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对数与对数函数
2.7
1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数．
a
2.7 对数与对数函数..............................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：对数.............................................................2
考点2：对数函数.........................................................2
【常用结论归纳】.........................................................3
二、分类题型................................................................4
题型一 对数式的运算......................................................4
题型二 对数函数的图像及应用..............................................7
题型三 对数函数的性质及应用.............................................10
命题点1 比较指数式、对数式的大小...................................10
命题点2 解对数方程不等式...........................................11
命题点3 对数性质的应用.............................................12
三、课堂总结：知识图谱.....................................................16
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................17一、主干知识
考点1：对数
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x ＝ log N，其中a 叫做对数的
a
底数，N 叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N .
以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N .
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：log 1＝0，log a＝1， ＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
a a
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①log (MN)＝log M＋log N；
a a a
②log ＝log M－log N；③log Mn＝nlog M (n∈R)．
a a a a a
(3)换底公式：log b＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
a
考点2：对数函数
3．对数函数的图象与性质
y＝logx a>1 0<a<1
a
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0； 当x>1时，y<0；
性质 当0<x<1时， 当0<x<1时，
y<0 y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
a【常用结论归纳】
1．log b·log a＝1， ＝log b.
a b a
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝log x(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
a
4.指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b⇔f（x）＝log
a
b；log
a
f（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）
（2）af（x）＝ag（x） f（x）＝g（x）；log f（x）＝log g（x） f（x）＝g（x）＞0（同底法）
a a
（3）af（x）＝bg（x） ⇔f（x）log a＝g（x）log b；（两边取对数⇔法）
m m
⇔
（4）log f（x）＝log g（x） log f（x）＝ ；（换底法）
a b a
⇔
（5）Alog x+Blog x+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝log x或t＝ax）（换元法）
a a
5.指数函数与对数函数的联系与区别：二、分类题型
题型一 对数式的运算
【例题精析1】 （2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知 ，且 ，则
（ ）.
A．3 B．6 C．12 D．18【解答】由 得： ，由换底公式可得： ，则
，所以 ，
因为 ，所以 ，故选：B
【例题精析2】 （2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知 ，且 ，则
（ ）.
A．3 B．6 C．12 D．18
【解答】由 得： ，
由换底公式可得： ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故选：B
【例题精析3】 （2021秋·高一课时练习）计算:
(1) ；
(2) .
【解答】（1）
.
（2）
.
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变
形应用．【对点精练1】 （2023·山东青岛·统考模拟预测）已知实数a，b满足 ，则 的最小
值是__________.
【解答】因为实数a，b满足 ，所以 ，且 .
令 ，则 ，所以 ，代入 ，则有 ，
所以关于b的一元二次方程 有正根，
只需 ，解得： .
此时，关于b的一元二次方程 的两根 ，所以两根同号，只需 ，
解得 .综上所述： .
即 的最小值是 （此时 ，解得： ）.
故答案为： .
【对点精练2】 （2023·天津和平·统考二模）设 ， ， ，若 ， ，则
的最大值为__________．
【解答】因为 ，所以 ， .
又 ， ，
所以 ， .因为 ， ，根据基本不等式有 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，所以 .
则 ，所以 的最大值为 .故答案为： .【对点精练3】 已知 ，则 的值为_________．
【解答】解：因为 ，
所以 ，所以 .故答案为：
【对点精练4】 已知 ，则 ______.
【解答】由 可得 ，又 ，所以 为方程 的解，
所以 ， ，所以 ，故答案为：
【对点精练5】 计算：
(1) ；
(2)
【解答】（1） ；
（2）
．题型二 对数函数的图像及应用
【例题精析1】 已知函数 （a，b为常数，其中 且 ）的图象如图所示，则下列结论正
确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，所以 ，排除A，C；
又因为函数过点 ,所以 ，解得 ．故选：D
【例题精析2】 若函数 的值域为 ，则函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．【解答】∵ ，且 的值域为 ，∴ ，当 时， 在 上是增
函数．又函数 ，所以 为偶函数，图象关于y轴对称，所以 的
大致图象应为选项A．故选：A．
【例题精析3】 函数 零点的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】画出函数 和 的图象，其中 ，如图,
由图可知，
当 时， ，两函数图象没有交点；当 时，两函数图象有3个交点；当
时， ，两函数图象没有交点，综上，函数 和 的图象有3个交点，所以，函数
零点的个数为3．故选：C.
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、
最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【对点精练1】 已知函数 （ 为常数，其中 ）的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】由函数图象可知函数为单调递减函数，结合 可知 ，
当 时， ，当 时， ，故 ，
故选：D
【对点精练2】 已知 ，且 ，则函数 与 的图象只可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】当 时，函数 为增函数，且直线 与y轴的交点的纵坐标大于1；当 时，
函数 为减函数，且直线 与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合，故选：C．
【对点精练3】 在同一平面直角坐标系中，函数 ， 且 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．【解答】对于AB，若 图象正确，则 ， 单调递减，又 时，
，A正确，B错误；对于CD，若 图象正确，则 ， 单
调递增，CD错误.故选：A.
【对点精练4】 函数 的图象恒过定点A，且点A在幂函数 的图象上，则 ＝
________.
【解答】令 ，得 ，此时 ，故定点 ，设 ，则 ，得 ，故
，故答案为：27
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式、对数式的大小
【例题精析1】 （2021•新高考Ⅱ）已知 ， ， ，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ．故选： ．
【例题精析2】 （2020•新课标Ⅲ）已知 ， ．设 ， ， ，则A． B． C． D．
【解答】解法一：由 ， ，而
，即 ； ， ， ， ；
， ， ， ，综上， ．
解法二： ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ．故选： ．
命题点2 解对数方程不等式
【例题精析3】 不等式 的解集是
A． B． C． D． ， ，
【解答】解：
（1）无解，（2）的解为 ，取并集可得， ，故选： ．【例题精析4】 方程 的解 0 ．
【解答】解：由 方程 可得 ，化简可得 ，故 ，故答案为 0．
命题点3 对数性质的应用
【例题精析5】 （2023•宝鸡二模）已知函数 ，则
A． 在 单调递减，在 单调递增
B． 在 单调递减
C． 的图像关于直线 对称
D． 有最小值，但无最大值
【解答】解：由题易知，函数 的定义域为 ，
，
由复合函数的单调性可知，函数 在 单调递增，在 单调递减，故 、 错误；
， ，
所以 ，所以 的图象关于直线 对称，故 正确；
由函数 在 单调递增，在 单调递减，可得函数有最大值 （1）
，故 错误．故选： ．
【例题精析6】 （2023•五河县模拟）已知函数 ，则下列说法中正确的是
A．函数 的图象关于原点对称B．函数 的图象关于 轴对称
C．函数 在 ， 上是减函数
D．函数 的值域为
【解答】解：因为 的定义域为 ， ，
所以 ，
所以 为偶函数，故 错误， 正确；
令 ，则 ，令 ，则 ，
当 ， 时， ， ，
所以 为增函数，
又 为增函数，所以 为增函数，
又 为增函数，所以 在 ， 上是增函数，
又 为 上的偶函数，
所以 ，所以 的值域为 ，故 错误， 正确．
故选： ．
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；
二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．【对点精练1】 （2021•天津）若 ，则
A． B． C．1 D．
【解答】解： ， ， ，
，
故选： ．
【对点精练2】 （2021•全国）已知 ，则以下四个数中最大的是
A． B． C． D．
【解答】解：令 ， ，
则 ，
，
，
，
故最大的是 ，
故选： ．
【对点精练3】 （福建高考真题）若函数 且 的值域是 ， ，则实数
的取值范围是 ， ．
【解答】解：由于函数 且 的值域是 ， ，
故当 时，满足 ．①若 ， 在它的定义域上单调递增，
当 时，由 ， ， ， ．
②若 ， 在它的定义域上单调递减，
，不满足 的值域是 ， ．
综上可得， ，
故答案为： ， ．
【对点精练4】 （2022秋•锦州期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星
等与亮度满足关系式 ，其中星等为 的星的亮度为 ．已知牛郎星的星
等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为
A． B． C． D．
【解答】解： （所求为牛郎星的亮度比织女星的亮度，所以牛
郎星为2，织女星为 ．
．
故选： ．
【对点精练5】 （2022秋•南山区校级期末）函数 的定义域是 ， ， ．
【解答】解：函数 ，则 ，
解得 或 ，即函数的定义域为 ， ， ，
故答案为： ， ， ．
【对点精练6】 （2021秋•连云港期末）方程 的解是 ．
【解答】解： ，
，
解得 ．
故答案为： ．
【对点精练7】 （2020秋•湘西州期末）函数 的定义域是 ， ， ．
【解答】解： 函数 ，
，
即 ，
解得 ，或 ；
函数 的定义域是 ， ， ．
故答案为： ， ， ．
【对点精练8】 （2023春•滁州期中）函数 的值域为 ， ．
【解答】解： ， ，
故答案为 ， ．三、课堂总结：知识图谱四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•辽阳二模）若 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，所以 为减函数，
所以 ，即 ．
因为 ，所以 为增函数，
所以 ，即 ．
因为 ，所以 为增函数，
所以 ，即 ，
所以 ．
故选： ．
2．（2022•天津）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 是定义域 上的单调增函数，所以 ，即 ；
因为 是定义域 上的单调减函数，所以 ，且 ，所以 ；
因为 是定义域 上的单调增函数，所以 ，即 ；
所以 ．
故选： ．3．（2022•新高考Ⅰ）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：构造函数 ， ，
则 ， ，
当 时， ，
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增，
在 处取最小值 （1） ，
， 且 ，
， ， ；
， ，
， ；
设 ，
则 ，
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
， 当 时， ，
当 时， ， 单调递增，， ， ，
．
故选： ．
4．（2020•新课标Ⅲ）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
．
故选： ．
5．（2021•天津）设 ， ， ，则三者大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ， ，
， ， ，故选： ．
6．（2020•天津）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
则 ，
，
，
故选： ．
7．（2019•新课标Ⅰ）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．【解答】解： ， ， ，
．
故选： ．
8．（2019•天津）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，可知：
，
，
，
．
故选： ．
9．（2019•天津）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，可知：
，
．
，
最大， 、 都小于1．
， ．
而 ，
．，
．
故选： ．
10．（2018•天津）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ，且 ，
，
则 ，
．
故选： ．
11．（2018•天津）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ，
则 ， ， 的大小关系 ，
故选： ．
12．（2022•浙江）已知 ， ，则
A．25 B．5 C． D．
【解答】解：由 ， ，
可得 ，
则 ，故选： ．
1．（2023•河南模拟）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
， ，
又 ，
，
，
故选： ．
2．（2022秋•天河区期末）已知实数 ， ． 满足 ， ， ，则 ， ，
的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
令 ，
则 在 上单调递增且连续，
（1） ， ，故函数 在 上有零点，
即 ，
故 ，
故选： ．
3．（2022秋•鼓楼区校级期末）已知 ， ，则下列不等式正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
即 ，
故 ，
，
故 ，
故选： ．
4．（2022秋•东城区期末）记地球与太阳的平均距离为 ，地球公转周期为 ，万有引力常量为 ，根据
万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量 ．已知 ， ， ，
由上面的数据可以计算出太阳的质量约为
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
故选： ．
5．（2022•江西模拟）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解：根据对数函数单调性可知 ，
根据正弦函数性质可知 ，
根据指数函数性质可知 ，
所以 ．
故选： ．
6．（2021秋•云南期末）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：构造函数 ，可化为 ，
当 时， ，
所以函数 在 上是减函数，
所以 ，根据对数函所以数单调性可知 ，所以 ．
故选： ．
7．（2021秋•赣州期末）若 ，且 ，则实数 的值为 1 8 ．
【解答】解：因为 ，所以 ， ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的值为18．
故答案为：18．
8．（2022春•天心区校级期末）若函数 在区间 ， 上是增函数，则 的取值
范围是 ．
【解答】解：有题意可得： ，
在定义域上是单调增函数，且函数 在区间 ， 上是增函数，
在 ， 上是增函数，
， ，
当 时，函数的定义域为 ，
， ，
当 时，定义域为 ，
，
故答案为：
9．（2021秋•平罗县校级期末）已知 ，则实数 的取值范围是 ．
【解答】解：由 在定义域上是减函数和真数大于零得，
，解得 ，
故答案为： ．1．已知两条直线 和 ， 与函数 的图象从左到右相交于 、 ，
与函数 的图象从左到右相交于 、 ，记线段 和 在 轴上的投影长度分别为 ， ，当
变化时， 的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：设 ， ， ， 各点的横坐标分别为 ， ， ， ，
则 ， ； ， ；
， ， ， ．
， ，
则 ，
又 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
，
故选： ．
2．如图，已知过原点 的直线与函数 的图象交于 ， 两点，分别过 ， 作 轴的平行线与
函数 图象交于 ， 两点，若 轴，则四边形 的面积为 ．【解答】解：设点 、 的横坐标分别为 、 由题设知， ， ．
则点 、 纵坐标分别为 、 ．
因为 、 在过点 的直线上，所以 ，
点 、 坐标分别为 ， ， ， ．
由于 平行于 轴知
，
即得 ，
．
代入 得 ．由于 知 ，
．
考虑 解得 ．
于是点 的坐标为 ， 即 ，
， ， ， ， ， ．
梯形 的面积为 ．
故答案为： ．
3．函数 满足 ，且 ， 均大于 ， ，则 的最小值为 ．
【解答】解： ，
，
， 均大于
， 均大于1
（舍去）或（当且仅当 即 时取等号）
故答案为
4．设 ，则 的定义域为 ， ， ．
【解答】解：要使函数有意义，则 解得
要确保两个式子都要有意义，则 ， ，
故答案为： ， ，
