跟踪训练05二次函数与一元二次方程、不等式（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_第一章集合与常用逻辑用语

跟踪训练 05 二次函数与一元二次方程、不等式 一．选择题（共15小题） 1．已知函数 在区间 ， 上的最小值为 ，最大值为 ，则 A． B． C．2 D． 【解答】解： 的对称轴为 代入 ， ， 所以 ，即 ， 又因为对称轴方程为 ， 函数 在区间 ， 上单调递增，所以 ， 所以方程 的两个根为 和 ，所以 ． 故选： ． 2．不等式 的解集是 A． B． C． D． 【解答】解：由 ， 故选： ． 3．不等式 的解集是 A． 或 B． C． 或 D． 【解答】解：不等式 ，解得 或 ，即不等式的解集为 ， ， ． 故选： ． 4．不等式 的解集是 A． 或 B． C． D． 或 【解答】解：令 ，得 ， ， 故当 时， 或 ， 即不等式的解集为 或 ． 故选： ． 5．不等式 的解集为 A． B． 或 C． D． 或 【解答】解：由 ， 即 ，得 ， 所以不等式 的解集为 ． 故选： ． 6．若函数 在 ， 上是增函数，则实数 的取值范围是 A． ， B． ， C． ， D． ， 【解答】解：函数 的对称轴为： ，图象开口向上， 函数在 ， 上单调递增，，解得 ， 故选： ． 7．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两根，其中 ， ，则 的值 A．仅与 有关 B．仅与 有关 C．与 均有关 D．是与 无关的定值 【解答】解：因为 ， 是关于 的一元二次方程 的两根， 所以由韦达定理得 ， 又 ，所以 ， 同理 ， 所以 ． 故选： ． 8．若关于 的不等式 的解集是 或 ，则 A． B． C． D．1 【解答】解：依题意，关于 的不等式 的解集是 或 ， 所以关于 的方程 的根为 或 ， 所以 ， 所以 ． 故选： ． 9．已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式的解集为 A． B． C． D． 【解答】解：因为关于 的不等式 的解集为 ， 则 ， ， 则不等式 即不等式 ，解集为： ． 故选： ． 10．已知关于 的方程 的两根为 ， ，且两根的平方和比两根 之积大40，则 值为 A． 或18 B．2或 C． D． 【解答】解：因为关于 的方程 的两根为 ， ， 则△ ，即 ， ， 因为 ， 所以 ， 所以 ，即 ，解得 或 （舍 ， 故 ． 故选： ． 11．如果方程 的解为 ，则实数 ， 的值分别是 A． ， B． ， C． ，9 D． ，2 【解答】解： 方程 的解为 ，和 是方程 的两个根， ，解得 ． 故选： ． 12．已知不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是 A． 或 B． 或 C． D． 【解答】解：因为不等式 的解集为空集， 所以 ，解得 ． 故选： ． 13．若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 A． ， B． ， C． ， D． ， 【解答】解：当 时，不等式化为 ，此时不等式无解， 当 时，要满足题意，只需 ，解得 ， 综上，实数 的范围为 ， ， 故选： ． 14．已知函数 ，若 ，则 的值是 A．负数 B．正数 C．零 D．正负与 有关 【解答】解： 开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ， 因为 ，故 ， 又因为 ，所以 ，设 的两根为 ， ， ， 则 ， ， 所以 ， 因为 ，故 ， ，所以 故选： ． 15．关于 的不等式 的解集为 ， ，若 ，则实 数 的值是 A．1 B． C．2 D． 【解答】解：因为 的解集为 ， ， 则方程 的解为 或 ， 则由韦达定理有： ， 又 ，得 ，即 ， 结合 解得 ． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．下列四个不等式中，解集为 的是 A． B． C． D． 【解答】解：对于 ，不等式 可化为 ，解得 或，所以不等式的解集是 或 ，不是空集； 对于 ，不等式 ，判别式△ ，所以不等式的解集是 ； 对于 ，不等式 ，判别式△ ，所以不等式的解集是 ； 对于 ，不等式 可化为 ， 判别式△ ， 因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取“ ”； 所以△ ，不等式 的解集是 ． 故选： ． 17．二次函数 的图像如图所示，则 A． B． C． D． 【解答】解：令 ， 由函数图像可得： 且 （1） ，即 ，且 ， 故 ， 正确， 错误，且 ，所以 ，故 正确，故选： ． 18．已知关于 的不等式 ，下列结论正确的是 A．当 时，不等式的解集为 B．当 时，不等式的解集可以表示为 的形式 C．若不等式的解集恰为 ，则 或 D．若不等式的解集恰为 ，则 【解答】解：设 ，则 ， 对于 ， ， 当 时，不等式的解集为 ，故 正确， 对于 ，当 时，不等式化为 ，画出图象，如图所示： 不等式的解集为 ，故 错误， 对于 ，若不等式的解集恰为 ，则 ，且 ， ， （a） （b） ， ，解得 或 ， 当 时， ，不符合题意，舍去， 当 时， ，符合题意， ， 故 错误， 正确， 故选： ．19．已知不等式 的解集为 ，则以下选项正确的有 A． B． C． 的解集为 D． 的解集为 或 【解答】解： 不等式 的解集为 ， 和3是方程 的两个根，且 ， ， ， ， ， ，故 正确， 错误， 不等式 可化为， ， 即 ，解得 或 ， 的解集为 或 ，故 错误， 正确， 故选： ． 20．已知关于 的不等式 的解集是 或 ，则下列说法正确的是 A． B．不等式 的解集是 C．不等式 的解集是 D． 【解答】解：因为不等式 的解集是 或 ，所以 和 是方程 的根且 ， 错误； 所以 ， ， 所以 ， ， 不等式 可化为 ，解得 ， 正确； 不等式 可化为 ，即 ， 解得 ， 正确； 根据二次函数的性质可知，当 时， ， 正确． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．已知不等式 的解集为 ，且 ，则 3 ． 【解答】解：不等式 的解集为 ， 所以 ， 所 以 解得 或 △ ，舍去）， 所以 ． 故答案为：3． 22．已知函数 在区间 ， 上是严格减函数，则实数 的取值范围是 ．【解答】解：因为 在区间 ， 上是严格减函数， 所以 ， 解得， ． 故答案为： ． 23．已知方程 的两根为 ， ，则 ． 【解答】解： 方程 的两根为 ， ， ， 故答案为： ． 24．已知关于 的不等式 的解集为 ，若 ，则实数 的取值范围为 ， ． 【解答】解：因为关于 的不等式 的解集为 且 ， 所以 ，即 ，即 ， 解得 ， 即实数 的取值范围为 ， ． 故答案为： ， ． 25．关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围为 ， ． 【解答】解：当 时，不等式可化为 ，无解，满足题意；当 时，不等式化为 ，解得 ，不符合题意，舍去； 当 时，要使得不等式 的解集为 ， 则 解得 ． 综上，实数 的取值范围是 ， 故答案为： ． 四．解答题（共3小题） 26．已知函数 ． （Ⅰ）当 时，求函数 在 ， 上的最值； （Ⅱ）求关于 的不等式 的解集． 【解答】解：（Ⅰ）当 时， ， 函数 图象的对称轴为直线 ， 因为 ， ， 所以当 时， ，当 时， （2） ； （Ⅱ）不等式 化为： ， ， 则 ． ． 不等式 的解集为 ． 27．已知二次函数 ． （1）若 是奇函数，求 的值； （2） 在区间 ， 上的最小值记为 ，求 的最大值．【解答】解：（1）因为 是奇函数，所以 是偶函数， 即二次函数对称轴为 ，即 ； （2） 的对称轴为 ， 当 时，即 ， ，即 ； 当 ，即 ， 时， ，故 ； 当 时，即 ， 时， （1） ； 综上， ， 故 ， 时， ， ， 时， ， ， 对称轴 为 ， ， 所以 的最大值为0． 28．已知关于 的不等式 ，其中 ． （1）若该不等式的解集为 ，求 的值； （2）解原不等式． 【解答】解：（1）由于原不等式的解集为 ，所以1和2是方程 的两实根， 所以 ，解得 ． （2）由原不等式可得 ，当 时，即 时，解得 ，原不等式的解集为 ； 当 时，即 时，原不等式为 ，解得 ，原不等式的解集为 ； 当 时，即 时，解得 ，原不等式的解集为 综上， 时， ； 时， ； 时， ．