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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 17 练 任意角和弧度制及三角函数的概念（精
练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】利用扇形的面积、弧长公式求圆心角的弧度即可.
【详解】令扇形的圆心角的弧度数为 ，半径为 ，则 ，即 ，
又 ，故 .
故选：A
2．用弧度制表示终边在 轴上的角的集合，正确的是（ ）
A． Z}
B． Z}
C． Z}
D． Z}
【答案】D
【分析】根据终边上角的集合一一表示即可.
【详解】A表示终边在 轴上的角的集合；B表示终边在 轴正半轴上的角的集合；C表示终边在 轴非正
半轴上的角的集合.
故选：D．
3．已知扇形的周长为4，扇形圆心角的弧度数为2，则扇形的弧长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根据扇形的周长和弧长公式进行求解.【详解】设扇形的半径为 ，弧长为 ，则 ，
解得 .故选：A.
4．集合 中角表示的范围 用阴影表示 是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】当 取偶数时，确定角的终边所在的象限；当 取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选
项即可确定结果．
【详解】集合 中，
当 为偶数时，此集合与 表示终边相同的角，位于第一象限；
当 为奇数时，此集合与 表示终边相同的角，位于第三象限.
所以集合 中角表示的范围为选项B中阴影所示.
故选：B.
5．已知 是第一象限角，那么（ ）
A． 是第一、二象限角 B． 是第一、三象限角
C． 是第三、四象限角 D． 是第二、四象限角
【答案】B【分析】由 是第一象限角，可得 ， ，进而得到 ，
，进而求解.
【详解】因为 是第一象限角，
所以 ， ，
所以 ， ，
当 为偶数时， 是第一象限角，
当 为奇数时， 是第三象限角，
综上所述， 第一、三象限角.
故选：B.
6．已知第二象限角 的终边与单位圆交于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义可求出 ，进而可求出 ， .
【详解】因为角 的终边与单位圆交于 ，所以 ，
又角 是第二象限角，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B.
7．若 ，则角 的终边在（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】C
【分析】根据三角函数在四个象限的符号即可求解.
【详解】因为 ，所以 在所在的象限一正一负，所以角 的终边在第三、四象限.
故选：C .
8．已知角 的终边上一点的坐标 ，其中a是非零实数，则下列三角函数值恒为正的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据定义求出 ，然后逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【详解】因为角 的终边上一点的坐标 且a是非零实数，所以根据三角函数的定义知，
， ， ，
选项A， ，故选项A正确；
选项B， ，因为 的正负不知，故选项B错误；
选项C， ，因为 的正负不知，故选项C错误；
选项D， ，因为 的正负不知，故选项D错误；
故选：A.
9．已知角α的终边上一点 ，且 ，则m等于（ ）
A． B．3 C．-3 D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义计算即可.
【详解】由三角函数的定义可得： .
故选：B10．若 是第四象限角，则点 在（ ）
A．第二或第四象限 B．第一或第三象限
C．第三或第四象限 D．第一或第二象限
【答案】C
【分析】根据给定条件确定 的范围，再求出 的符号即可判断作答.
【详解】因为 是第四象限角，即 ， ，
所以 ， ．
当 时， ， ，此时 是第二象限角，
则 ， ，点P在第三象限；
当 时， ， ，此时 是第四象限角，
则 ， ，点P在第四象限．
所以点P在第三或第四象限．故选：C.
二、多选题
11．下列说法正确的是（ ）
A． B．第一象限的角是锐角
C．1弧度的角比1°的角大 D．锐角是第一象限的角
【答案】ACD
【分析】对于AC，将角度转化为弧度即可判断；对于B，根据象限角的概念判断；对于D，根据像限角的
定义来判断.
【详解】对于A： ，A正确；
对于B：第一象限的角不一定是锐角，比如 ，B错误；
对于C：1°的角为 弧度，比1弧度的角小，C正确；对于D：根据象限角的定义，可得D正确.
故选：ACD.
12．下列说法正确的是（ ）
A．终边在y轴上的角的集合为
B．若 是第二象限角，则 是第一或第三象限角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4.
【答案】BD
【分析】对于选项A，根据终边在y轴上的角的集合为 ，即可判断选项A错误；对于
选项B，先求出角 的范围，再求出 的范围，即可判断出选项B正确；对于选项C，易知三角形为直角
三角形时，选项C错误；对于选项D，利用扇形面积公式和弧长公式，即可求出弧长，从而判断选项D正
确；
【详解】选项A，终边在y轴上的角的集合为 ，故选项A错误；
选项B，因为 是第二象限角，所以 ，故 ，
当 时， ，此时， 是第一象限角，
当 时， ，此时， 是第三象限角，故选项B正确；
选项C，三角形为直角三角形时，因为直角不是象限角，故选项C错误；
选项D，由扇形面积公式 知， ，即 ，所以弧长 ,故选项D正确.
故选：BD.
13．已知点 在角 的终边上，且 ，则 的值可以是（ ）A． B． C． D．0
【答案】CD
【分析】根据三角函数定义，解得 由此得解.
【详解】根据三角函数定义，过 点，则有
又因为 ，则 ，解得 或
即 的值可以是0， ，
故选：CD
14．下列结论正确的是（ ）
A． 是第三象限角
B．已知角 为第二象限角，且 ，则
C．若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为
D．终边经过点 的角的集合是
【答案】BCD
【分析】A选项，根据角的定义得到 所在象限；B选项，根据同角三角函数平方关系结合角所在象限
求出余弦值；C选项，由弧长求出半径，进而由扇形面积公式求出答案；D选项，得到终边为第一象限的
角平分线，从而得到角的集合.
【详解】A选项， ，是第二象限角，故A错误；
B选项，根据 得， ，又因为角 为第二象限角，所以 ，故B正确；
C选项，圆心角为 的扇形的弧长为 ，扇形的半径为 ，面积为 ，故C正确；
D选项，终边经过点 ，该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是 ，
故D正确.
故选：BCD
三、填空题
15．若点 是角 终边上的一点，且 ，则 的值是______.
【答案】
【分析】根据三角函数的定义列式求解，注意三角函数符号的判断.
【详解】由题意可得： ，且 ，
解得 或 （舍去），
所以 的值是 .
故答案为： .
16．母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ，则该圆锥的体积为___________.
【答案】
【分析】求出侧面展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积．
【详解】因为母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ，
所以侧面展开图的弧长为： .设该圆锥的底面圆的半径为 ，
所以 ，解得 ，
所以该圆锥的高 ，
所以该圆锥的体积 .
故答案为： .
17．已知 的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点 是 终边上一点，则
等于__________.
【答案】
【分析】根据三角函数的定义，求得 ，进而求得 的值.
【详解】由电 是角 终边上一点，可得 ，
根据三角函数的定义，可得 ，
所以 .
故答案为： .
18．中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点.已知某
扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为 ，内弧线的长为 ，连接外弧与内弧的两端的线段的长
均为 ，则该扇环的面积为______ .
【答案】
【分析】设该扇形內弧半径为 ，根据弧长公式可得 ，进一步求出外弧半径，最后利用扇形的面积计算
公式即可求解.
【详解】设该扇形內弧半径为 ，由弧长公式和已知可得： ，解得： ，
则外弧半径为 ，
所以该扇环的面积为 ，
故答案为： .
四、解答题
19．已知一扇形的圆心角为 ，半径为R，弧长为l．
(1)若 ， ，求扇形的弧长l；
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角 ．
【答案】(1)
(2)扇形周长的最小值为 ，此时
【分析】（1）先将圆心角化为弧度制，再根据弧长公式即可得解；
（2）根据扇形的面积公式求得 的关系，再利用基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）因为 ， ，
所以扇形的弧长 ；
（2）由扇形面积 ，得 ，
则扇形周长为 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
此时， ，所以 ，
所以扇形周长的最小值为 ，此时 .
20．油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶.它以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐
油的皮棉纸做伞面.伞面可近似看成圆锥形.若某种油纸伞的伞面下边沿所在圆的半径为 ，顶点到下边
沿上任一点的长度为 .(1)若将该伞的伞面沿一条母线剪开，展开后所得扇形的圆心角为多少弧度？
(2)若伞面的内外表面需要各刷1次桐油，每平方米需要刷桐油 ，则刷一个这样的油纸伞需要多少千
克桐油？（参考数据： ）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出扇形的弧长，再根据弧长公式即可得解；
（2）求出圆锥的侧面积，进而可求出答案.
【详解】（1）由题可知圆锥的底面周长为 ，
所以展开后所得扇形的圆心角为 ；
（2）由题可知圆锥的侧面积 ，
所以刷一个这样的油纸伞需要 桐油.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．如果角 的终边在直线 上，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义及同角三角函数的商数关系即可求解.
【详解】因为角 的终边在直线 上，
所以 .所以 .
故选：B.
2．若 ， ，则 的终边在（ ）
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上
D．第二、四象限或在x轴上
【答案】D
【分析】由已知得出 的终边在第四象限或者在 轴的非负半轴上，再求出 的范围得出结果.
【详解】由 ，得 ，
所以 的终边在第一象限或第四象限或在 轴的非负半轴上；
由 ，得 ，
所以 的终边在第二象限或第四象限或在 轴上；
所以 的终边在第四象限或者在 轴的非负半轴上，
即 ，则 ，
当 为偶数时， 的终边第四象限或在 轴的非负半轴上；
当 为奇数时， 的终边第二象限或在 轴的非正半轴上.
故 的终边第二､四象限或在 轴上.
故选：D.
3．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，
如图，设扇形的面积为 ，其圆心角为 ，圆面中剩余部分的面积为 ，当 与 的比值为 时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（ ）（参考数据： ）
A．
B．若 ，扇形的半径 ，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径 ，则此时的扇形面积为
【答案】D
【分析】求得 判断选项A；求得满足条件的 的值判断选项B；求得满足条件的 的值判断选项C；求
得满足条件的扇形面积的值判断选项D.
【详解】扇形的面积为 ，其圆心角为 ，半径为R，圆面中剩余部分的面积为 ，
选项A： .故A正确；
选项B：由 ，可得 ，解得 ，又扇形的半径 ，
则 .故B正确；
选项C：若扇面为“美观扇面”，则 ，
解得 .故C正确；选项D：若扇面为“美观扇面”，则 ，又扇形的半径 ，
则此时的扇形面积为 .故D错误.
故选：D
4．如图，已知圆锥的母线长为2，底面半径为 ，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面爬行一周返回A点，
则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．1 B．
C． D．4
【答案】C
【分析】利用圆锥展开图得出蚂蚁爬行的最短距离，结合圆心角公式及余弦定理即可求解.
【详解】由题意可知，圆锥的母线长为2，底面半径为 ，
所以圆锥底面周长为 ，
所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ，如图所示
在 中， ，由余弦定理可知， ，
所以 ,
所以蚂蚁爬行的最短距离为 .
故选：C.
5．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形
与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为 ，大正方形的面积为 ，小正方
形的面积为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设直角三角形的最短直角边为x，则最长直角边为 ，由 ，结合 ，
求得x，再利用三角函数定义求解.
【详解】解：设直角三角形的最短直角边为x，则最长直角边为 ，
由题意得 ，
由 ，解得 ，所以 ，故选：A
二、多选题
6．2023年1月出版的《中国高考报告2023》中指出，高考数学试题将会全面的加入复杂情境，更加注重
数学思维能力和思想方法的考察，考故难度加大.某教师从“丢手绢”游戏中抽象出以下数学问题，质点
和 在以坐标原点 为圆心，半径为l的 上逆时针匀速圆周运动，同时出发， 的角速度大小为 ，
起点为 与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5rad／s，起点为射线 与 的交点，
则当 与 重合时， 的坐标可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】设两个质点重合时，所用时间为 ，则重合时点 ， 的坐标均为 ，由
，可用含 的式子表示 ，再根据 的取值，代入运算，得解．
【详解】设两个质点重合时，所用时间为 ，则重合时点 ， 的坐标均为 ，
由题意可得， ，解得 ，
当 时， ， ，所以点 的坐标均为 ，故选项A正确；
当 时， ， ，所以点 的坐标均为 ，故选项B正确；
当 时， ， ，所以点 的坐标均为 ，故选项D正确，
选项C错误；
故选：ABD.
7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为
3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身
恰好滚动了3周，则（ ）
A．圆锥的母线长为9 B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为 D．圆锥的体积为
【答案】AB
【分析】对于A，利用圆锥在平面内转回原位置求解以S为圆心， 为半径的圆的面积，再求解圆锥的侧
面积，根据圆锥本身恰好滚动了3周列出方程求解结果；对于B，利用圆锥的表面积公式进行计算；对于
C，圆锥的底面圆周长即为圆锥侧面展开图(扇形)的弧长，根据弧长公式求解圆心角；对于D，求解圆锥的
高，利用圆锥体积公式求解.
【详解】对于A，设圆锥的母线长为 ，以S为圆心， 为半径的圆的面积为 ，
圆锥的侧面积为 ，
当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，
则 ，所以圆锥的母线长为 ，故A正确；
对于B，圆锥的表面积 ，故B正确；
对于C，圆锥的底面圆周长为 ，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为 ，
则 ，解得 ，即 ，故C错误；
对于D，圆锥的高 ，所以圆锥的体积为 ,故D错误.
故选：AB.
三、填空题8．已知扇形的周长是 ，面积为 ，则扇形的圆心角的弧度数是_________.
【答案】 或3
【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根
据弧长公式求出扇形圆心角的弧度数．
【详解】设扇形的弧长为 ，半径为 ，则 ，
因为扇形的面积 ，则 ，
解得： 或 ，
当 时， ， ，
当 时， ， .
扇形的圆心角的弧度数是 或3．
故答案为： 或3．
9．已知角 的终边在直线 上，则 的值为________.
【答案】 或 .
【解析】在直线 上任取一点 .则 ，然后分两种情
况讨论即可
【详解】在直线 上任取一点 .则 .
（1）当 时， ，故 ， ，
所以 ；
（2）当 时， ，故 ， ，
所以 .故 等于 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单.
10．由 的值组成的集合为________．
【答案】
【分析】分 为第一、二、三、四象限角讨论即可.
【详解】由题意得 ，并且 要有意义，
则 不与坐标轴重合，
当 为第一象限角时， ，
，
当 为第二象限角时， ，
，
当 为第三象限角时， ，
，
当 为第四象限角时， ，
.
故答案为： .
11．将一个圆心角为 、面积为 的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为______.
【答案】
【分析】求出圆锥底面圆半径及母线长，再利用圆锥及内切球的轴截面求出球半径作答.
【详解】设圆锥底面圆半径为 ，母线长为 ，依题意， ，解得 ，圆锥内半径最大的球为圆锥的内切球，圆锥与其内切球的轴截面，如图中等腰 及内切圆 ，
，点 为边 的中点， ，
因此 的面积 ，设 的内切圆半径为 ，
则有 ，解得 ，此球的表面积为 ，
所以圆锥内半径最大的球的表面积为 .
故答案为：
四、解答题
12．已知扇形的圆心角为 ，所在圆的半径为r．
(1)若 ，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为24，当 为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由扇形弧长公式计算；
（2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可.
【详解】（1）设扇形的弧长为l．
因为 ，即 ，所以 ．
（2）由题设条件，知 ，则 ，
所以扇形的面积 ．
当 时，S有最大值36，
此时 ，
所以当 时，扇形的面积最大，最大面积是36．
13．已知角 的顶点为坐标原点 ，始边为 轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P ，若点 位于
轴上方且 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ， ， 三个直接的关系，可得 .
（2）由 可得.
【详解】（1）由三角函数的定义， ， ，
两边平方，得
则 ， ， ，
所以 ，
.（2）由（1）知， ，
.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．在矩形ABCD中， ， ，点E在CD上，现将 沿AE折起，使面 面ABC，
当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在原平面矩形 中,连接 ,由面 面ABC知 ,故 点的轨迹是以 为直
径的圆上一段弧,根据 的位置求出此弧的长度.
【详解】
由题意，将 沿 折起，使平面 平面 ，在平面 内过点 作 垂足 为
在平面 上的射影，连接 ,由翻折的特征知，
则 ，故 点的轨迹是以 为直径的圆上一段弧，根据长方形知圆半径是 ，
如图当 与 重合时， ,所以 ，
取 为 的中点，得到 是正三角形.故 ，
其所对的弧长为 ；
故选：D.
2．已知 是棱长为1的正方体，点P为正方体表面上任一点，则下列说法不正确的是
（ ）
A．若 ，则点P的轨迹长度为
B．若 ，则点P的轨迹长度为
C．若 ，则点P的迹长度为
D．若 ，则点P的轨迹长度为
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析点P轨迹,讨论各选项即可得答案.
【详解】当 时，如图1，此时点P的轨迹为半径为1，圆心角为 的三段圆弧，
所以此时点P轨迹的长度为 ，故A选项正确；
当 时，如图2，点P的轨迹一部分是在面 三个面内以 为半径，圆心角
为 的三段弧，另一部分是在面 三个面内以 为半径，圆心角为 的三段弧；所以此时点P轨
迹的长度为 ，故B选项正确；
当 时，如图3，点P的轨迹是在面 三个面内以1为半径，圆心角为 的三
段弧，
所以此时点P轨迹的长度为 ，故C选项正确；
当 ，如图4，点P的轨迹是在面 三个面内以 为半径，圆心角小于 的
三段弧，
所以此时点P轨迹的长度小于 ，故D选项不正确；故选：D．
3．已知角 的顶点都为坐标原点，始边都与 轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角， 终边上分
别有点 ， ，且 ，则 的最小值为
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】由 ，得到 ，代入坐标可得 ，所以 ，利用基本不等式
可求出最小值.
【详解】由已知得， ， ，因为 ，所以 ，
所以 ， ，所以 ，
当且仅当 ， 时，取等号.
【点睛】本题考查三角函数正切的应用，基本不等式的应用，考查转化能力和计算能力，属于中档题.
4．已知 ，则角 所在的区间可能是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，则 ，又由 ，得 ，解得 ，舍去 ，则 ， 在第二或第四象限，排除A
和D，又 而 ，当 时，
排除B，只有C答案满足，故选C.
点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及排除法在选择题中的应用，
具有一定难度；令 ，可将已知等式转化为关于 的一元二次方程，结合三角函数
的有界性可得 ，即 和 的符号相反，可排除A和D，当 时，可求出
与所求矛盾，排除B.
二、多选题
5．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面
体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体
的棱长为4，则下列结论正确的是（ ）
A．勒洛四面体 最大的截面是正三角形
B．勒洛四面体 的体积大于正四面体 的体积
C．勒洛四面体 被平面 截得的截面面积是D．勒洛四面体 四个曲面所有交线长的和为
【答案】BC
【分析】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面为经过四面体 表面的截面，可判定A不正
确：由勒洛四面体的定义得到勒洛四面体 的体积大于正四面体 的体积，可判定B正确：由勒
洛四面体 被平面 截得的截面，求得其面积，可判定C正确：由勒洛四面体的定义可知，根据
对称性可知其圆心为线段 的中点 ，设 ，求得 得到交线总长度，可判定D错误.
【详解】对于A中，由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面，即为经过四面体 表面的截面，
如图1所示，所以A不正确：
对于B中，由勒洛四面体的定义及题示图形知，其中勒洛四面体 的体积大于正四面体 的体积，
所以B正确：
对于C中，勒洛四面体 被平面 截得的截面如图1，
其面积为 ，所以C正确：
对于D中，由勒洛四面体的定义可知，所有的交线形成6条相等的弧，先看 ，
根据对称性可知其圆心为线段 的中点 ，如图2所示．
因为正四面体 的棱长为4，所以 ，
设 ，则 ，
所以 （ 为弧度制），所以 ，
所以交线总长度为 ，所以D错误.
故选：BC．三、填空题
6．如图，圆O的半径为1m，A为圆O上一点，动点M， N同时从A点出发，M沿着OA方向向右以1m/s
的速度做匀速直线运动，N沿着圆周按逆时针以1m/s的线速度做匀速圆周运动，运动时间为t时
， 的面积为 ，线段ON扫过的扇形AON（阴影部分）的面积为 ，则下列说法
中正确的有______.（填入所有你认为正确的选项的序号）
①当 时， 为钝角；
②当 时，M、N之间距离最大；
③在 这段时间，存在一个时刻使得MN与圆O相切；
④在 这段时间，恰有三个时刻使得 .
【答案】①③
【分析】对于①，结合图像，先由余弦定理求得 ，再由推论求得 ，由此判断 为钝角；
对于②，举反例 接近 时，即可排除；
对于③，由相切得到在 中，有 ，结合图像易知其说法正确；
对于④，分别求得 的表达式，将问题转化为 是否有三个零点，结合图像即可判断.【详解】对于①，当 时，弧 ， ，即 ，
此时， ， ，
所以 ，故 为钝角，故①正
确；
对于②，当 时， 的距离为 ，当 接近 时， 的距离接近 ，显然 ，故
②错误；
对于③，当 与圆 相切时，在 中， ， ， ，故 ，分别作
出 与 的图像，如图1，显然在 上有一交点，故方程 有一解，故③正确；
.
对于④，易知 ， ，令 ，得
，整理得 ，
分别作出 与 的图像，如图2，易知它们在 上少于三个交点，即 少于
三个时刻，故④错误.
故答案为：①③..
7．已知 是第三象限的角，比较 、 、 的大小关系是________.（用“ ”号连
接）
【答案】
【分析】先根据三角函数线得到当 时， ，结合函数的奇偶性得到当 时，
，由 是第三象限的角得到 ，从而求出 ，
，得到结论.
【详解】因为 为第三象限角，所以 ，
由三角函数线可知：“当 时， ”，
又因为 ， ， 为奇函数，
则当 时， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
故答案为： .四、解答题
8．宜昌一中江南新校区拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大
圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为 米，圆心角 （弧度）.
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用
为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为 ，求 关于 的函数关系式，并求出 的最大值.
【答案】（1） ， ；
（2） ， 的最大值为 .
【详解】试题分析：（1）根据扇环的周长等于两段弧长加两段线段，可得 ，解得
，根据题意求自变量取值范围；（2）分别求出花坛的面积 与装饰总费用 ，
从而可得 关于 的函数关系式为 ，再变量分离 ， ，最后利
用基本不等式求最值，注意等于号是否在定义区间.
试题解析：（1）由题可知 ，所以 ， .
（2）花坛的面积为 （ ），
装饰总费用为 ，
所以花坛的面积与装饰总费用之比为 .令 ， ，则 ，
当且仅当 时取等号，此时 ， .
故花坛的面积与装饰总费用之比为 ，且 的最大值为 .
