为{x|x≤0或x>1}．
8．设p：0＜x＜1，q：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值
范围是（ ）
A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）
C．（﹣∞，0]∪[1+∞，） D．（﹣∞，﹣1）∪（0+∞，）
【答案】A
【解析】命题q：：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，即a≤x≤2+a．
由题意得，命题p成立时，命题q一定成立，但当命题q成立时，命题p不一定成立．
∴a≤0，且2+a≥1，解得﹣1≤a≤0，故选：A．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选
项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．（2019·江苏姑苏�高二期中）已知 克糖水中有 克糖 ，若再添加 克糖 ，
则糖水变得更甜.对于 ， ，下列不等式正确的有：( )
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由题意可知，可以得到不等式，若 ， ，则有 ，因此选项A是正确的；由该不等式反应的性质可得： ，因此选项C是正确的；
对于选项B：假设 成立，例如：当 时，显然 不成立，故
选项B不是正确的；
对于选项D：假设 成立，例如：当 时，显然 不成立，
故选项D不是正确的.故选：AC
2．（2020·山东新泰�泰安一中高二期中）如果 ，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】
A. ，故错误；
B. ，当 时， ，故错误；
C. ，故正确；
D. ， ，故正确.
故选CD.11．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 ，则下列结论正确的是( )
A．a>0 B．b>0
C．c>0 D．a＋b＋c>0
【答案】BCD
【解析】因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 ，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象
开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝
>0，又a<0，故b>0，c>0，故B、C正确；由二次函数的图象可知f(1)＝a＋b＋c>0，故D正确．
故选B、C、D.
12．已知关于x的不等式a≤ x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是( )
A．当a＜b＜1时，不等式a≤ x2－3x＋4≤b的解集为∅
B．当a＝1，b＝4时，不等式a≤ x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4}
C．当a＝2时，不等式a≤ x2－3x＋4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式
D．不等式a≤ x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝
【答案】AB
【解析】由 x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，又b＜1，所以Δ＝48(b－1)＜0.从而不等式
a≤ x2－3x＋4≤b的解集为∅，故A正确；当a＝1时，不等式a≤ x2－3x＋4就是x2－4x＋
4≥0，解集为R，当b＝4时，不等式 x2－3x＋4≤b就是x2－4x≤0，解集为{x|0≤x≤4}，故B正
确；在同一平面直角坐标系中作出函数 y＝ x2－3x＋4＝ (x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示．
由图知，当a＝2时，不等式a≤ x2－3x＋4≤b的解集为{x|x ≤x≤x }∪{x|x ≤x≤x }的形式，故
A C D B
C错误；由a≤ x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，
知a≤y ，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b.由当x＝b时函数值是b，得 b2－3b＋4＝
min
b，解得b＝ 或b＝4.当b＝ 时，由 a2－3a＋4＝b＝ ，解得a＝ 或a＝ ，不满足a≤1，
不符合题意，故D错误．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．
【答案】∅
【解析】原不等式变形为3x2－5x＋4<0.
因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，
所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.
14．若不等式x2－4x＋m<0的解集为空集，则不等式x2－(m＋3)x＋3m<0的解集是________．
【答案】{x|30，使得 ＋x－a≤0，则实数a的取值范围是________．【答案】a≥2
【解析】∃x>0，使得 ＋x－a≤0，等价于a大于等于 ＋x的最小值，
∵x＋ ≥2 ＝2(当且仅当x＝1时等号成立)，
故a≥2.
16．(一题两空)某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员
和预计产值如下：
电子器件种类 每件需要人员数 每件产值(万元)
A类 7.5
B类 6
今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．
【答案】20 330
【解析】设总产值为y万元，应开发A类电子器件x件，则应开发B类电子器件(50－x)件．
根据题意，得 ＋ ≤20，解得x≤20.
由题意，得y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使
总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R.
(1)当a＝2时，求A∪B和(∁RA)∩B；
(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当 a＝2 时，A＝{x|1≤x≤7}，则 A∪B＝{x|－2≤x≤7}，∁RA＝{x|x<1 或 x>7}，(∁RA)∩B＝{x|－2≤x<1}．
(2)∵A∩B＝A，∴A⊆B.
若A＝∅，则a－1>2a＋3，解得a<－4；
若A≠∅，由A⊆B，得 ，解得－1≤a≤
综上，a的取值范围是 .
18．(本小题满分12分)）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求：
（1）3x+4y的最小值；
（2）求xy的最小值．
1 3
【解析】（1）正数x，y满足x+3y＝5xy，∴ + =5．
y x
1 3 1 1 12y 3x 1 √4 y x
∴3x+4y= ( + )（3x+4y）= （13+ + ≥ (13+3×2❑ ⋅ )=5，当且仅当x＝1，
5 x y 5 x y 5 x y
1
y= 时取等号．∴3x+4y的最小值为5．
2
（2）∵正数x，y满足x+3y＝5xy，∴5xy≥2❑√3xy，
12 6
解得：xy≥ ，当且仅当x＝3y= 时取等号．
25 5
12
∴xy的最小值为 ．
25
19．(本小题满分12分)解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.
【解析】原不等式可化为 ，即 ，
①当 即 时， ；
②当 时，即 时，原不等式的解集为 ；
③当 即 时， ，
综上知：当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
20．(本小题满分12分)设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
【解析】（1） ，
.
均不为 ，则 ， ；（2）不妨设 ，
由 可知， ，
， .
当且仅当 时，取等号，
，即 .
21．(本小题满分12分)已知命题：“ x {x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m＝0成立”是真命题，
∃ ∈
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x N是x M的必要条件，求a的取值范围．
∈ ∈
1 2 1
【解析】（1）由x2﹣x﹣m＝0可得m＝x2﹣x=(x- ) -
2 4
∵﹣1＜x＜1
1
∴- ≤m＜2
4
1
M＝{m|- ≤m＜2}
4
（2）若x N是x M的必要条件，则M N
∈ ∈ ⊆
1
{ 2-a＜- )
当a＞2﹣a即a＞1时，N＝{x|2﹣a＜x＜a}，则 4 即 9
a＞
a≥2 4
①
a＞1a＜1
{ )
当a＜2﹣a即a＜1时，N＝{x|a＜x＜2﹣a}，则 1 即 1
a＜- a＜-
4 4
②
2-a≥2
当a＝2﹣a即a＝1时，N＝ ，此时不满足条件
③ φ
9 1
综上可得a＞ 或a＜-
4 4
22．(本小题满分12分)某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万
元时，经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元．其中f（x）＝x+1；g（x）
=
{ 10
x
x
+
+
1
1 (0≤x≤3) )
．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个
-x2+9x-12(3＜x≤5)
资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．
【解析】设投入B商品的资金为x万元（0≤x≤5），则投入A商品的资金为5﹣x万元，设收入为
S（x）万元，
10x+1
当0≤x≤3时，f（5﹣x）＝6﹣x，g（x）= ，
x+1
①
10x+1 9 √ 9
则S（x）＝6﹣x+ =17﹣[（x+1）+ ]≤17﹣2❑(x+1)⋅ =17﹣6＝11，当且仅当
x+1 x+1 x+1
9
x+1= ，解得x＝2时，取等号．
x+1
当3＜x≤5时，f（5﹣x）＝6﹣x，g（x）＝﹣x2+9x﹣12，
②
则S（x）＝6﹣x﹣x2+9x﹣12＝﹣（x﹣4）2+10≤10，此时x＝4．
∵10＜11，∴最大收益为11万元，
答：投入A商品的资金为3万元，投入B商品的资金为2万元，此时收益最大，为11万元．
