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第 28 讲 双曲线
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.双曲线的定义
一般地，如果F ，F 是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F F |，则
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平面上满足 | | PF | － | PF ||＝2a 的动点 P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点
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F ，F 称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F F |称为双曲线的焦距.
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其数学表达式：集合 M＝{P|||PF |－|PF ||＝2a}，|F F |＝2c，其中a，c为常数
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且a>0，c>0.
(1)若ac，则点P的轨迹不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图 形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R x ∈ R ， y ≤ － a 或 y ≥ a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A ( － a ， 0) ， A ( a ， 0) A (0，－a)，A (0，a)
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性 渐近线 y＝±x y ＝ ± x
质 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
线段A A 叫做双曲线的实轴，它的长度|A A |＝2a；线段
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实虚轴 B B 叫做双曲线的虚轴，它的长度|B B |＝2b；a叫做双曲线
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的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝ a 2 ＋ b 2
二、考点和典型例题
1、双曲线的定义和标准方程
【典例1-1】已知双曲线的两个焦点分别为 ， ，双曲线上一点 与 ，
的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意， ，则 ，结合条件可知，双曲线的标准方程为
.
故选：C.
【典例1-2】在平面直角坐标系中，已知 的顶点 ， ，其内切圆圆心在
直线 上，则顶点C的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：如图设 与圆的切点分别为 、 、 ，
则有 ， ， ，
所以 ．
根据双曲线定义，所求轨迹是以 、 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除
外），
即 、 ，又 ，所以 ，
所以方程为 ．
故选：A．【典例1-3】已知 是双曲线 的左焦点， ， 是双曲线右支上的动点，则
的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【详解】
由 ，得 ，则 ，
所以左焦点为 ，右焦点 ，
则由双曲线的定义得 ，
因为点 在双曲线的两支之间，
所以 ，
所以 ，当且仅当 三点共线时取等号，
所以 的最小值为9，
故选：A
【典例1-4】已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
在双曲线 中， ， ， ,
∵ ，∴ ，又 ，∴ ,
故选:A
【典例1-5】已知 ， 分别是双曲线 的左右焦点，点P在该双曲线上，若
，则 （ ）
A．4 B．4或6 C．3 D．3或7
【答案】D
【详解】
由双曲线定义知： ，而 ，又 且 ，
∴ 3或7，
故选：D.
2、双曲线的性质
【典例2-1】已知双曲线 （a、b均为正数）的两条渐近线与直线 围成的
三角形的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【详解】
解：双曲线的渐近线为 ，令 ，可得 ，
不妨令 ， ，
所以 ，所以 ， ，
即 ，所以 ，
所以 ；
故选：D
【典例2-2】椭圆 ： 与双曲线 ： 的离心率之积为1，则双曲线
的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【详解】
因为椭圆 ： 与双曲线 ： 的离心率之积为1，
所以有 ，
因此双曲线 的两条渐近线方程为： ，
所以双曲线 的两条渐近线的倾斜角分别为 ， ，
故选：D
【典例2-3】若双曲线 的一条渐近线与直线 相互垂直，则双
曲线 的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积
为 （ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】C
【详解】
双曲线 的一条渐近线方程为 ，
由两直线垂直得， ，
，所以双曲线的焦点坐标为
，
虚轴一个顶点坐标为 ，
故选：C
【典例2-4】已知点 是双曲线 的右焦点，过F作双曲
线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若△OMF（点O为坐标原点）的面积为8，则C的
实轴长为（ ）
A．8 B． C．6 D．
【答案】A
【详解】由题意可得 ．取渐近线 ，易知点 到直线 的距离为b，
则 ，所以 ，联立得 ．所以C的实轴长为8．
故选：A
【典例2-5】已知点P是双曲线 上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交
于M、N两点，则 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【详解】
解：根据双曲线的对称性可知 为 的中点，所以 ，又 在
上，所以 ，当且仅当 在双曲线的顶点时取等号，所以 ．
故选：C
3、双曲线的综合应用
【典例3-1】双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如
图所示，它的最小半径为 米，上口半径为 米，下口半径为 米，高为24米，
则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】
以 的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，设双曲线的方程为 ，则 ，
可设 ， ，
又由 ， 在双曲线上，所以 ，解得 ， ，
即 ，所以该双曲线的离心率为 .
故选：A.
【典例3-2】双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点 发出的光线经双曲线镜
面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点 ．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，
就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，
其方程为 ， 分别为其左、右焦点，若从右焦点 发出的光线经双曲线上
的点A和点B反射后（ ，A，B在同一直线上），满足 ，则该双
曲线的离心率的平方为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
易知 共线， 共线，如图，设 ，
则 .因为 ，所以 ，
则 ，则 ，
又因为 ，所以 ，则 ,
在 中， ，即 ，
所以 .
故选：D
【典例3-3】求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在x轴上，实轴长为4，实半轴长是虚半轴长的2倍；
(2)焦点在y轴上，渐近线方程为 ，焦距长为 ．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
由题意有 ，解得： ，则双曲线的标准方程为： ．
(2)
由题意有 ，解得： ，
则双曲线的标准方程为： ．
【典例3-4】已知双曲线 的渐近线方程为 ，且过点
．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过双曲线的一个焦点作斜率为 的直线 交双曲线于 两点，求弦长 ．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)
由双曲线方程知：渐近线斜率 ，又渐近线方程为 ， ；
双曲线过点 ， ；
由 得： ， 双曲线 的方程为： ；
(2)
由（1）得：双曲线的焦点坐标为 ；
若直线 过双曲线的左焦点 ，则 ，
由 得： ；
设 ， ，则 ，
；由双曲线对称性可知：当 过双曲线右焦点时， ；
综上所述： .
【典例3-5】双曲线 的离心率为 ，虚轴的长为4.
(1)求 的值及双曲线 的渐近线方程；
(2)直线 与双曲线 相交于互异两点，求 的取值范围.
【答案】(1) ， ，双曲线 的渐近线方程为 和 ；
(2) .
【解析】(1)
因为双曲线 的离心率为 ，
c
所以有
=√5⇒c2=5a2 ⇒a2+b2=5a2 ⇒b2=4a2
，
a
而该双曲线的虚轴的长为4，所以 ，所以 ，
因此双曲线 的浙近线方程为：y=±x⇒x−y=0或 ；
(2)
由（1）可知： ， ，
所以该双曲线的标准方程为： ，与直线 联立得：
，因为直线 与双曲线 相交于互异两点，
所以有： 且 ，
所以 的取值范围为： .
