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一元二次方程、不等式
1-5
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
3.会解一元二次不等式．
1.5 一元二次方程、不等式........................................................1
一、主干知识................................................................2
考点1：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.....................3
考点2：分式不等式与整式不等式...........................................3
考点3：简单的绝对值不等式...............................................3
二、分类题型................................................................5
题型一 一元二次不等式的求解..............................................5
命题点1 不含参的不等式..............................................5
命题点2 含参不等式..................................................6
题型二 一元二次不等式恒成立问题..........................................7
命题点1 在R上的恒成立问题..........................................7
命题点2 在给定区间上的恒成立问题....................................8
命题点3 给定参数范围的恒成立问题....................................9
三、课堂总结：知识图谱.....................................................10
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................11一、主干知识
考点1：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
的图象
没有实数根
的根
R
的解集
的解集
考点2：分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
考点3：简单的绝对值不等式
（1）
（2） ；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解二、分类题型
题型一 一元二次不等式的求解
命题点1 不含参的不等式
【例题精析1】 已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【例题精析2】 （2023·北京海淀·统考一模）不等式 的解集为_________．
【例题精析3】 在区间 上任取一个实数．使得 的概率为______________．
【对点精练1】 已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【对点精练2】 已知集合 ，则 （ ）
A． B．C． D．
命题点2 含参不等式
【例题精析4】 若集合 ，集合 ，满足 的实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题精析5】 已知p： ，q： .若p是q的必要不充分条件，则实
数a的取值范围是___________.
【例题精析6】 若关于x的不等式ax＞b的解集为 ，则关于x的不等式ax2＋bx－ a＞0的解集为
____.
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
【对点精练3】 （北京·高考真题）若关于x的不等式 的解集为 ，则实数a的取值范围
是____________；若关于x的不等式 的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________．题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上的恒成立问题
【例题精析7】 不等式 （ ）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C． D．a＞2
【对点精练4】 无论 取何值时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【对点精练5】 （多选）已知命题 ：关于 的不等式 的解集为R，那么命题 的一个必要不
充分条件是（ ）
A． B． C． D．
命题点2 在给定区间上的恒成立问题
【例题精析8】 设函数 ，若对于任意的 ， 恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D．
【例题精析9】 当 时， 恒成立，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．【对点精练6】 若不等式 对于一切 恒成立，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【对点精练7】 若不等式 对 恒成立，则a的取值范围是____________．
【对点精练8】 已知命题p：“ ， ”为真命题，则实数a的最大值是___．
【对点精练9】 已知函数 ，若不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围
为______．
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
【例题精析10】 若不等式 对任意 成立，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
恒成立问题求参数的范围的解题策略
（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，
求谁的范围，谁就是参数．
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，
不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．【对点精练10】 已知函数 .若对任意的 ，存在 ，使得 成立，
则实数 的取值范围是___．
【对点精练11】 对任意 ，函数 的值恒大于零，则 的取值范围是
（ ）
A． B． 或 C． D． 或
三、课堂总结：知识图谱
四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•青羊区校级模拟）不等式 的解集为
A． B． C． D．2．（2021•丰台区模拟）已知不等式 的解集为 ，则 的取值范围是
A． ， B．
C． ， ， D． ， ，
3．（2021•上饶一模）在区间 上，不等式 有解，则 的取值范围为
A． B． C． D．
4．（2021•4月份模拟）对于任意 ， ，函数 的值恒大于零，那么 的取
值范围是
A． B． ， ，
C． D．
5．（2020•一卷模拟）已知关于 的不等式 在 ， 上有解，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
6．（2019•青岛三模）若不等式 的解集为实数集 ，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
7．（2019•天津）设 ，使不等式 成立的 的取值范围为 ．
8．（2023•弥勒市校级模拟）不等式 的解集是 ．
9．（2020•连云港模拟）若关于 的不等式 的解集不是空集，则 的取值范围是 ．1．（2021•安庆模拟）存在 ， ，使得 ，则 的最大值为
A．1 B． C． D．
2．（2019•浙江模拟）设 ， 为常数，若关于 的不等式 的解集中的整数解恰有
3个，则 的取值范围是
A． B． C． D．
3．（本溪模拟）对于任意 ， ，函数 的值总大于0，则 的取值范围是
A． B． 或 C． D． 或
4．（江苏模拟）存在 ， ，则实数 的取值范围是 ．
5．（昆明模拟）若关于 的不等式 的解集恰好为 ， ，那么 ．
1．（2022•青浦区二模）设函数 ，定义集合 ， ，集合
， ．
（1）若 ，写出相应的集合 和 ；
（2）若集合 ，求出所有满足条件的 ， ；
（3）若集合 只含有一个元素，求证： ， ．
