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专题01 指数运算及指数函数12 大题型（高效培优专项训
练）
目录
A 题型建模・专项突破
题型一、根式的化简与求值.............................................................................................................................. 1
题型二、根式与分数指数幂的混合运算..........................................................................................................1
题型三、由条件求值.......................................................................................................................................... 2
题型四、指数函数的解析式.............................................................................................................................. 3
题型五、指数函数的定点及图象问题..............................................................................................................3
题型六、指数函数的值域问题..........................................................................................................................4
题型七、指数函数的单调性问题......................................................................................................................5
题型八、指数式比较大小.................................................................................................................................. 6
题型九、指数函数解不等式问题......................................................................................................................6
题型十、指数函数模型的应用..........................................................................................................................7
题型十一、恒成立问题...................................................................................................................................... 7
题型十二、指数函数中分类讨论......................................................................................................................8
B 综合攻坚·能力跃升................................................................................................................................................ 9
题型一、根式的化简与求值
1．若
，则
的化简结果是（ ）
A．1
B．
C．
D．
2．设
，若
为定值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
4．当
时，化简
.
题型二、根式与分数指数幂的混合运算
5．求值：
.
6．（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．化简：
．
8．计算：
(1)
(2)
9．计算：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
题型三、由条件求值
10．已知正数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．9
C．
D．13
11．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
12．已知
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
13．（1）已知
，
，求
的值；
（2）已知
，
为正实数，求
的值；
（3）已知
，求
的值.
题型四、指数函数的解析式
14．下列函数中，指数函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．函数
是指数函数，则有（ ）
A．
或
B．
C．
D．
且
16．已知函数
是指数函数，且
，则
.
17．指数函数
（
且
）的图像过点
，若
时，
；
时，
，则
．
题型五、指数函数的定点及图象问题
18．函数
的图象一定经过点（ ）
A．
B．
C．
D．
19．函数
图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．当
时，函数
和
的图象只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．已知函数
（
，且
）与函数
（
，且
）的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
22．若函数
（
且
）的图象恒过点
，则
，
；此时该图
象所过的另外一个定点是 .
23．如图，曲线①②③④中有3 条分别是函数
，
，
的图象，其中曲线①与④关于
轴
对称，曲线②与③关于
轴对称，则
的图象是曲线 ．（填曲线序号）
题型六、指数函数的值域问题
24．已知函数
．若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是 .
26．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．求函数
的值域.
28．已知函数
（
，且
）．
(1)若
的图象过点
和
，求
在
上的值域；
(2)若
在区间
上的最大值比最小值大
，求
的值．
题型七、指数函数的单调性问题
29．已知
成立，
函数
是减函数， 则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
30．函数
，则对任意实数
，下列结论正确的是（ ）
A．
是偶函数，且在
上单调递增
B．
是奇函数，且在
上单调递增
C．
是奇函数，且在
上单调递减
D．
是偶函数，且在
上单调递减
31．若函数
（
且
）在区间
上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
32．函数
的减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
33．设函数
，则满足
的的取值范围是 .
34．设函数
在区间
上单调递减，则a 的取值范围是 ．
题型八、指数式比较大小
35．若
，
，
，则下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
36．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
37．已知函数
．记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
38．已知函数
，则满足不等式
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
39．已知
，若将
、
、
按从小到大的顺序排列，应当是 ．
题型九、指数函数解不等式问题
40．若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
41．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
42．若
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集为
．
43．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
44．已知函数
，则不等式
的解集是（ ）．
A．
B．
C．
D．
题型十、指数函数模型的应用
45．某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，
这种植物每天以
的增长率生长，8 天后，该植物的长度是原来的
倍，则24 天后该植物的长度是原来
的（ ）
A．
倍
B．
倍
C．
倍
D．
倍
46．著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为
，空气温度为
，则分钟后物体的温度
（单位：
）满足：
．若当空气温度为
时，某物体
的温度从
下降到
用时
分钟，则再经过
分钟后，该物体的温度为（ ）
A．
B．
C．
D．
47．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）与时间（单位：
）间的关系为
，其中
、
是正的常数.如果前
消除了
的污染物，那么前
消除的污
染物的占比为（ ）
A．
B．
C．
D．
48．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为
，经过天后，体积
与天数
的关系式为
.已知新丸经过25 天后，体积变为
，则新丸经过75 天，体积变为（ ）
A．
B．
C．
D．
49．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用
表达，其中
为正实数，
是极角，
是极径．若
每增加
个单位，则
变为原来的（ ）
A．
倍
B．
倍
C．
倍
D．
倍
题型十一、恒成立问题
50．已知函数
，
．若对任意的
，
恒成立，则
实数
的取值范围为 ．
51．已知函数
是定义域为
的奇函数，
.
(1)求
的值；
(2)用定义法证明
的单调性；
(3)当
时，
恒成立，求实数k 的取值范围.
52．已知函数
.
(1)当
时，求
的值域；
(2)当
时，若
恒成立，求实数
的取值范围.
53．已知函数
是偶函数，
是奇函数，且
．
(1)求
和
的解析式；
(2)若关于
的不等式
在区间
上恒成立，求实数
的取值范围；
题型十二、指数函数中分类讨论
54．已知函数
（
且
）在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
55．已知函数
（
且
）在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
56．若函数
且
在
上的值域为
，则
的值为（ ）
A．
或
B．0 或
C．
或
D．
或
57．已知奇函数
在
上的最大值为
，则
．
58．设函数
是定义域为
的偶函数，
是定义域为
的奇函数，且
.
(1)求
与
的解析式；
(2)若
在
上的最小值为
，求
的值.
一、单选题
1．（2025·26 高三上·山西·阶段练习）已知函数
（
且
）是奇函数，则
（ ）
A．1
B．3
C．
D．
2．（2024·25 高一上·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：
）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式
近似满足
（a 为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v 约等于
2.9
，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13 倍时，v 约等于5.8
，则常数b 的
值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（2025·江西新余·模拟预测）已知
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2024·25 高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数
，且对于任意的
，有
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
5．已知
，下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·四川绵阳·三模）已知定义在
上的函数
，且
，则（ ）
A．
的值可以为
B．
的值可以为2
C．若
，则
D．若
，且
，则
的最大值为
三、填空题
7．（2024·25 高一上·广东汕头·阶段练习）若
，则
.
8．（2025·26 高三上·山东潍坊·阶段练习）不等式
在R 上恒成立，则实数t 的取值范围
为 ．
9．（2024·25 高二下·天津南开·期末）已知分段函数
对任意的
且
，均有
，则实数的取值范围是 .
四、解答题
10．（2024·25 高一上·上海嘉定·期末）（1）计算：
；
（2）已知
，
，求
的值；
（3）已知
，求
的值．
11．（2025·26 高三上·上海嘉定·阶段练习）已知函数
是
上的奇函数.
(1)求
的值；
(2)若存在实数
，使不等式
成立，求实数
的取值范围.
12．（2025·26 高二上·云南昆明·阶段练习）已知函数
（
，且
）.
(1)若
，求函数
在
上的值域；
(2)若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围.
13．（2025·26 高一上·全国·单元测试）函数
（
且
）是定义在
上的奇函数．
(1)求
的值，判断
的单调性，并证明；
(2)若对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
