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函数模型的应用
2.10
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.
2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.
3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
2.10 函数模型的应用.............................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：三种函数模型的性质...............................................2
考点2：常见的函数模型...................................................2
二、分类题型................................................................2
题型一 常见函数模型......................................................3
题型二 已知函数模型的实际问题............................................5
题型三 构造函数模型的实际问题............................................9
三、分层训练：课堂知识巩固.................................................12一、主干知识
考点1：三种函数模型的性质
函数 y＝ax y＝log x y＝xn
a
性质 (a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐渐表现为 随x的增大逐渐表 随n值变化而各有
图象的变化
与y轴平行 现为与x轴平行 不同
考点2：常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
a
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)二、分类题型
题型一 常见函数模型
【例题精析1】 （2023·河南郑州·三模）2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGTP”
的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具
有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
，其中L表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭
代轮数， 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训
练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为
（参考数据： ）（ ）
A．35 B．36 C．37 D．38
【解答】由已知 ， ，
， ， ， ，
因此 至少为36，故选：B．
【例题精析2】 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系
列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率 与时间 （月）近似地满足关系
（其中a，b，为正常数），经过6个月，这种垃圾的分解率为 ，经过12个月，这种垃圾的分
解率为 ，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据： ）A．20 B．28 C．32 D．40
【解答】由题意得， ，解之得 ，则
则由 ，可得 ，
两边取常用对数得， ，
则 ；故选：C
【例题精析3】 （2023春·河北·高三校联考阶段练习）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着
刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08 ，否则，
该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风 周与室内甲醛浓度y（单
位： ）之间近似满足函数关系式 ，其中
，且 ， ，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通
风（ ）
A．17周 B．24周 C．28周 D．26周
【解答】 ，由 ， ，得 ，
，两式相减得 ，则 ，所以 ， .该住房装修完成后要达
到安全入住的标准，则 ，则 ，即 ，解得 ，
故至少需要通风26周.故选：D．
【例题精析4】 （2023·全国·高三专题练习）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任
务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事
之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产 万件，需可变成本 万元，当产量不足50万件时，
；当产量不小于50万件时， .每件A产品的售价为100元，通
过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元.
【解答】由题意得，销售收入为 万元，
当产量不足50万件时，利润 ；
当产量不小于50万件时，利润 .
所以利润
因为当 时， ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ；
当 时， ，当且仅当 时取等号.
又 ，故当 时，所获利润最大，最大值为1000万元.
故答案为：1000
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，
从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
题型二 已知函数模型的实际问题
【例题精析5】 （2023·全国·高三专题练习）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的
化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协
同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产
中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t
秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足 ，其中k，a为非零常数．已
知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米
的位置，信息素浓度为 ，则b＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】由题意 ， ，所以 ），
即 ．又 ，所以 ．
因为 ，所以 ．故选：B．
【例题精析6】 （2023·河北·统考模拟预测）斯特林公式（Stirling's approximation）是由英国数学家斯特林
提出的一条用来取 的阶乘的近似值的数学公式，即 ，其中 为圆周率，e为自然对数的底
数.一般来说，当 很大的时候， 的阶乘的计算量十分大，所以斯特林公式十分好用.斯特林公式在理论和
应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也有着重大的意义.若利用斯特林公式分析100!计算结果，则
该结果写成十进制数时的位数约为（ ）
（参考数据： ， ， ）
A．154 B．158 C．164 D．172
【解答】由题意
，
即 ，即 写成十进制数时的位数约为158.故选：B
【例题精析7】 （2023·安徽合肥·二模）Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁
殖数量 与时间t关系时，得到的Malthus模型是 ，其中 是 时刻的细菌数量，e为
自然对数的底数．若t时刻细菌数量是 时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（ ）．（
）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】当 时， ，即 ，
则 ，得 .故选：C
【例题精析8】 （2023·北京·人大附中校考模拟预测）血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度
之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中：
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；
②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒；
③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；
④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒.
其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治
疗作用，故正确；
②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于
2小时，一定会产生药物中毒，故正确；
③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使血药浓度大于最低有效浓度，药物持续发挥治
疗作用，故正确；
④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．
故选：C．
【例题精析9】 （2023·全国·模拟预测）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意
见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐浙淢少．
已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物
数量为 ，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 满足函数模型，其中 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量， 为首次
改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超
过 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（参考数
据： ）（ ）
A．8次 B．9次 C．10次 D．11次
【解答】由题意得 ， ，
当 时， ，即 ，可得 ，
所以 ，由 ，可得 ，所以 ，
所以 ，又由 ，所以 ，
所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要11次．故选：D．
【例题精析10】 （2023·甘肃武威·统考三模）2022年8月，中科院院士陈发虎带领他的团队开始了第二次青
藏高原综合科学考察．在科考期间，陈院士为同行的科研人员讲解专业知识，在空气稀薄的高原上开设了
“院士课堂”．已知某地大气压强与海平面大气压强之比为b，b与该地海拔高度h满足关系： （k
为常数，e为自然对数的底）．若科考队算得A地 ，珠峰峰顶处 ，则A地与珠峰峰顶高度差约
为（ ）
A． B． C． D．
【解答】令A地与珠峰峰顶的海拔高度分别为 ，依题意， ， ，
即 ， ，解得 ，所以A地与珠峰峰顶高度差为 .故选：B
【例题精析11】 （2023·河南·统考二模）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生
物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为
的形式．已知 描述的是一种果树的高度随着栽种时
间x（单位：年）变化的规律，若刚栽种（ ）时该果树的高为 ，经过2年，该果树的高为 ，则该果树的高度不低于 ，至少需要（ ）
A．2年 B．3年 C．4年 D．5年
【解答】由题意可得 且 ，
解得 ，故 ，
函数 在 上为单调增函数，且 ，
故该果树的高度不低于 ，至少需要3年，故选：B
【例题精析12】 （2023·全国·高三专题练习）尿酸是鸟类和爬行类的主要代谢产物，正常情况下人体内的尿
酸处于平衡的状态，但如果体内产生过多来不及排泄或者尿酸排泄机制退化，则体内尿酸滞留过多，当血
液尿酸浓度大于7mg/dL时，人体体液变酸，时间长会引发痛风，而随低食物（低嘌呤食物）对提高痛风
病人缓解率、降低血液尿酸浓度具有较好的疗效．科研人员在对某类随低食物的研究过程中发现，在每天
定时，定量等特定条件下，可以用对数模型 描述血液尿酸浓度 （单位：mg/dL）随摄
入随低食物天数t的变化规律，其中 为初始血液尿酸浓度，K为参数．已知 ，在按要求摄入随低
食物50天后，测得血液尿酸浓度为15，若使血液尿酸浓度达到正常值，则需将摄入随低食物的天数至少
提高到（ ）（ ）
A．69 B．71 C．73 D．75
【解答】由函数模型 ，当 时, ,
可得 ,即 ①.
设血液尿酸浓度达到正常值7mg/dL时，摄入天数为 ,
则 ，即 ②,
② ①得 ，即 ，则 .故选：D.
求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
题型三 构造函数模型的实际问题
【例题精析13】 （2023·浙江·高三专题练习）绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为
底角为120°的等腰梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，
要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的
高）约为（ ）（参考数据： ）
A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米
【解答】如图设横截面为等腰梯形 ， 于 ， ，
要使水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，
则 ，解得 米，
设 ，则 ，故 ，且 ，
梯形 的面积 ，
当 时， ，
此时 ，
即当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约为0.87米.故选：B.
【例题精析14】 （2023·全国·高三专题练习）某大型家电商场，在一周内，计划销售 、 两种电器，已知
这两种电器每台的进价都是 万元，若厂家规定，一家商场进货 的台数不高于 的台数的 倍，且进货
至少 台，而销售 、 的售价分别为 元/台和 元/台，若该家电商场每周可以用来进货 、
的总资金为 万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售 、 电器的总利润（利润 售价
进价）的最大值为（ ）
A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元
【解答】设该卖场在一周内进货 的台数为 台，则一周内进货 的台数为 ，
设该卖场在一周内销售 、 电器的利润为 万元，
由题意可得 ，可得 ，且 ，
，
函数 随着 的增大而增大，故 （万元）.
故选：D.
【例题精析15】 （2022·海南·模拟预测）新能源汽车是末来汽车的发展方向之一，一个新能源汽车制造厂引
进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量 （辆）与创造的价值 （万
元）之间满足一次函数关系.已知产量为 时，创造的价值也为 ；当产量为 辆时，创造的价值达到
最大，为 万元.若这家工厂希望利用这条流水线创收达到 万元，则它应该生产的新能源汽车数量
是________.
【解答】由题意可设： ，则 ，解得： ， ，
则当 时， ，即应生产的新能源汽车 辆.故答案为： .
【例题精析16】 甲、乙两地相距 千米，汽车从甲地匀速地驶往乙地，速度不得超过 千米 时.已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度 （千米/时）的平方成正比，比
例系数为 ，固定部分为 元.
(1)把全程运输成本 （元）表示为速度 （千米 时）的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
【解答】（1）由题意知：每小时可变部分的成本为 ，全程运输时间为 时，
全程运输成本 .
（2）由（1）得： ，
由对号函数单调性可知：当 时， 在 上单调递减；则当 时， 取得最小值；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；则当 时， 取得最小值；
综上所述：为了使全称运输成本最小，则当 时，应以速度 行驶；当 时，应以速度 行驶.
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、返回到原来的实际问题
中去，得到实际问题的解．三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2021•天津）设 ，函数 ，若函数 在区间 内恰有6
个零点，则 的取值范围是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解： 在区间 内恰有6个零点
又 二次函数最多有两个零点，
当 时， 至少有四个根，
，
令 ，即 ，，
又 ，
，即 ，
①当 时， ， 有4个零点，即 ，
， 有5个零点，即 ，
， 有6个零点，即 ，
②当 时， ，
△ ，解得 ，
当 时，△ ， 无零点，
当 时，△ ， 有1个零点，
当 时， （a） ，
的对称轴 ，即 （a）在对称轴的左边，
当 时，即 ， 有两个零点，
当 时，即 ， 有1个零点，
综合①②可得，若函数 在区间 内恰有6个零点，则需满足：
或 或 ，
解得 ， ， ．
故选： ．2．（2021•北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的
深度，称为这个时段的降雨量（单位： ．24 降雨量的等级划分如下：
等级
降雨量（精确到
小雨
中雨
大雨
暴雨
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为 ，高为 的圆锥形雨量器．若一次降雨过
程中，该雨量器收集的 的雨水高度是 如图所示），则这 降雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【解答】解：圆锥的体积为 ，
因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，
所以圆锥内积水部分的半径为 ，
将 ， 代入公式可得 ，
图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，
平底上积水的体积为 ，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，
所以 ，则平地上积水的厚度 ，
因为 ，
由题意可知，这一天的雨水属于中雨．
故选： ．
3．（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和
小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 和小数记录法的数据 满足 ．已知某同学视力
的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【解答】解：在 中， ，所以 ，即 ，
解得 ，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．
故选： ．
4．（2020•天津）已知函数 若函数 恰有4个零点，则 的取
值范围是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：若函数 恰有4个零点，
则 有四个根，
即 与 有四个交点，
当 时， 与 图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，
当 时， 与 轴交于两点 ，
图象如图所示，
当 时，函数 的函数值为 ，
当 时，函数 的函数值为 ，
所以两图象有4个交点，符合题意，
当 时，
与 轴交于两点 ，
在 ， 内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需 与 在 ， 还有两个交点，即可，即 在 ， 还有两个根，
即 在 ， 还有两个根，
函数 ，（当且仅当 ，即 时，取等号），
所以 ，且 ，
所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ， ， ．
故选： ．
5．（2020•山东）基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模
型： 描述累计感染病例数 随时间 （单位：天）的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足
．有学者基于已有数据估计出 ， ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病
例数增加1倍需要的时间约为
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天【解答】解：把 ， 代入 ，可得 ， ，
当 时， ，则 ，
两边取对数得 ，解得 ．
故选： ．
6．（2019•新课标Ⅱ）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 ， 时，
．若对任意 ， ，都有 ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【 解 答 】 解 ： 因 为 ， ，
， 时， ， ，， 时， ， ， ， ；
， 时， ， ， ， ，
当 ， 时，由 解得 或 ，
若对任意 ， ，都有 ，则 ．
故选： ．
7．（2019•新课标Ⅲ）函数 在 ， 的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：函数 在 ， 的零点个数，
即方程 在区间 ， 的根个数，
即 在区间 ， 的根个数，
即 或 在区间 ， 的根个数，
解得 或 或 ．
所以函数 在 ， 的零点个数为3个．
故选： ．
8．（2019•天津）已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数
解，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：作出函数 的图象，以及直线 的图象，
关于 的方程 恰有两个互异的实数解，
即为 和 的图象有两个交点，
平移直线 ，考虑直线经过点 和 时，
有两个交点，可得 或 ，
考虑直线与 在 相切，可得 ，
由△ ，解得 舍去），
综上可得 的范围是 ， ．
故选： ．
9．（2019•新课标Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航
天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．
为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行． 点是
平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 ，月球质量为 ，地月距离为 ， 点到月球的距
离为 ，根据牛顿运动定律和万有引力定律， 满足方程： ．
设 ．由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则 的近似值为A． B． C． D．
【解答】解： ． ，
满足方程： ．
，
把 代入，得： ，
，
，
．
故选： ．
10．（2019•浙江）设 ， ，函数 若函数 恰有3个
零点，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：当 时， ，得 ； 最多
一个零点；
当 时， ，
，
当 ，即 时， ， 在 ， 上递增， 最多一个零点．不合题意；
当 ，即 时，令 得 ，函数递增，令 得 ， ，函数递减；函
数最多有2个零点；
根据题意函数 恰有3个零点 函数 在 上有一个零点，在 ，
上有2个零点，
如右图：
且 ，
解得 ， ， ．
，
故选： ．
11．（2018•新课标Ⅰ）设函数 ，则满足 的 的取值范围是
A． ， B． C． D．
【解答】解：函数 ，的图象如图：
满足 ，可得： 或 ，
解得 ．
故选： ．
12．（2018•新课标Ⅰ）已知函数 ， ．若 存在2个零点，则 的取
值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：由 得 ，
作出函数 和 的图象如图：
当直线 的截距 ，即 时，两个函数的图象都有2个交点，
即函数 存在2个零点，
故实数 的取值范围是 ， ，
故选： ．二．填空题（共3小题）
13．（2019•江苏）设 ， 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期为2，且
是奇函数．当 ， 时， ， 其中 ．若在区间 ，
上，关于 的方程 有8个不同的实数根，则 的取值范围是 ， ．
【解答】解：作出函数 与 的图象如图，
由图可知，函数 与 ， ， ， 仅有2个实数根；
要使关于 的方程 有8个不同的实数根，则 ， ， 与 ， ， 的图象有2个不同交点，
由 到直线 的距离为1，得 ，解得 ，
两点 ， 连线的斜率 ，
．
即 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．
14．（2018•天津）已知 ，函数 ．若关于 的方程 恰有2个互异
的实数解，则 的取值范围是 ．
【解答】解：当 时，由 得 ，
得 ，
得 ，
得 ，
设 ，则 ，
由 得 或 ，此时递增，
由 得 ，此时递减，即当 时， 取得极小值为 ，
当 时，由 得 ，
得 ，得 ，当 时，方程不成立，
当 时，
设 ，则 ，
由 得 ，此时递增，
由 得 或 ，此时递减，即当 时， 取得极小值为 （4） ，
要使 恰有2个互异的实数解，
则由图象知 ，
故答案为：
15．（2018•新课标Ⅲ）函数 在 ， 的零点个数为 3 ．
【解答】解： ，
， ，， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
， ，
，或 ，或 ，
故零点的个数为3，
故答案为：3
16．（2020•新课标Ⅰ）已知函数 ．
（1）画出 的图象；
（2）求不等式 的解集．【解答】解：函数 ，
图象如图所示
（2）由于 的图象是函数 的图象向左平移了一个单位所得，（如图所示）
直线 向左平移一个单位后表示为 ，
联立 ，解得横坐标为 ，
不等式 的解集为 ．1．（2023•贾汪区校级模拟）某食品保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位： 满足函数关系
为自然对数的底数， ， 为常数）．若该食品在 的保鲜时间是192小时，在
的保鲜时间是48小时，则该食品在 的保鲜时间是
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
【解答】解：函数 中， 时， ； 时， ；
所以 ， ，即 ；
解得 ，
当 时， ．
该食品在 的保鲜时间是24小时．
故选： ．
2．（2023•绍兴二模）绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为 的等腰梯
形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的
面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度（即梯形的高）约为 （参考数据：
A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米
【解答】解：如图设横截面为等腰梯形 ， 于 ，
要使水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，
则 ，解得 米，
设 ，则 ， ， ，故 ，且 ，
梯形 的面积 ，
当 时， ，
此时 ，
即当过水横断面面积最大时，水渠的深度（即梯形的高）约为0.87米．
故选： ．
3．（2023•南宁二模）某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，
污染物含量 （单位： 与时间 （单位： 之间的关系为 （其中 ， 是正常数），
已知经过 ，设备可以过滤掉 的污染物，则过滤掉 的污染物需要的时间约为（结果精确到 ，
参考数据：
A． B． C． D．【解答】解：在 中， 时， ，
所以 ，
当 时， ，
两边取对数，得 ， ，
解得 ，
所以过滤掉 的污染物需要的时间约为 ．
故选： ．
4．（2023•南宁二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为
0.1万元，已知使用 年的维修总费用为 万元，则该设备年平均费用最少时的年限为
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：由题意知，年平均费用为 ．
因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时函数 有最小值，
所以这套设备年平均费用最少时的年限为9年．
故选： ．
5．（2023春•沙坪坝区校级期中）水库是我国防洪广泛采用的工程措施之一．已知某水库水位为海拔
时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水面的面积为 ．将该水库在
这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 下降到 时，减少的水量约为
A． B． C． D．【解答】解：因为棱台上底面面积为 ，下底面面积为 ，
根据题意，计算棱台的体积，是减少的水量：
．
故选： ．
6．（2022秋•罗湖区期末）设函数 若 存在最小值，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
【解答】解： 时， ，
所以 的最小值为 ；
时，若 ，则 单调递增，当 时， ，所以 没有最小值；
时，若 ，则 单调递减， （a） ，
若 ，则 的最小值为 ，
若函数 有最小值，需 或 ，
解得 ，所以 的取值范围是 ， ．
故选： ．
7．（2023•河南模拟）著名物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向
周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．统计学家发现网络热搜度也遵循这样的规律，即随着时间的
推移，热搜度会逐渐降低．假设事件的初始热搜度为 ，经过 （天 时间之后的热搜度变为
，其中 为冷却系数．若设某事件的冷却系数 ，则该事件的热搜度降到初始的 以
下需要的天数 至少为 ， 取整数）
A．7 B．6 C．4 D．3
【解答】解：由题意得 ，
即 ，
两边取对数，得 ，
解得 ，
所以经过3天后，热搜度下降到初始热搜度的 以下．
故选： ．8．（2022秋•绍兴期末）已知函数 ，若函数 在 ， 上恰有3个零
点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由 得 ，即 或 ，
或 ，
要使函数 在 ， 上恰有3个零点，则 ①或 ②， ，
解不等式组①得 ，则 ， ，
解不等式组②得 ，此时 无解，则 ，
综上所述，实数 的取值范围是 ， ，
故选： ．
9．（2022秋•保定期末）已知 是方程 的解， 是方程 的解，则 为
A． B． C．3 D．
【解答】解：两方程分别化成 与 ，
令 ，则 ， 是 与 的交点之横坐标，即 ，
，故 是 与 的交点之横坐标，
又 与 关于 对称，故 与 和 交点的中点为 和 的交点， ，
所以 ．
故选： ．
（多选）10．（2023•大连模拟）甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型：
其中正实数X ，Y 分别为甲、乙两方初始实力，t为
0 0
比赛时间；x（t），y（t）分别为甲、乙两方t时刻的实力；正实数a，b分别为甲对乙、乙对甲的比赛
效果系数．规定当甲、乙两方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长
为T．则下列结论正确的是（ ）
A．若X ＞Y 且a＝b，则x（t）＞y（t）（0≤t≤T）
0 0
B．若X ＞Y 且a＝b，则
0 0
C．若 ，则甲比赛胜利
D．若 ，则甲比赛胜利
【解答】解：对于A，若X ＞Y 且a＝b，则 ，所以x（t）﹣y
0 0
（t）＝eat（X ﹣Y ）；
0 0
由X ＞Y 可得x（t）﹣y（t）＝eat（X ﹣Y ）＞0，即A正确；
0 0 0 0
对于B，当a＝b时根据A中的结论可知x（t）＞y（t），所以乙方实力先为0，即y（t）＝ Y ﹣ X ＝0，化简得eat（X ﹣Y ）＝e﹣at（X +Y ），
0 0 0 0 0 0
即e2at＝ ，两边同时取对数得2at＝ln（ ），
即t＝ ln（ ）＝ ln ，所以比赛持续时长为T＝ ln ，选项B正确；
对于C，若甲方获得比赛胜利，则甲方可比赛时间大于乙方即可，
设甲方实力为0时所用时间为t ，乙方实力为0时所用时间为t ，
1 2
即x（t ）＝ X ﹣ Y ＝0，可得 ＝ ＞0；
1 0 0
同理可得 ＝ ＞0，
即 ＞ ，解得 ＞ ；
又因为X ，Y a，b都为正实数，所以可得 ＞ ，甲方获得比赛胜利；
0 0
所以可得C错误，D正确．
故答案为：ABD．1．（2021秋•朝阳区期中）已知函数 若存在 ，使函数 恰有三
个零点，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． D．
【解答】解：若函数 恰有三个零点，
则 与 的图象有三个不同的交点，
作出 时， 的图象，如图所示，
因为 时， ，
此时 为单调递增函数，
故 与 最多只有一个公共点，
所以 必须与第一段函数有两个公共点，
当 时， ，
结合图象若存在 ，使函数 恰有三个零点，
则 ，
故选： ．2．（2021•南京二模）已知函数 ， ，若函数 有3个不同的零点
， ， ，则 的取值范围是 ， ， ．
【解答】解：函数 ， ，若函数 有 3 个不同的零点 ， ，
，
令 ，则由 ，化简 ，解得 ，即 ， ，
下面判断 的单调性， ，当 ， ， 单调递增，
当 ， ， 单调递减，
的最大值是 （e） ，图象如下： ， 有3个不同的零点
① 有一个， 有2个，则 或者 ， ，解得 ，
此时，由 ， ， ， ；
② 有二个， 有1个，则 ， （不成立）或者 ，解得 ，
由 ， ， ， ， ；
综上， 的取值范围是 ， ， ．
故答案为： ， ， ．3．（2019秋•兴宁市校级期末）在直角坐标平面内两点 ， 满足条件：（1） ， 都在函数 的图
象上：（2） ， 关于原点对称．则称点对 是函数 的一个“友好点对”（点对 与点对
看作同一个“友好点对” ．已知函数 则 的“友好点对”有 2 个．
【解答】解：根据“友好点对”的定义可知，只需作出函数 的图象关于原点对称的图
象，
看它与函数 交点个数即可，如图，
观察图象可得：它们的交点个数是：2，即 的“友好点对”有2个．
故答案为：2．4．（2022秋•和平区校级期末）定义：如果函数 在定义域内给定区间 ， 上存在 ，
满足； ，则称函数 是 ， 上的“平均值函数”， 是它的平均值点．
（1）函数 是否是 ， 上的“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点，如果不是，请说明理
由；
（2）现有函数 是 ， 上的平均值函数，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）若 ， ， ，因为 ，令 ，解得 ，
故 是 ， 上的“平均值函数”，且平均值点为0；
（2）由题意知 ，
假设 是平均值点，则 ，整理得 ，
令 ，显然该函数是增函数，则要使结论成立，
只需 在 上有解即可，即 在 上有零点即可，
，△ ，①若 在 上只有一个零点时，只需 （1） （4） ，解得 或 ；
②若 在 上有两个不同零点时，只需 ，解集为 ；
综上可知 或 ，
故 的取值范围是 ， ．
5．（2023•翠屏区校级模拟）已知函数 ．
（1）当 时，求 在 处的切线方程；
（2）当 时，讨论 零点的个数．
【解答】解：由 ，
得 ．
（1） 时，可得 ， ，
则切线方程为 ，即 ．
（2）（ⅰ）当 时， ，
可知 ， ，
又 为 的增函数，且 （1） ，
所以 仅有一个零点．
（ⅱ）当 时， ，由 得 ， 为减函数； 得 ， 为增函数．
所以 ，
又 （1） ，所以存在 使 ，
故 在 有唯一零点．
又当 时， ，即 ，
所以 ，
而 图象开口向上，
故存在 ，使得 ，也即有 ，
则存在 ， 使得 ，故 在 有唯一零点，
此时， 有两个零点，
（ⅲ）当 时，由 得 或 ，
①若 ，即 ，则
当 时， ， 单调递增； 时， 单调递减； 时， ，
单调递增．
而 ， ，
此时， 仅有一个零点．
②若 ，即 ，则 ， 为 上的增函数，
因为 ， （1） ，此时 仅有一个零点．
③若 ，即 ，则
当 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减； 时，
， 单调递增．
因 ，则 ， （2） ，
结合 知 仅有1个零点．
综上，当 时， 有1个零点；
当 时， 有两个零点．
