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考点 06 基本不等式及应用
【命题解读】
基本不等式及其应用等，一般有两种命题方式：一是运用基本不等式研究函数的最值问题；二是以工
具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.
【基础知识回顾】
1、基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件： a >0 ， b >0 .
(2) 等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b.
2、算术平均数与几何平均数
设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不
小于它们的几何平均数．
3、利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是
4、基本不等式的两种常用变形形式
(1)ab≤2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(2)a＋b≥2(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
5、几个重要的结论
(1)≥2.
(2)＋≥2(ab>0)．
(3)≤≤ (a>0，b>0)．
1、（2021·潍坊市潍城区教育局月考）下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg(x2＋ )>lgx(x>0) B．sinx＋ ≥2(x≠kπ，k∈Z)
C． D． >1(x∈R)【答案】C
【解析】
当x>0时，x2＋ ≥2·x· ＝x，所以lg(x2＋ )≥lgx(x>0)，故选项A不正确；
当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不能确定，故选项B不正确；
因为 ，所以选项C正确；
当x＝0时，有 ＝1，故选项D不正确．
故选：C.
2、若正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B.
C. D.3
【答案】A
【解析】由题意，因为 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ，故选A。
3、（2020·湖南雅礼中学期中）（多选题）给出下面四个推断，其中正确的为（ ）.
b a
A．若a,b(0,)，则 �2；
a b
x,y(0,) lgxlg y�2 lgxlg y
B．若 则 ；4
C．若 ， ，则 a�4；
aR a0 a
x y
2
D．若x,yR，xy0，则 y x .
【答案】AD
【解析】
b a b a
�2 2 b a
对于选项A，因为a,b(0,)，则a b a b ，当且仅当 a b ，即 ab 时取等号，即选项
A正确；
x,y(0,1) lgx,lg y(,0) lgxlg y�2 lgxlg y
对于选项B，当 时， ， 显然不成立，即选项B错误；
4
对于选项C，当 时， a�4显然不成立，即选项C错误；
a0 a
y x x y x y x y
0, 0 [( )( )] 2 ( )( ) 2
对于选项D， xy0 ，则 x y ，则 y x y x y x ，当
x y
( ) ( )
且仅当 y x ，即xy时取等号，即选项D正确，
即四个推段中正确的为AD，
故答案为AD.
4、已知a>0, b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．
【答案】 2
【解析】、 利用基本不等式，化和的形式为积的形式．
因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝＝时，取等号．
5、一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为
________m时菜园面积最大．
【答案】15
【解析】设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝
2y，即x＝15，y＝时取等号．
6、(一题两空)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，＋的最小值为________．
【答案】2
【解析】∵a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝a·2b≤×2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.∵＋＝·＝≥·＝，当且仅当a＝b时等号成立，∴＋的最小值为.
考向一 运用基本不等式求函数的最值
例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）若 ，则 的最小值为
（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】
∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ， ，
∴ ，
∴
，
当且仅当 且 即 时，等号成立；
故选：C．
变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知 ， ，若不等式 恒成
立，则m的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D
【解析】
由已知 ， ，若不等式 恒成立，
所以 恒成立，
转化成求 的最小值，
，所以 ．
故选：D．
变式2、 (1)已知01)的最小值为________．
【答案】(1) (2)1 (3)2＋2
【解析】 (1)x(4－3x)＝×(3x)·(4－3x)≤×2＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．
故所求x的值为.
(2)因为x<，所以5－4x>0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
(3)y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号．
方法总结： (1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一
正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的
条件．如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然
后再利用基本不等式．考向二 基本不等式中1的运用
例2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数 在R上单调,若正实数 满足
则 的最小值是( )
A．1 B． C．9 D．18
【答案】A
【解析】
奇函数 在R上单调， 则
故 即
当 即 时等号成立
故选：
变式1、若正实数 满足 ，则 的最小值是 ▲ ．
【答案】、8
【解析】、因为正实数 满足 ，
所以 ，当且仅当 ，即 ，又
，即 ，等号成立，即 取得最小值 .
变式2、 已知a，b为正数，且直线 ax＋by－6＝0与直线 2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则
2a＋3b的最小值为________．
【答案】25
【解析】、由于直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，所以a(b－3)＝2b，即
＋＝1(a，b均为正数)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋6≥13＋6×2＝25(当且仅当＝即a＝b＝5
时取等号)．变式3、已知正实数a，b满足a＋b＝1，则 的最小值为 ．
【答案】：
【解析】、．
当且仅
当 ，即 时取“ ”，所以 的最小值为
方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代换
的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒
数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法．(3)解决问题时关注对已知
条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型
考向三 运用消参法解决不等式问题
例3、(2017苏北四市期末）. 若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
【答案】. 8
【解析】、解法1 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，
所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号，此时x＝，所以＋的最
小值为8.
解法2 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0，
所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即x＝时取等号，此时y＝4，所以＋的最小值为
8.
变式1：（徐州、宿迁三检）若 ，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】：
b−b2 +1
【解析】、由已知等式得 ，从而a= ，
2a+2b+1=2ab+2a+b2 +b 2b
b−b2 +1 1 3 1 1 √3 2√3+1
a+2b= +2b= + b+ ¿ +2 = ，故有最小值 .
2b 2 2 2b 2 4 2
变式2、设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．
【答案】
【解析】、 思路分析注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转
化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y较易，所以消去y.
由x2＋2xy－1＝0得y＝，从而x2＋y2＝x2＋2＝＋－≥2－＝，当且仅当x＝±时等号成立．
变式3、已知正数 x，y满足 ，求 的最小值．【答案】：
【解析】、：法一:因为 ，
所以．
又因为 ，所以 ，即 ．
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ．
法二：
方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和
为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．
考向四 运用基本不等式解决含参问题例1、(2019扬州期末）已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为
_________．
【答案】、(－∞，9]
【解析】、m≤x＋y恒成立，m≤(x＋y) .
min
解法1(消元法) 由x＋4y－xy＝0，得y＝，因为x，y是正实数，所以y>0，x>4，则x＋y＝x＋＝x＋
＝x＋＋1＝(x－4)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝6时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.
解法2(“1”的代换) 因为x，y是正实数，由x＋4y－xy＝0，得＋＝1，x＋y＝(x＋y)·＝＋＋5≥2＋5
＝9，当且仅当x＝6，y＝3时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.
解法3(函数法) 令t＝x＋y，则y＝t－x，代入x＋4y－xy＝0，得x2－(3＋t)x＋4t＝0.Δ＝(t＋3)2－16t
＝t2－10t＋q≥0，得t≤1或t≥9.又y＝>0，且x>0，则x>4，故t>4，从而t≥9.所以m≤9.
变式1、已知 ，若不等式 恒成立，则 的最大值为________．
【答案】：
【解析】：由
得 ．
又 ，
∴ ，∴ 的最大值为 ．
变式2、（1）已知函数 ，若对于任意 ， 恒成立，则 的取值范
围是________．
(2)已知正数 满足 恒成立，则实数 的最小值为________．
【答案】：（1） （2）2
【解析】： (1)对任意 恒成立，即 恒成立，
即知
设 ，则 ．
∵ ∴ ．∴ ，
∴ ，故 的取值范围是 ．
(2)∵ ，∴ (当且仅当 时取等号)．
又由 可得 ，
而 ，
∴当且仅当 时，
∴ 的最小值为 ．
方法总结：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题，
考点五、运用基本不等式解决实际问题
考向五 运用基本不等式解决实际问题
例5、某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足
80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为
0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【解析】 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得：
当00，此时函数y在[0,2]上单调递增，
所以当a<2时，函数y在[0，a]上单调递增，(11分)
所以当x＝a时，函数有最大值．
即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．(12分)
综上，当a≥2时，促销费用投入2万元，厂家的利润最大；当a<2时，促销费用投入a万元，厂家的
利润最大．(14分)
方法总结：(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解
1、（2019年高考浙江卷）若 ，则“ ”是 “ ”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时， 当且仅当 时取等号，则当 时，有
，解得 ，充分性成立；
当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述，“ ”是“
”的充分不必要条件.
2、（2020·山东月考）已知 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．12
【答案】C
【解析】
，
当且仅当 ，又 故 时取等号．
3、（2020年高考江苏）已知 ，则 的最小值是 ▲ ．
【答案】
【解析】∵
∴ 且∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
4、（2019年高考天津卷理数）设 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】方法一： .
因为 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时取等号成立.
又因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，结合
可知， 可以取到3，故 的最小值为 .
方法二：
.
当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为 .5、（2018年高考天津卷理数）已知 ，且 ，则 的最小值为 .
1
【答案】
4
1
【解析】由a−3b+6=0可知a−3b=−6，且2a+ =2a+2−3b
，
8b
1
因为对于任意x，2x>0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2a+2−3b≥2×√2a×2−3b=2×√2−6=
.
4
当且仅当¿，即¿时等号成立.
1 1
综上可得2a+
的最小值为 .
8b 4
6、（2020年高考天津）已知 ，且 ，则 的最小值为_________．
【答案】4
【解析】 ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：
7、（2020·泰安市泰山国际学校高三月考）求下列最值：
（1）当 时，求函数 的最大值；
（2）设 求函数 的最大值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1） ，则 ，
，
当 ，即 时等号成立.
（2） ，
当 ，即 时等号成立.
8、运货卡车以每小时 千米的速度匀速行驶 千米，按交通法规限制 (单位：千米/时)．假
设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋ )升，司机的工资是每小时 元．
(1)求这次行车总费用 关于 的表达式；
(2)当 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
【解析】 (1)设所用时间为 ，
．
所以，这次行车总费用 关于 的表达式是 ．
(或 )．
(2) ，
当且仅当 ，
即 ，等号成立．
故当 千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 元．
