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章末检测（一) 集合与常用逻辑用语
◎◎◎◎◎◎基础测评卷◎◎◎◎◎◎
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{－1，0，1，2，3}，集合B＝{x∈Z|－2<x≤2}，则A∩B＝( )
A．{－1，0，1} B．{－1，0，1，2}
C．{－1，1} D．{－1，1，2}
【答案】B
【解析】∵集合A＝{－1，0，1，2，3}，集合B＝{x∈Z|－2<x≤2}＝{－1，0，1，2}，
∴A∩B＝{－1，0，1，2}，故选B.
2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．A<B或A>B D．A>B
【答案】B
【解析】∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝ ，∴A≥B.
3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
4．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )
A．命题綈p是真命题B．命题p是存在量词命题
C．命题p是全称量词命题
D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题
【答案】C
【解析】命题p：实数的平方是非负数，是全称量词命题，且是真命题，故綈p是假命题．
5．不等式(x－1) ≥0的解集是( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1}
【答案】C
【解析】当x＝－2时，0≥0成立；当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．
6．下列选项中，使不等式x＜ ＜x2成立的x的取值范围是( )
A．{x|x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
【答案】A
【解析】法一：取x＝－2，知符合x＜ ＜x2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排
除选项B、C、D.
法二：由题知，不等式等价于 ，解得x＜－1，选A.
7．已知x>1，则 的最小值是( )
A．2＋2 B．2－2C．2 D．2
【答案】A
【解析】∵x＞1，∴x－1＞0.
∴
＝ （当且仅当 ，即 时等号成立）
8．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0
的解集是A∩B，那么a＋b等于( )
A．－3 B．1
C．－1 D．3
【答案】A
【解析】 由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数
的关系可知，a＝－1，b＝－2，故a＋b＝－3.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选
项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列不等式中一定成立的是( )
A．ab>ac B．c(b－a)>0
C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0
【答案】ABD
【解析】由c<b<a且ac<0，知a>0，c<0，而b的取值不确定，当b＝0时，C不成立．根据不等式
的性质可知A、B、D均正确．
10．若正实数a，b满足a+b＝1，则下列选项中正确的是（ ）
1
A．ab有最大值 B．❑√a+❑√b有最大值❑√2
41 2 1 9
C．3a-b＞ D． + 有最小值
3 a b 2
【答案】ABC
a+b 1 1
【解析】对于选项A：∵ab≤（ ）2= （当且仅当a＝b= 时取“＝“），故选项A正确；
2 4 2
1
对于选项B：∵（❑√a+❑√b）2＝a+b+2❑√ab≤a+b+a+b＝2，∴❑√a+❑√b≤❑√2（当且仅当a＝b= 时
2
取“＝“），故选项B正确；
1
对于选项C：∵正实数a，b满足a+b＝1，∴a﹣b＝1﹣2b＞﹣1，∴3a﹣b＞3﹣1= ，故选项C正确；
3
对于选项D：∵a+b＝1，∴2 1 （2 1）（a+b）＝3 2b a 3+2 （当且仅当
{a+b=1
)时
+ = + + + ≥ ❑√2 2b a
a b a b a b =
a b
取“＝“），故选项D错误．故选：ABC．
11．已知关于x的不等式ax2＋bx＋3>0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是( )
A．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是{x|x>3}
B．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是R
C．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是∅
D．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是{x|－1<x<3}
【答案】ABD
【解析】在A中，依题意得a＝0，得bx＋3>0，当x>3时，b>－ >－1.即当b>－1时，x>3可使
bx＋3>0成立，故A正确；在B中，取a＝1，b＝2，得x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，解集为R，故B
正确；在C中，当x＝0时，ax2＋bx＋3＝3>0，知其解集不为∅，当a<0，Δ>0，知其解集也不为∅，
故C错误；在D中，依题意得a<0，且 解得 ，符合题意，故D正确．12．已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是( )
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}
D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}
【答案】BCD
【解析】在A中，由Δ＝(m－3)2－4m≥0得m≤1或m≥9，故A错误；在B中，当x＝0时，函数
y＝x2＋(m－3)x＋m的值为m，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是 m∈{m|
m<0}，故B正确；在C中，由题意得 ，解得0<m≤1，故C正确；在D中，
由Δ＝(m－3)2－4m<0得1<m<9，又{m|1<m<9}⊆{m|m>1}，故D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．命题“∀k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定为________________．
【答案】∃k>0，方程x2＋x－k＝0没有实根
14．(一题两空)已知 12<a<60，15<b＜36，则 a－b 的取值范围为________， 的取值范围为
________．
【答案】－24<a－b<45
【解析】由15<b<36得－36<－b<－15.
又因为12<a<60，所以－24<a－b<45.
由15<b<36得 .
又因为12<a<60，所以1 1
15．若正数a，b满足a+b＝1，则 + 的最小值为 ．
3a+2 3b+2
4
【答案】
7
【解析】∵正数a，b满足a+b＝1，∴（3a+2）+（3b+2）＝7．
1 1 1 1 1
∴ + = [(3a+2)+(3b+2)]( + )
3a+2 3b+2 7 3a+2 3b+2
1 3b+2 3a+2 1 √3b+2 3a+2 4 1
= (2+ + )≥ (2+2❑ ⋅ )= ，当且仅当a＝b = 时取等号．
7 3a+2 3b+2 7 3a+2 3b+2 7 2
1 1 4
∴ + 的最小值为 ．
3a+2 3b+2 7
16．若命题“∃x∈R，x2＋2mx＋m＋2<0”为假命题，则m的取值范围是________．
【答案】{m|－1≤m≤2}
【解析】命题“∃x∈R，x2＋2mx＋m＋2<0”为假命题，
则命题“∀x∈R，使得x2＋2mx＋m＋2≥0”是真命题．
故4m2－4(m＋2)≤0，解得－1≤m≤2.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x2＋2x＋c的图象经过原点．
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)<0.
【解析】(1)∵f(x)＝x2＋2x＋c的图象经过原点，
∴f(0)＝0，即c＝0.
从而f(x)＝x2＋2x.
(2)f(x)<0即x2＋2x<0，x(x＋2)<0，解得－2<x<0，即不等式f(x)<0的解集为{x|－2<x<0}．
18．(本小题满分12分)当p，q都为正数且p＋q＝1时，试比较代数式(px＋qy)2与px2＋qy2的大小．【解析】(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.
因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p，
所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2.
因为p，q都为正数，所以－pq(x－y)2≤0，
因此(px＋qy)2≤px2＋qy2，当且仅当x＝y时等号成立．
19．(本小题满分12分)已知集合A＝ ，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}．
(1)求集合A，B；
(2)若B⊆A，求实数m的取值范围．
【解析】(1) ，所以 A＝{x|－2<x<2}．x2－(2m＋1)x＋m2＋
m<0⇔(x－m)[x－(m＋1)]<0⇔m<x<m＋1，
所以B＝{x|m<x<m＋1}．
(2)B⊆A⇒ ⇒－2≤m≤1.
故实数m的取值范围为{m|－2≤m≤1}．
20．(本小题满分12分)已知二次函数f（x）＝mx2﹣mx﹣6．
（1）当m＝1时，解不等式f（x）＞0；
（2）若不等式f（x）＜0的解集为R，求实数m的取值范围．
【解析】（1）当m＝1时，不等式为x2﹣x﹣6＞0，即（x+2）（x﹣3）＞0，
解得x＜﹣2或x＞3，所以不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞3}；
{m＜0)
（2）若不等式f（x）＜0的解集为R，则应满足 ，
△＜0即{ m＜0 )，解得﹣24＜m＜0；
m2+24m＜0
所以m的取值范围是﹣24＜m＜0．
1 2
21．(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0且 + =1，
a b
（1）求ab最小值；
（2）求a+b的最小值．
1 2
【解析】（1）∵a＞0，b＞0且 + =1，
a b
1 2 √1 2 √ 2 √ 2
∴ + ≥2❑ ⋅ =2❑ ，则2❑ ≤1，
a b a b ab ab
1 2
即ab≥8，当且仅当 = 时取等号，
a b
∴ab的最小值是8；
1 2
（2）∵a＞0，b＞0且 + =1，
a b
1 2 b 2a √b 2a
∴a+b＝（ + ）（a+b）＝3+ + ≥3+2❑ ⋅ =3+2❑√2，
a b a b a b
b 2a
当且仅当 = 时取等号，
a b
∴a+b的最小值是3+2❑√2．
22．(本小题满分12分)某镇计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、
右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为
多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
【解析】设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，蔬菜的种植面积为S m2，则ab＝800.所以S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)≤808－4 ＝648，
当且仅当a＝2b，即a＝40，b＝20时等号成立，则S ＝648.
最大值
故当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为
648 m2.
