文档文本内容
集合
1-1
1. 通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合
语言的意义和作用.
3. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
4. 在具体情境中，了解全集与空集的含义.
5. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
6. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
1.1 集合........................................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：集合与元素.......................................................2
考点2：集合间的基本关系.................................................2
考点3：集合的基本运算...................................................2
【常用结论】.............................................................3
二、分类题型................................................................4
题型一 集合的含义........................................................4
题型二 集合间的基本关系..................................................5
题型三 集合的基本运算....................................................6
命题点1 集合的运算..................................................6
命题点2 利用集合的运算求参数........................................7
题型四 集合的新定义问题..................................................7
三、课堂总结：知识图谱......................................................9
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................10一、主干知识
考点1：集合与元素
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为： 和 .
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（ 图）.
（4）常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
或
2、集合的特性
①确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居
其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．
②互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成
{1，1，2}，应写成{1，2}．
③无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相
等的两个集合．
2、集合的表示法
①列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方
法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开．
②描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号
内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的
共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π}
③图示法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示
一个集合．
④自然语言（不常用）．考点2：集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这
两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）． 记作：A⊆B（或B⊇A）．
（2）真子集：真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集
合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集。
（3）相等：如果集合 是集合 的子集（ ，且集合 是集合 的子集（ ），此时，集合
与集合 中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 .
（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集
合的真子集.
归纳：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集； ③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．
{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}
（5）真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；
注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；
另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在
所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集
就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．
考点3：集合的基本运算
（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
（3）补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集
的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即 ．【常用结论】
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.二、分类题型
题型一 集合的含义
【例题精析1】 （2022年全国高考乙卷数学（理）试题）设全集 ，集合M满足 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【解答】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误故选:
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三
是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
【对点精练1】 在“①个子较高的人；②所有的正方形；③方程 的实数解”中，能够表示成集合的
是（ ）
A．② B．③ C．①②③ D．②③
【解答】①个子较高的同学，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合；
②所有的正方形满足集合元素的确定性，互异性，可以构成集合；
③方程 的实数解，能构成集合.故选：D.题型二 集合间的基本关系
【例题精析2】 设集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】由题意可知：比如 ，即 ，对任意 ，则 ，
∵ ，则 ，即 ，∴ ，且 ，B正确，D错误；又∵ ，令
，解得 ，即 ，∴ ，且 不是 的子集，A、C错误；故选：B.
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转
化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
【对点精练2】 已知集合 ，则满足条件 的集合
的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】求解一元二次方程，得 ，
易知 .因为 ，所以根据子集的定义，集合 必须含有元素1,2，
且可能含有元素3,4，原题即求集合 的子集个数，即有 个，故选D.题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
【例题精析3】 （2021年全国高考乙卷）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解答】任取 ，则 ，其中 ，所以， ，故 ，因此， .
故选：C.
【例题精析4】 （2022·天津·统考高考真题）设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解答】 ，故 ，故选：A.
集合的基本运算的关注点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的
前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．【对点精练3】 （2022·全国·统考高考真题）设全集 ，集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】由题意， ，所以 ,所以 .故选：D.
【对点精练4】 （重庆·高考真题）已知集合 ，集合 ，
则 ___________.
【解答】解：因为集合 ，
集合 ，所以 ，
故答案为：
命题点2 利用集合的运算求参数
【例题精析5】 已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若 有三个元素，则实数m的取值范
围是（ ）
A．[3，4） B．[1，2） C．[2，3） D．（2，3]
【解答】根据题意则A={0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}， ，
若 有三个元素，则有 ，
即实数m的取值范围是[2，3）；故选：C对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的
元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
【对点精练5】 已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
又 ， 结合数轴可得 ，所以 的取值范围为 .故选：D.
【对点精练6】 集合 ， ， ，若 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【解答】由题得 ，
因为 ，所以 .故选：B.
题型四 集合的新定义问题
【例题精析6】 定义集合 ，设集合 ， ，则 中元素
的个数为（ ）
A． B． C． D．【解答】因为 ， ，所以 ，故 中元素的个数为 .故选：B.
【例题精析7】 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪 直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要
求出发，用有理数的“分割”来定义无理数 史称戴德金分割 ，并把实数理论建立在严格的科学基础上，
才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机 所谓戴德金
分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足 ， ，M中的每一个
元素都小于N中的每一个元素，则称 为戴德金分割 试判断，对于任一戴德金分割 ，下列选
项中，可能成立的是（ ）
A．M没有最大元素，N有一个最小元素 B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M有一个最大元素，N没有最小元素
【解答】令 ， ，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最
小元素，即选项A可能；令 ， ，显然集合M中没有最大元素，
集合N中也没有最小元素，即选项B可能；假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显
然这是不可能的；令 ， ，显然集合M中有一个最大元素，集合N
中没有最小元素，即选项D可能.故选：ABD．
解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给
定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
【对点精练7】 设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中 ， ，则 中元素的个数是_________．
【解答】依题意， ，所以 共有 个元素.故答案为：
【对点精练8】 设集合S，T，S N*，T N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，y S，若x≠y，都有xy T②对于任意x，y T，若x<y，则 S；下列命题正确的是
（ ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
【解答】首先利用排除法：
若取 ，则 ，此时 ，包含4个元素，排除选项 C；
若取 ，则 ，此时 ，包含5个元素，排除选项D；
若取 ，则 ，此时 ，包含7个元素，排除选项
B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合 ，且 ， ，
则 ，且 ，则 ，同理 ， ， ， ， ，
若 ，则 ，则 ，故 即 ，又 ，故 ，所以 ，
故 ，此时 ，故 ，矛盾，舍.
若 ，则 ，故 即 ，
又 ，故 ，所以 ，故 ，此时
.
若 ， 则 ，故 ，故 ，即 ，故 ，此时 即 中有
7个元素.故A正确.故选：A.三、课堂总结：知识图谱四、分层训练：课堂知识巩固
1.设集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】对于集合M： ，k∈Z，对于集合N： ，k∈Z，∵2k+1是奇数集，
k+2是整数集∴ 故选：B
2．设合集 ，集合 ，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．PM C． M P D．
【解答】 = 或 ，所以M P.故选：C.
3．（2022·全国·统考高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】因为 ， ，所以 ．故选：A.
4．（2022·全国·统考高考真题）若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】 ，故 ，故选：D5．（2022·全国·统考高考真题）集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】因为 ， ，所以 ．故选：A.
6．（2022·全国·统考高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】[方法一]：直接法因为 ，故 ，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合 ，可得 ，不满足，排除A、D；
代入集合 ，可得 ，不满足，排除C.故选：B.
7．（2021·浙江·统考高考真题）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】由交集的定义结合题意可得： .故选：D.
8．（2021·全国·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】 ，故 ，故选：B.
9．（2021·全国·统考高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B．C． D．
【解答】因为 ，所以 ,故选：B.
10．（2021·全国·统考高考真题）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】由题设有 ，故选：B .
11．（2022·浙江·统考高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】 ，故选：D.
12．（2021·北京·统考高考真题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【解答】由题意可得： .故选：B.
13．（2022·北京·统考高考真题）已知全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解答】由补集定义可知： 或 ，即 ，故选：D．
14．（2022·全国·统考高考真题）设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．【解答】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误故选:
15．（2017·北京·高考真题）已知全集 ，集合 ，则
A． B．
C． D．
【解答】因为 或 ，所以 ，故选：C．
16．（2021·全国·统考高考真题）已知全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解答】由题意可得： ，则 .故选：A.
17．（2019·天津·高考真题）设集合 ， ， ，则
A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}
【解答】因为 ，所以 .故选D．
1．（2022•朝阳区校级三模）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值组成的集合是
A． B． C． ， D． ，0，
【解答】解：集合 ， ，集合 中至多有一个元素，
若集合 为空集，即 时，显然满足条件 ，故 成立，
若集合 非空集，即 ，此时 ，
若 ，则 ，若 ，则 ，
故 的取值集合为 ， ， ．
故选： ．
2．（2022•天门校级模拟）已知集合 ， ， ，则下列结论正确的
是
A． B． ， C． ， D．
【解答】解： ， ， ，
， ，
故 、 没有子集关系，故选项 错误；
， ，故选项 错误；
， ，故选项 正确；
，故选项 错误；
故选： ．
3．（2022•梅州模拟）已知集合 ，集合 ， ， 满足：①每个集合都恰有3个元素；② ．集合 中元素的最大值与最小值之和称为集合 的特征数，记为 ，2， ，
则 的最大值与最小值的和为
A．60 B．63 C．56 D．57
【解答】解： 集合 中最小值为1，最大值为9，
不妨记 ， ，则 ，
若使 取得最大值，
则使 ，2， ，
剩余的数中最小值为3，最大值为8，
同理可令 ，4， ， ，
则 ，6， ， ，
则此时 ，
同理可知，当 ，8， ， ，6， ， ，4， 时，
有最小值27，
故 的最大值与最小值的和为60，
故选： ．
4．（2022•沙河口区校级一模）已知有限集 ， ，定义集合 ，且 ， 表示集合
中的元素个数．若 ，2，3， ， ，4， ，则
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解： ，2，3， ， ，4， ，， ， ，
故 ，2， ，
故 ，
故选： ．
5．（2022•河西区模拟）设集合 ，集合 ，则
A． B． ， ， C． D．
【解答】解：因为集合 ，集合 ，
， ．
故选： ．
6．（2022•定海区校级模拟）若集合 ， ，则能使 成立的所有
组成的集合为
A． B． C． D．
【解答】解：若 ，即 ，解得 时，满足 ．
若 ，即 时，要使 成立，
则 ，即解得 ，此时 ．
综上 ．
故选： ．
7．（2022•汉中模拟）设集合 ，集合 ，则下列关系中正确的是
A． B． C． D．【解答】解：集合 ，集合 ，
则 ， 正确；
或 ， ， 错误；
， 或 ， 错误；
， 错误．
故选： ．
8．（2022•滨海县校级模拟）已知集合 ， ， ，若 ，则实数 满
足
A． B． C． ， D．
【解答】解：由 得， ，则 或 ，
（1）当 时，即有：△ ，解得 ，
适合条件 ，实数 满足： ；
（2）当 时，且 ， ，
①若 ，表明 有两个相等的实根 ，
则 ，则 ，满足△ ；
②若 ，表明 有两个相等的实根2，
则 ，解得 ，满足△ ；
③若 ， ，表明 有两个的实根 和2，
则 ， ，则 不存在；综上得：所有满足条件的实数 组成的集合为 ， ，
故选： ．
9．（2022•渭滨区校级模拟）设集合 ， ， ，若 ，则
A． 或 或2 B． 或 C． 或2 D． 或2
【解答】解：若 ，则 ，
，
，4， ；
若 ，则 或 ，
时， ，
， ， ；
时， （舍 ，
故选： ．
10．（2021•菏泽二模）已知集合 ，则
A． B． C． ， D． ，0，
【解答】解：解 得 或 ，
则 或 ，
则 ， ，
故选： ．
11．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知集合 ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： ， ，， ．
故选： ．
12．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知集合 ， ，且 ，则实数 的取值
范围是
A． ， B． ， C． D．
【解答】解：已知集合 ， ，且 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，并且 满足 ，即 ．所以 ，
综上实数 的取值范围为： ， ，
故选： ．
1．对于任意两个正整数 ， ，定义某种运算“※”如下：当 ， 都为正偶数或正奇数时， ※
；当 ， 中一个为正偶数，另一个为正奇数时， ※ ．则在此定义下，集合
※ ， ， 中的元素个数是
A．10个 B．15个 C．16个 D．18个
【解答】解： ※ ， 、 ，
若 和 一奇一偶，则 ，满足此条件的有 ，故点 有4个；
若 和 同奇偶，则 ，满足此条件的有 共 6 组，故点有 个，所以满足条件的个数为 个．故选： ．
2．设 为全集，对集合 ， ，定义运算“ ”， ．对于任意集合 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ． 对于任意集合 ， ， ，则 ．故选： ．
3．集合 ，2，3，4，5， ， 是 的一个子集，当 时，若 ， ，则称 为 的
一个“孤立元素”，那么 中无“孤立元素”的4元子集的个数是 6 ．
【解答】解： ，2，3，4，5， ，
其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是：
共有 ，2，5， ， ，3，5， ， ，4，5， ， ，2，3， ， ，2，4， ， ，3，4， 共
6个
那么 中无“孤立元素”的4个元素的子集 的个数是6个．
故答案为6．
4．由5个元素构成的集合 ，3， ，0， ，记 的所有非空子集为 ， ， ， ，每一
个 ，2， 中所有元素的积为 ，则 ．
【解答】解： 中，含有元素0的集合中所有元素的积等于0．
不含有元素0的非空子集有15个，
故答案是
5．若 是一个集合， 是一个以 的某些子集为元素的集合，且满足：① 属于 ， 属于 ；② 中
任意多个元素的并集属于 ；③ 中有限个元素的交集属于 ．则称 是集合 上的一个拓扑．已知集合
， ， ，对于下面给出的四个集合① ， ， ， ， ， ；
② ， ， ， ， ， ， ， ；
③ ， ， ， ， ， ；
④ ， ， ， ， ， ， ， ， ．
其中是集合 上的拓扑的集合 的序号是 ②④ ．
【解答】解：① ， ， ， ， ， ；
而 ， ，故①不是集合 上的拓扑的集合 ；
② ， ， ， ， ， ， ， ，满足：① 属于 ， 属于 ；② 中有限个元素的并集
属于 ；③ 中有限个元素的交集属于
因此②是集合 上的拓扑的集合 ；
③ ， ， ， ， ， ；
而 ， ， ， ， ，故③不是集合 上的拓扑的集合 ；
④ ， ， ， ， ， ， ， ， ．
满足：① 属于 ， 属于 ；② 中有限个元素的并集属于 ；③ 中有限个元素的交集属于
因此④是集合 上的拓扑的集合 ；
故答案为②④．
