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基本不等式
1-4
1.探索并了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1-4 基本不等式..................................................................1
一、主干知识................................................................1
二、分类题型................................................................2
题型一 利用基本不等式求最值..............................................3
命题点1 配凑法......................................................3
命题点2 常数代换法..................................................4
命题点3 消元法......................................................5
题型二 基本不等式的综合应用..............................................7
命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题..........................7
命题点2 求参数值或取值范围.........................................11
题型三 利用基本不等式求解实际问题.......................................15
三、课堂总结：知识图谱.....................................................18
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................19一、主干知识
考点1：基本不等式：
≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
考点2：几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3) (a，b∈R)．
(4) (a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
考点3：利用基本不等式求最值问题
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
二、分类题型题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法
【例题精析1】 已知 ，求函数 的最小值 ；
【解答】∵ ，∴ ，∴函数 ，
当且仅当 ，即 时取等号，∴函数 的最小值为5．
【例题精析2】 当 时，求 的最大值 ．
【解答】当 时，则 ，可得 ，
当且仅当 ，即 时取等号，∴ 的最大值为8．
【例题精析3】 已知 ，则函数 的最小值是______．
【解答】因为 ，
，当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以函数 的最小值是 ，故答案为: .【对点精练1】 函数 的最小值是
A． B．3 C．6 D．12
【解答】解： ．
因为 ，所以 ，（当且仅当 ，即 时，等号成立）．
故 最小值为 ，
故选： ．
【对点精练2】 对于正实数 ，代数式 的最小值为 5 ．
【解答】解：因为 ，
故 ，当且仅当 时取等号．
故答案为：5．
【对点精练3】 已知 ，则 的最小值为 4 ．
【解答】解： ， ，当且仅当 即 时取等号，
故答案为：4．
【对点精练4】 设实数 满足 ，函数 的最小值为 ．
【解答】解：因为 ，所以 ，
所以函数 ，
当且仅当 ，即 时取“ ”，所以函数 的最小值为 ．
故答案为： ．
命题点2 常数代换法
【例题精析4】 （2023·陕西·统考二模）设 ，若 ，则 的最小值是___________.
【解答】∵ ，若 ，∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，又 ，即 ， 时等号成立，
故答案为： ．
【例题精析5】 已知 ， ，且 ，则 的最小值为 __．
【解答】解：因为 ， ，且 ，
所以 ，
则
，
当且仅当 且 ，即 ， 时取等号，此时 取得最小值 ．故答案为： ．
【对点精练1】 已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】因为 ，且 为正实数，
所以 ，当且仅当
即 时等号成立.所以 .故选：B.
命题点3 消元法
【例题精析6】 已知 ，且 ，则 的最小值为___________.
【解答】因为 ，解得： ，
则
当且仅当 ， 时，“=”成立
故答案为： .
【例题精析7】 已知a， ，且 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【解答】解： ，则 ，当且仅当 时，“=”成立，
又a， ，所以 ，当且仅当 时，“=”成立，
所以 的最大值为 .故选：C
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换
的方法；三是配凑法．
【对点精练1】 已知 ，且 ，则 的最小值是__________.
【解答】 ，
又
当且仅当 即 取得.
故答案为：
【对点精练2】 已知正实数a，b满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．2【解答】因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，因为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
即 ，因为 为正实数，所以 ，因此 ，故 的最大值为 ，此
时 ，故选：B.
【对点精练3】 （2022·山东济南·统考模拟）若正数 满足 ，则 的最大值为
（ ）
A．1 B．4 C．9 D．16
【解答】因为 ,所以 ，
所以 ，即 ，解得 ．
当且仅当 时，等号成立，
所以当 时， 的最大值为 .
故选：C.
题型二 基本不等式的综合应用
命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题
【例题精析8】 《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如
图所示的图形，点 在半圆 上，且 ，点 在直径 上运动．作 交半圆 于点 ．
设 ， ，则由 可以直接证明的不等式为
A． B．
C． D．
【解答】解：因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，易得 ，
由射影定理得 ，所以 ，由 可得 ， ．
故选： ．
【例题精析9】 我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，
即在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 的面积为 .若
，且 的外接圆的半径为 ，则 面积的最大值为__________.【解答】因为 ,所以由正弦定理得 ,
所以 ,所以由余弦定理得 ,
而 ,所以 ,所以 ,
所以 ,由 得 ,
所以 ，当且仅当 时取等号,
所以 ,
故 面积的最大值为 .故答案为：
【对点精练1】 （多选）（2022秋·广东广州·高三校考阶段练习）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经
知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中
项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称 为正数a，b的算术平均数， 为
正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式 叫做基本不等式.已知实数a，b
满足 ， ，a+b=2，则下列结论正确的有（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值为3
C． 的最大值为3 D． 的最小值是2
【解答】对于A， ，当且仅当 ，即 ， 时取“=”，A正确；
对于B， ，当 时， 取得最小值3，B正确；
对于C，令 ， ，
其中锐角 由 确定，显然 ，则当 ，即 时，
，
因此，当 时， 取最大值 ，C不正确；
对于D，
，
当且仅当a=b=1时取“=”，D正确.
故选：ABD
【对点精练2】 （2023·全国·高三专题练习）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指
圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁
画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块
圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角 满足 ，则这块四边形木板
周长的最大值为（ ）A． B． C． D．
【解答】设截得的四边形木板为 ，设 ， ， ， ， ， ，如下
图所示.
由 且 可得 ，
在 中，由正弦定理得 ，解得 .
在 中，由余弦定理，得 ，
所以， ，
即 ，可得 ，当且仅当 时等号成立.
在 中， ，由余弦定理可得
，
即 ，即 ，当且仅当 时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为 .故选：D.
【对点精练3】 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ ”作为等号使用，后来英
国数学家哈利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影
响深远．若实数 ，则 的最小值为
A．6 B．4 C．3 D．2
【解答】解：由 ，
又 ，所以 ，且 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，取等号，
故 的最小值为6．故选： ．
命题点2 求参数值或取值范围
【例题精析10】 （多选）（2022·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟）已知 ，则下列不等式成立
的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】A选项：由选项可知 与 同号，当 且 时，由基本不等式可知 恒成立，当
且 时， ， 时，该不等式不成立，故A选项错误；B选项：当 时， ，则 恒成立，
即 恒成立，当 时，原不等式恒成立，故B选项正确；
C选项：当 时， ，即 ， 恒成立，当
时， ，即 ， ，故C选项错误；
D选项：由重要不等式可知， ， 恒成立，故D选项正确；
故选：BD.
【例题精析11】 “ ”是“对任意的正数 ， 恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：对任意的正数 ， 恒成立，
只要 即可，
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 ，
则 ，解得 ，
所以“ ”是“对任意的正数 ， 恒成立”的充分不必要条件.故选：A.
【例题精析12】 已知不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【解答】由参变量分离法可得 ，当 时， ，
当 时， ， ，
当且仅当 时，等号成立，故 ，解得 .
故选：D.
【例题精析13】 若对于任意 恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 （当且仅当 时取等号），
则 ，
即 的最大值为 ，故 .
故选：
求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或
范围．【对点精练1】 已知正实数a、b满足 ，则a、b一定满足的关系有______．（填序号）
① ；② ；③ ；④ ．
【解答】因为 ，所以 ，即 ，即 ，
可得 ， ，所以 ，
对于①，
当且仅当 时等号成立，所以 ，故①正确.
对于②，
当且仅当 时等号成立，所以 ，故②错误.
对于③， ，
当且仅当 ， 时等号成立，所以 ，故③正确.
对于④，
当且仅当 ， 时等号成立，所以 ，故④错误.
综上所述：正确的序号为①③.
故答案为：①③.
【对点精练2】 已知正数 ， 满足 ，若不等式 恒成立，则 的最大值为
（ ）A． B． C． D．
【解答】因为 ，所以 ，
所以由 可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，当且仅当 ， 时取等号，
故选：B．
【对点精练3】 若对任意正数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解答】依题意得，当 时， 恒成立，
又因为 ，当且仅当 时取等号，
所以， 的最大值为 ，
所以 ，解得 的取值范围为 ．
故选：B
【对点精练4】 已知不等式 ≥4对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6【解答】 ,
根据题意可知 ，解得 ，
的最小值是1
故选：A
题型三 利用基本不等式求解实际问题
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型
解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建
立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．
【例题精析14】 （2023·全国·高三专题练习）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种
药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C（单位： ）随时间t（单位：h）的变化关系可近似的用函数
刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（
）
A．3h B．4h C．5h D．6h
【解答】依题意， ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即t＝3时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h．
故选：A．
【例题精析15】 （2023·甘肃武威·统考一模）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.
某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投
资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时， ，当年产量不低于400辆时，
，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售
这款新能源汽车的最高年利润为（ ）
A．1500万元 B．2100万元 C．2200万元 D．3800万元
【解答】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为 （万元），由题意可知，
，
即 ，
当 时， 的对称轴 ，则 ；
当 时， ，当且仅当 时， 取得
最大值2200.
综上，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为2200万元.
故选：C.
利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模
型，再利用基本不等式求得函数的最值．【对点精练1】 春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.
已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足 ， .经测算，当
时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当 时，候车人数会减少，减少人数
与 成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为 .
(1)求 的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；
(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为 ，则一天中哪个时间需要
提供的矿泉水瓶数最少?
【解答】（1）当 时，设 ， ，则 ，
.
，
故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.
（2） ，
①当 时， ，当且仅当 时等号成立；
②当 时， ；
又 ，所以 时，需要提供的矿泉水瓶数最少.
【对点精练2】 （2022·湖北·校联考一模）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 的矩形
空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5 ，各试验区
之间也空0.5 .则每块试验区的面积的最大值为___________ .【解答】设矩形空地的长为 m，则宽为 m，
依题意可得，试验区的总面积 ，
当且仅当 即 时等号成立，
所以每块试验区的面积的最大值为 .
故答案为：6
三、课堂总结：知识图谱四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•上海）若实数 、 满足 ，下列不等式中恒成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，又 ，所以 ，故 正确， 错误，
，当且仅当 ，即 时取等号，故 错误，
故选： ．
2．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是
A． B． C． D．
【解答】解：对于 ， ，
所以函数的最小值为3，故选项 错误；
对于 ，因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
因为 ，所以等号取不到，
所以 ，故选项 错误；
对于 ，因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以函数的最小值为4，故选项 正确；
对于 ，因为当 时， ，
所以函数的最小值不是4，故选项 错误．
故选： ．
3．（2020•全国）若 ， ，则 的最大值为A． B． C． D．
【解答】解：方法一：由 ， ，消去 得到 ，
令 ， ．则 ，即 ， ，当且仅当 时，等号成立，故 的
最大值为 ．
故选： ．
方法二：由 ， ，可消去 得到 ，则 ，令 ，
， 当 时， ，故 的最大值为 ．
故选： ．
4．（2020•上海）下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
【解答】解： ．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误；
． ， ， ，故 正确；
．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误；
．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误．
故选： ．
5．（多选）（2022•新高考Ⅱ）若 ， 满足 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：方法一：由 可得， ，令 ，则 ，
， ，故 错， 对，
， ，
故 对， 错，
方法二：对于 ， ，由 可得， ，即 ，
， ，故 错， 对，
对于 ， ，由 得， ，
，故 对；
， ，
，故 错误．
故选： ．
6．（多选）（2020•海南）已知 ， ，且 ，则
A． B．
C． D．
【解答】解：①已知 ， ，且 ，所以 ，则 ，故 正确．
②利用分析法：要证 ，只需证明 即可，即 ，由于 ， ，且 ，所
以： ， ，故 正确．
③ ，故 错误．
④由于 ， ，且 ，利用分析法：要证 成立，只需对关系式进行平方，整理得 ，即 ，故
，当且仅当 时，等号成立．故 正确．
故选： ．
7．（2023•上海）已知正实数 、 满足 ，则 的最大值为 ．
【解答】解：正实数 、 满足 ，则 ，当且仅当 ， 时
等号成立．
故答案为： ．
8．（2021•天津）已知 ， ，则 的最小值为 ．
【解答】解：法一： ， ， ，
当且仅当 且 ，即 时取等号，
的最小值为 ，
法二： ， ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
的最小值为 ，
故答案为： ．
9．（2021•上海）已知函数 的最小值为5，则 9 ．
【解答】解： ，所以 ，经检验， 时等号成立．
故答案为：9．
10．（2020•天津）已知 ， ，且 ，则 的最小值为 4 ．
【解答】解： ， ，且 ，则 ，
当且仅当 ，即 ， 或 ， 取等号，
故答案为：4
11．（2020•江苏）已知 ，则 的最小值是 ．
【解答】解：方法一、由 ，可得 ，
由 ，可得 ， ，
则
，当且仅当 ， ，
可得 的最小值为 ；
方法二、 ，
故 ，
当且仅当 ，即 ， 时取得等号，
可得 的最小值为 ．
故答案为： ．1．（2019•上海）若 ， ，且 ，则 的最大值为 ．
【解答】解： ， ；
故答案为：
2．（2019•天津）设 ， ， ，则 的最小值为 ．
【解答】解： ， ， ，
则 ；
， ， ，
由基本不等式有： ，
，
，
故： ；
（当且仅当 时，即： ， 时，等号成立），
故 的最小值为 ；
故答案为： ．
3．（2019•天津）设 ， ， ，则 的最小值为 ．【解答】解： ， ， ，
，当且仅当 时取等号，
，
则 ；
由基本不等式有：
；
当且仅当 时，
即： ， 时，即： 或 时；等号成立，
故 的最小值为 ；
故答案为：
4．（2018•江苏）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， 的平分
线交 于点 ，且 ，则 的最小值为 9 ．
【解答】解：由题意得 ，
即 ，
得 ，
得 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
故答案为：9．5．（2018•上海）已知实数 、 、 、 满足： ， ， ，则
的最大值为 ．
【解答】解：设 ， ， ， ，
， ， ， ，
由 ， ， ，
可得 ， 两点在圆 上，
且 ，
即有 ，
即三角形 为等边三角形，
，
的几何意义为点 ， 两点
到直线 的距离 与 之和，
要求之和的最大值，此最大值是中点 到直线 的距离的两倍，
而中点 的轨迹是以原点 为圆心， 为半径的圆，
所以 ， 点在第三象限， 所在直线与直线 平行，
可设 ， ，
由圆心 到直线 的距离 ，
可得 ，解得 ，即有两平行线的距离为 ，
即 的最大值为 ，
故答案为： ．
6．（2018•天津）已知 ， ，且 ，则 的最小值为 ．
【解答】解： ， ，且 ，
可得： ，
则 ，
当且仅当 ．即 时取等号．
函数的最小值为： ．
故答案为： ．
7．（2022•上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程
的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块 ， ， ．为保护 处的一棵古树，
有关部门划定了以 为圆心、 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为 边
上的点 ，出线口为 边上的点 ，施工要求 与封闭区边界相切， 右侧的四边形地块 将作
为绿地保护生态区．（计算长度精确到 ，计算面积精确到
（1）若 ，求 的长；
（2）当入线口 在 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
【解答】解：（1）作 ，垂足为 ，则 ；
（2）设 ，则 ， ，
，
，
当 且 仅 当 ， 即 时 取 等 号 ， 此 时 ， 最 大 面 积 为
．
1．（2017•天津）若 ， ， ，则 的最小值为 4 ．
【解答】解：【解法一】 ， ， ，
，当且仅当 ，
即 ，
即 ， 或 ， 时取“ ”；
上式的最小值为4．
【解法二】 ， ， ，
，
当且仅当 ，
即 ，
即 ， 或 ， 时取“ ”；
上式的最小值为4．
故答案为：4．
2．（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买 吨，运费为6万元 次，一年的总存储费用
为 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 的值是 3 0 ．
【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和 （万元）．
当且仅当 时取等号．
故答案为：30．
3．（2017•山东）若直线 过点 ，则 的最小值为 8 ．【解答】解：直线 过点 ，则 ，
由 ，
当且仅当 ，即 ， 时，取等号，
的最小值为8，
故答案为：8．
4．（2018•江苏）若 ， ， 为实数，且 ，求 的最小值．
【解答】解：由柯西不等式得 ，
，
是当且仅当 时，不等式取等号，此时 ， ， ，
的最小值为4
5．（2017•江苏）已知 ， ， ， 为实数，且 ， ，证明 ．
【解答】证明： ， ，
令 ， ， ， ．
．当且仅当 时取等号．
因此 ．
另解：由柯西不等式可得： ，当且仅当 时取等号．
．
