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第 27 讲 椭圆
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.椭圆的定义
如果F ，F 是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F F |，则平面内满
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足 | PF | ＋ | PF | ＝ 2 a 的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点 F ，F 称为椭圆的
1 2 1 2
焦点，两个焦点之间的距离|F F |称为椭圆的焦距.
1 2
其数学表达式：集合M＝{P||PF |＋|PF |＝2a}，|F F |＝2c，其中a＞0，c＞0，
1 2 1 2
且a，c为常数：
(1)若a＞c，则点P的轨迹为椭圆；
(2)若a＝c，则点P的轨迹为线段；
(3)若a＜c，则点P的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
－a≤x≤a －b≤x≤b
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A (－a，0)，A (a，0)， A (0，－a)，A (0，a)，B (－
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顶点
B (0，－b)，B (0，b) b，0)，B (b，0)
性 1 2 2
轴 长轴A A 的长为 2 a ；短轴B B 的长为 2 b
质 1 2 1 2
焦距 |F F |＝ 2 c
1 2
离心率 e＝∈ (0 ， 1)
a，b，c的关
c2＝ a 2 － b 2
系
二、考点和典型例题
1、椭圆的定义及应用
【典例1-1】已知 ， 是两个定点，且 （ 是正常数），动点 满足，则动点 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
【答案】C
【详解】
解：因为 （当且仅当 时，等号成立 ，所以 ，
当 且 时， ，此时动点 的轨迹是椭圆；
当 时， ，此时动点 的轨迹是线段 ．
故选：C．
【典例1-2】已知椭圆 的两个焦点为 ， ，过 的直线交椭圆于 ， 两
点，若 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由 .
因为 ， 是椭圆的上的点， 、 是椭圆的焦点，
所以 ，
因此 的周长为 ，
故选：D
【典例1-3】已知椭圆 的两个焦点分别为 是椭圆上一点，
，且离心率为 ，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
根据椭圆定义可得 ，
所以 ，
由离心率 ，所以 ，
由 ，所以椭圆C的标准方程为 .
故选：B
【典例1-4】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题意，椭圆方程 ，可得 ，
所以焦点 ，
又由椭圆的定义，可得 ，因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ,
所以 ，解得 ，
又由 ，所以 .
故选:C．
【典例1-5】已知点 在椭圆 上， 与 分别为左、右焦点，若 ，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由 ， ，又 ，解得 ，
.
故选：A.
2、椭圆的简单几何性质
【典例2-1】椭圆 的左右焦点分别为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由 ， 得 ,故 ，即
，故 ， ，在 中，由余弦定理可
得： ， △
，化简得
，即 ，则 ，
，因为 ，所
以
解得 或 （舍），
故选：B.
【典例2-2】椭圆 ： 与双曲线 ： 的离心率之积为1，则双曲线
的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【详解】
因为椭圆 ： 与双曲线 ： 的离心率之积为1，
所以有 ，
因此双曲线 的两条渐近线方程为： ，
所以双曲线 的两条渐近线的倾斜角分别为 ， ，
故选：D【典例2-3】已知点A、B为椭圆 的长轴顶点，P为椭圆上一点，若
直线PA，PB的斜率之积的范围为 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由题得： ，所以
故选：A．
【典例2-4】已知双曲线 的左、右顶点为 ， ，焦点在y轴上的椭圆以 ，
为顶点，且离心率为 ，过 作斜率为 的直线 交双曲线于另一点 ，交椭圆于另一
点 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设所求椭圆的标准方程为 ，半焦距为 ，
双曲线 的左顶点为 ，右顶点为 ，
由于椭圆 以 ， 为顶点，则 ，该椭圆的离心率为 ，
所以， ，解得 ，所以，椭圆的方程为 ，
设点 ，由于 ，则点 ，
由于点 在椭圆上，点 在双曲线上，所以， ，联立得： ，解得 或 ，
当 ，所以 ，此时点 与点 重合，不满足题意舍去；
当 ，所以 ，所以 .
故选：B.
【典例2-5】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，第一象限内的点 在椭
圆上，且满足 ，点 在线段 、 上，设 ，将 沿 翻折，
使得平面 与平面 垂直，要使翻折后 的长度最小，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
在椭圆 中， ， ， ， ，
因为 ，且点 为第一象限内的点，则 ，可得
，
翻折前，过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为点 ，
设 ，其中 ，
则 ， ， ，，
所以， ，
翻折后，如下图所示：
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
， 平面 ，
平面 ， ，又因为 ，
，
，则 ，故当 时，即当 时， 取得最小值 ，
则在翻折前，在 中， 为 的角平分线，
所以， ，即 .
故选：A.
3、椭圆的综合应用
【典例3-1】（多选）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，椭圆的上顶点和
右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（
）
A．|PQ|的最大值为
B． 为定值
C．椭圆上不存在点M，使得
D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为【答案】BD
【详解】
如图所示：
A. |PQ|的最大值为长轴长2 ，故错误；
B. 易知 是平行四边形，则 ，因为 ，所以 ，
故正确；
C.因为 ，所以 ，则 ，故椭圆上存在
点M，使得 ，故错误；
D.直线AB所在直线方程为： ，即 ，设
，则点P到直线AB的距离为 ，其最大值为
，同理点Q到直线AB的最大值为 ，所以四边形APBQ
面积的最大值为 ，故正确.
故选：BD
【典例3-2】（多选）过椭圆 的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点， ， 是
椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A． 周长的最小值为18
B．四边形 可能为矩形C．若直线PA斜率的取值范围是 ，则直线PB斜率的取值范围是
D． 的最小值为-1
【答案】AC
【详解】
A：根据椭圆的对称性， ，当PQ为椭圆的
短轴时， 有最小值8，所以 周长的最小值为18，正确；
B：若四边形 为矩形，则点P，Q必在以 为直径的圆上，但此圆与椭圆
无交点，错误；
C：设 ，则 ，因为直线PA斜率
的范围是 ，所以直线PB斜率的范围是 ，正确；
D：设 ，则
．因为 ，所以当 时，
最小值为 ，错误.
故选：AC．
【典例3-3】（多选）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，A，B两点都在
C上，且A，B关于坐标原点对称，则（ ）
A． 的最大值为 B． 为定值
C．C的焦距是短轴长的2倍 D．存在点A，使得
【答案】ABD
【详解】
解：由题意， ，
所以 ， ，所以A正确，C错误；
由椭圆的对称性知， ，所以B正确；
当A在y轴上时， ，则 为钝角，所以存在点A，使得，所以D正确.
故选：ABD.
【典例3-4】已知椭圆 的两焦点分别为 和 ，短轴的
一个端点为 ．
(1)求椭圆C的标准方程和离心率；
(2)椭圆C上是否存在一点P，使得 ? 若存在，求 的面积；若不存在，请
说明理由．
【解析】(1)
由焦点坐标知 ，由短轴端点 知 ，所以 ，
故所求椭圆标准方程为 .
(2)
假设椭圆C上存在一点 ，使得 ，
则 ，即 ，
联立 ，得 ，此方程无解.
故椭圆上不存在点P，使得 .
【典例3-5】已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 .
(1)求椭圆的方程：
(2)过椭圆右焦点且斜率为 的直线 与椭圆相交于两点 ， 轴交于点 ，线段
的中点为 ，直线 过点 且垂直于 （其中 为原点），证明直线 过定点.
【解析】
(1)
依题意， ，
又
椭圆的标准方程为 .
(2)由（1）知右焦点坐标为 ，设直线 方程为 ，
由 得， ，
直线OP的斜率 ，
直线 的斜率 ，令 得点 坐标为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
直线 恒过定点 .
