文档文本内容
1.5 一元二次方程、不等式
目录
01 课标要求..........................................................................................................................................2
02 落实主干知识..................................................................................................................................3
一、一元二次不等式............................................................................................................................3
二、高次不等式....................................................................................................................................3
三、分式不等式....................................................................................................................................3
四、无理不等式....................................................................................................................................4
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型..................................................................................................................................5
题型一：不含参的不等式....................................................................................................................5
题型二：含参的不等式........................................................................................................................5
题型三：三个二次之间的关系............................................................................................................6
题型四：一元二次不等式恒(能)成立问题.........................................................................................7
题型五：一元高次不等式的解法........................................................................................................8
题型六：绝对值不等式........................................................................................................................8
题型七：一元二次函数根的分布问题................................................................................................9
题型八：探讨含参数绝对值不等式的求解方法................................................................................9
题型九：根据不等式组的整数解个数或范围..................................................................................10
题型十：通过解不等式组确定参数的取值范围..............................................................................10
04 好题赏析（一题多解）................................................................................................................12
05 数学思想方法................................................................................................................................12
①数形结合..........................................................................................................................................12
②转化与化归......................................................................................................................................12
③分类讨论..........................................................................................................................................13
06 课时精练（真题、模拟题）........................................................................................................14
基础过关篇..........................................................................................................................................14
能力拓展篇..........................................................................................................................................16
1、会从实际情景中抽象出一元二次不等式.
2、结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.
3、了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
一、一元二次不等式
一元二次不等式
或
的解法：
对于一元二次方程
，设
，（当
时，方程两根为
）
的图象
的根
有两相异实根
有两相等实根
无实根
的解集
R
的解集
二、
次不等式
高
一元高次不等式通常先进行因式分解，化为
(或
)的形式，然后用穿针引
线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负
出现，特别要注意奇穿偶切，奇
“
”
“
”(“偶”)指的是某个因式的次数.
、
式不等式
三
分
解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.
由于
与
均意味a，b 同号，故
与
等价的；
与
均意味a，b 异号，故
与
等价的；
①
，
且
.
②
，
且
.
、
不等式
四
无理
⑴
或
⑵
⑶
二
常用
级结论
1、一元二次不等式恒成立常用结论：
⑴
的解集为R，则一定满足
⑵
的解集为
，则一定满足
⑶
的解集为R，则一定满足
⑷
的解集为
，则一定满足
⑸
在
上恒成立，则
⑹
在
上恒成立，则
一
题型
：不
不等式
含参的
【例1】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
解一元二次不等式时，我们首先要找出与之对应的方程的根。将这些根标记在数轴上，有助于我们直
观地理解不等式的解集分布。随后，结合二次函数的图象特征，我们可以清晰地确定不等式的解集范围，
从而得出最终答案。
【变式1-1】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【变式1-2】不等式
的解集是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【变式1-3】不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
二
题型
：
不等式
含参的
【例2】设函数
．
(1)命题
，使得
成立．若p 为假命题，求实数a 的取值范围；
(2)求不等式
的解集．
【解题总结】
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ 与0 的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
【变式2-1】若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
【变式2-2】设
.
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)解关于的不等式
.
【变式2-3】已知
．
(1)若
的解集为
，求实数a，t 的值；
(2)当
时，求关于x 的不等式
的解集．
题型三：
二次
三个
之间的关系
【例3】（多选题）已知关于x 的不等式
的解集为
或
，则下列说法正确的
是 （ ）
A．
B．
的解集为
C．
D．
的解集为
【解题总结】
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出
相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
【变式3-1】（多选题）已知关于x 的不等式
的解集为
，则（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集为
或
D．不等式
的解集为
【变式3-2】（多选题）已知关于x 的不等式
的解集为
，则（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集为
D．
的最小值为6
【变式3-3】（多选题）关于
的不等式
的解集为
或
，下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集为
D．不等式
的解集为
或
题型四：一元二次不等式恒(能)成立问题
【例4】（2025·江西上饶·二模）若不等式
恒成立，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判
别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
【变式4-1】已知实数
，
，满足
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】若一元二次不等式
对一切实数
都成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2025·高三·河南许昌·期中）
，
恒成立，则实数
的最
大值为（ ）
A．
B．3
C．
D．6
【变式4-4】若关于x 的不等式
在区间
上有解，则实数m 的最小值为（ ）
A．9
B．6
C．
D．5
题型五：一元
次不等式
高
的解法
【例5】不等式
的解集为 ．
【解题总结】
穿根法
【变式5-1】不等式
的解集为
【变式5-2】不等式
的解集是 ．
【变式5-3】（2025·上海浦东新·模拟预测）不等式
的解集是 ．
题型六：
不等式
绝对值
【例6】不等式
的解集是 .
【解题总结】
一般的，
与
或
同解；
与
同解．
一般的，
，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，
那么就需要对每个绝对值号进行讨论．
【变式6-1】（2025·上海·模拟预测）设
，则不等式
的解集为 .
【变式6-2】（2025·高三·全国·开学考试）不等式
的解集为 ；
【变式6-3】不等式
的解集是 ．
题型七：一元二次函数根的分布问题
【例7】（2025·河北石家庄·一模）已知方程
有且仅有两个不相等的正实数根，则
实数
的取值范围是 .
【解题总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处
函数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向．
【变式7-1】已知方程
的两根一个比
大另一个比
小，则实数
的范围是 .
【变式7-2】（2025·高三·上海浦东新·期中）若关于
的一元二次方程
有两个同号实根，
则实数
的取值范围是 .
【变式7-3】若关于x 的方程
在
上有两个不等实根，则实数a 的取值范围是
题型八：
不等式
方
探讨含参数绝对值
的求解
法
【例8】若关于
的不等式
的解集为
，则实数
．
【解题总结】
对于含参型绝对值不等式，零点分段法与图象法是行之有效的求解途径。零点分段法通过剖析绝对值
符号内表达式取零的点，将数轴划分为不同区间，进而在各区间内去除绝对值符号求解不等式；图象法则
借助函数图象直观呈现绝对值函数与相关参数函数的交互关系，助力确定不等式的解集。
【变式8-1】若对任意
，都有
，则实数
的最大值为
【变式8-2】存在
使不等式
成立，则实数
的取值范围是 .
【变式8-3】若不等式
的解集为
，则实数a 的取值集合为
不等式
题型九：根据
组的整数解个数或范围
【例9】已知关于
的不等式组
仅有一个整数解，则
的取值范围为 ．
【解题总结】
在处理不等式组整数解以确定参数取值范围的问题时，分类讨论与数形结合是两种关键策略。通过分
类讨论不同情况，并借助数轴等工具直观展示不等式关系，我们能更准确地找出符合条件的整数解，进而
确定参数的合适值。
【变式9-1】已知不等式组
只有一个整数解
，则实数k 的取值范围
【变式9-2】已知关于x 的不等式组
仅有一个整数解，则k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-3】已知关于
的不等式组
恰有两个整数解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
不等式
题型十：通过解
组确定参数的取值范围
【例10】已知不等式组
的解集是关于
的不等式
解集的一个子集，则实数
的取值范围为 .
【解题总结】
在求解含不等式（组）参数的问题时，关键在于巧妙运用不等式的相关性质，结合已知不等式（组）
的解集信息，通过分析、推理，在参数与解集之间构建起明确的对应关系，进而求解出参数的值或取值范
围。
【变式10-1】若不等式组
的解集为空集，则实数
的取值范围为 ．
【变式10-2】（2025·高三·河南周口·期末）若关于
的不等式组
恰有50 个不
等的实数解，则
的取值范围为 .（结果用区间表示）
【变式10-3】若不等式组
的解集是
，则a 的取值范围是
1．若
时，
恒成立，则a 的取值范围为 ．
2 ．设函数
，若对于
，
恒成立，则m 的取值范围
是 ．
①数形结合
1．关于x 的方程
有实数根
，且
，则下列结论错误的是
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
2．关于x 的一元二次不等式
的解集中有且仅有3 个整数，则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
3．若至少存在一个
，使得关于x 的不等式
成立，则实数m 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
②转化与化归
4．已知a，
且a，
，若
在
上恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．不等式
的解集为
，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知命题P：
若命题P 是假命题，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
③分类讨论
7．已知关于x 的不等式
对任意
恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知使不等式
成立的任意一个x，都满足不等式
，则实数a 的取值范围
为
A．
B．
C．
D．
9．关于x 的不等式
的解集中，恰有3 个整数，则a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
基础过关篇
1．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于
的不等式
的解集是
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·江西九江·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·山西忻州·模拟预测）已知函数
，且不等式
的解集为
，
，则
的极大值为（ ）．
A．0
B．36
C．72
D．108
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合
，
，若
，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
8．已知
,
是关于
的一元二次方程
的两个实数根，且
,
，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选题）已知
，满足
，且
，则下列结论正确的有
（ ）
A．
B．
C．
的最大值为2
D．
的最小值为
10．（多选题）（2025·辽宁·三模）若关于
的不等式在
上恒成立，则该不等式称为单位区间不等
式.下列不等式是单位区间不等式的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（多选题）在
上定义运算：
，若不等式
对任意实数
恒成立，则
实数
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（多选题）已知关于
的不等式
的解集为
，其中
，则
的取值可以是
（ ）
A．2
B．
C．3
D．4
13．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数
是偶函数，且当
时，
，则不等式
的解集为 ．（用区间表示）
14．已知二次不等式
的解集为
，
，则
的取值范围是 .
15．已知不等式
对满足
的一切实数m 恒成立，则x 的取值范围为 ．
16．若不等式
对任意
恒成立，则实数m 的值为
能力拓展篇
17．（2025·河南南阳·模拟预测）已知
，若当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是 .
18．设函数
，若对于给定的负数a 有一个最大的正数
，使得在整个区间
上，不等式
恒成立，则当
时，
最大，
的最大值为 ．
19．设奇函数
在
上是单调函数，且
．若函数
对所有的
都
成立，则当
时，的取值范围是 ．
20．（2025·湖南·模拟预测）若关于x 的不等式
的解集恰有50 个整数元素，则a 的取值范
围是 ，这50 个整数元素之和为 ．
21．（2025·贵州黔东南·模拟预测）若存在实数
（
），使得关于x 的不等式
对
恒成立，则b 的最大值是 .
