文档文本内容
1.6 基本不等式
12 大考点汇总
考点01 配凑法
考点02 常数的妙用
考点03 齐次式
考点04 消元法
考点05 二次商式的最值问题
考点06 双换元法解基本不等式
考点07 多次使用基本不等式
考点08 柯西不等式的应用
考点09 权方和不等式
考点10 利用对勾函数求最值
考点11 基本不等式的恒成立求参问题
考点12 基本不等式的实际应用
题型专练
考点01 配凑法
1．函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对于函数进行变形得
，再利用基本不等式求最值即可．
【详解】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当x = 2−❑√6
3
时，取等号，
所以
的最大值为
．
2．若
，则函数
的最小值为_____.
【答案】10
【详解】若
，则
，
所以函数
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故函数
的最小值为
.
3．已知实数
，则
的最小值是__________.
【答案】
【分析】将
变形为
，利用基本不等式求解范围得到最小值.
【详解】
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
4．已知
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】将原式配凑为
，利用基本不等式求解即可.
【详解】
，
，
，
，
当且仅当
，即
时等号成立.
所以
的最小值为6.
故选：C.
考点02 常数的妙用
5．若
均为正数，且
，则
的最小值为___________．
【答案】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解.
【详解】
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以，
的最小值为
.
6．（多选）设正实数
，
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
有最大值
B．
有最小值
C．
有最大值
D．
有最小值
【答案】ABC
【分析】结合已知条件
，利用基本不等式及其变形逐一判断各选项即可.
【详解】对于A，由基本不等式
，代入
得
，即
，
当且仅当
时等号成立，所以
最大值为
，故A 正确；
对于B，
，由基本不等式
，
故
，当且仅当
时等号成立，
所以
最小值为
，故B 正确；
对于C，
，由选项A 知
，
故
，即
，
当且仅当
时等号成立，所以
最大值为
，故C 正确；
对于D，
，由选项A 知
，故
，
则
，
即
最小值为
，不是
，故D 错误.
7．已知正数x，y 满足
，则
的最小值为_________．
【答案】
【详解】由题意得
，当且仅当
时成立.
8．已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．4
【答案】C
【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得.
【详解】由
，则
、
，
故
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为.
9．已知
为正数，
，则
的最小值为_________.
【答案】
【分析】问题化为求
的最小值，应用“1”的代换及基本不等式求其最小值即可.
【详解】由题设
，则
，
求
的最小值，即求
的最小值，其中
，
由
，
当且仅当
，即
时取等号，
综上，
的最小值为
.
10．已知正数x，y 满足
，则
的最小值为______.
【答案】
【分析】根据题意得
，再结合基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】因为正数x，y 满足
，所以
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
11．若正数
满足
，则
的最小值是__________.
【答案】
【分析】由题意可得
，将
化为
，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】由题意正数
满足
，得
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，
即
的最小值是
，
故答案为：
12．已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【分析】由题
，然后由基本不等式可得答案.
【详解】因
由题设及基本不等式，
,
当且仅当
，即
时取等号.
13．已知正实数
满足
，则
的最小值为__________．
【答案】
/
【分析】利用“ ”的代换结合基本不等式即可求解.
【详解】因为正实数
满足
，所以
，所以
，
，当且仅当
时取等号，即
，
时，最小值为
.
考点03 齐次式
14．设
，
，且
，则
（ ）
A．有最小值为
B．有最小值为
C．有最小值为
D．有最小值为
【答案】D
【分析】利用已知条件变形凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值.
【详解】因为
，
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立．
所以
有最小值为
.
故选：D
15．已知实数
，且
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解.
【详解】实数
，且
，则
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
.
16．已知
，
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．18
D．20
【答案】C
【分析】利用常数代换，凑齐次，即可利用基本不等式先求得
相关的最小值，再配凑利用基本不等式求
得
相关的最小值即可.
【详解】因为
，
，
，
，所以
，
当且仅当
，
时等号成立，
所以原式
，
当且仅当
时等号成立，
故选：C.
17．已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由条件
，再利用基本不等式求最值.
【详解】因为
，
所以
，
因为
，
，
所以
，
当且仅当
，
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：B.
18．已知正实数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．6
【答案】A
【分析】由条件可得
，再利用基本不等式求其最小值即可.
【详解】由题意知
，
当且仅当
，且
，即
，
时等号成立，
即
的最小值为
.
故选:A.
19．设正实数
、
、
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得出
，利用基本不等式可求得
的最大值.
【详解】因为正实数
、
、
满足
，则
，
所以，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最大值为.
故选：D.
20．已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过
的妙用凑成积为定值，再利用基本不等式求解.
【详解】
，
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
的最小值为
.
故选：B
考点04 消元法
21．已知实数
，满足
，则
的最大值为_____.
【答案】
【分析】令
，把方程化为
，根据方程有解，利用
，求得
，进而求得
的最大值.
【详解】令
，则
，
方程
可化为
，
整理得
，则满足
，
解得
，所以
，即
，
所以
的最大值为
.
22．已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】C
【分析】方法一：条件等式可化为
，再结合关系
利用基本不等式
求结论；
方法二：由条件等式可得
，消元变形可得
，再利用基本不等式求其最小值即
可.
【详解】（方法一）由
，可得
，
因为
，
，所以
，
，
则
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
故
的最小值为13．
（方法二）由
，可得
，因为
，所以
，
则
，
当且仅当16
b−1 =b−1，即
时，等号成立，
故
的最小值为13．
23．（多选）若
，则
的值可能是（ ）
A．0
B．
C．2
D．
【答案】CD
【详解】因为
，所以
，b= 2
a −3
2，a+b=a+ 2
a −3
2，
当
时a+ 2
a −3
2 ≥2❑√a× 2
a −3
2 =2❑√2−3
2，1<2❑√2−3
2 < 3
2，
当
时
，−2❑√2−3
2 <−4，
结合选项，
的值可能为
或
．
24．已知正数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）．
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【详解】由
可得y −x−xy =0，即
，
故y + 1
x = y + 1
y +1≥3，当且仅当
，
时等号成立．
25．已知
，
为正实数，且
，
(1)求
的最大值.
(2)求
的最小值；
(3)求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可；
（2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可；
（3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）因为
，
为正实数，
所以由
，当且仅当
时取等号，
因为
，
为正实数，
所以由
因此当
时，
有最大值；
（2）
，
因为
，
为正实数，
所以
，
即
，当且仅当
时取等号，
所以当
时，
有最小值
；
（3）设
，即
，
所以
，
当且仅当
时取等号，即当
时取等号，
所以当
时，
有最小值
.
26．已知
，
，且
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知得
，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可.
【详解】由
，则
，
，
，故
，
所以
，
当且仅当
，此时
取等号.
27．若
，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据基本不等式可得
，求得
，由
可求得最小值.
【详解】由于
，即
，
则
，即
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为18，
所以有
，
所以
的最小值为
，此时
.
考点05 二次商式的最值问题
28．设
，则
的最小值为_____________．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为
，则
，
所以
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立.
故当
时，
的最小值为
.
29．函数
(
）的最大值为______．
【答案】
/
【详解】
，
，当且仅当
时取等号，
即函数
(
）的最大值为
．
30．已知
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】令
，化简得到
，结合基本不等式，即可求解.
【详解】令
，则
，因为
，可得
，
可得
，
当且仅当
时，即
时，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：D.
31．求函数
的最小值．
【答案】9
【分析】将
看作一个整体，化简得
，再利用基本不等式即可求得函数的最小值.
【详解】
，
因为
，所以
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故函数
的最小值为.
考点06 双换元法解基本不等式
32．已知
，
，
，则
的最大值为____.
【答案】
/
【分析】先换元，再结合基本不等式“1”的代换即可求解.
【详解】令
，
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，
结合
，解得
，即
时，
，所以
的最大值为
.
33．已知
，则
的最大值为_____．
【答案】
【分析】解法一：由
可对称设元
，化为一元函数最值求解；
解法二：变形换元得到
，令
，由基本不等式可得
，则
，由基本不等式可得最大值.
【详解】解法一：设
，
则
，
设
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最大值为
．
解法二：
①．
由
得
，则
，
代入①得原式
．令
，
因为
，
，所以
，
当且仅当
时等号成立，所以
，
则原式
，
当且仅当
且
，即
时等号成立，
故
的最大值为
．
故答案为：
34．已知
，
，
，则
的最大值为______．
【答案】
/
【分析】通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可.
【详解】令
，
，
则
，
，
，
，
，所以
，
所以
，
当且仅当
，
，即
，
时等号成立．
故答案为：
35．（多选）已知正数
、
，满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最大值为.
B．
的最大值为
.
C．
的最小值为
.
D．
的最小值为.
【答案】ABD
【分析】对于AB，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可
判断.
【详解】对于A，因为
，
所以
，则
，
当且仅当
且
，即
时，等号成立，
所以
的最大值为1，故A 正确；
对于B，因为
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，则
，
当且仅当
且
，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
，故B 正确；
对于C，
，
当且仅当
且
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
，故C 错误；
对于D，令
，
，则
，
，
，
，
所以
，
当且仅当
且
，即
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为1，故D 正确.
故选：ABD.
36．已知
，则
的最大值为___________．
【答案】
/
【分析】令
，则
，将所求式转化为
，利用 “1” 的代换和均值不等式
求出括号内式子的最小值，从而得到原表达式的最大值。
【详解】令
，则
，且
，
，
由
得
，
所以
，
当且仅当
时取等号，结合
，解得
，
即
时取等号，
所以
，即
的最大值为
，
故答案为：
.
考点07 多次使用基本不等式
37．已知正实数
，
，满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．16
C．12
D．
【答案】B
【分析】根据已知等式，二次运用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为正实数
，
，满足
，
所以
，
因为
，是正实数，
所以
，当且仅当
时取等号，
即当
时，
，
又因为
是正实数，
所以
，
所以
，当
时取等号，
又因为
，
当且仅当
时取等号，
即
，当
时取等号，
所以
，
因此当
，
时，
的最小值为
.
故选：B
38．（多选）已知
均为正实数，且
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为5
C．
的最小值为
D．若
，则
的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用基本不等式即可解得；对于B，将2 换成
，进而利用基本不等式得到答案；对
于C，将原式变化为
，进而化简，然后设
,
，而后用
进行代
换，最后用基本不等式得到答案；对于D，两次使用基本不等式即可得到答案.
【详解】对于A，由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
所以，
的最大值为
，A 对；
对于B，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
所以，
的最小值为
，B 错；
对于C，
，
设
，
，可得
，
则上式
，
当且仅当
时，即当
时，即当
时，等号成立，
所以，
的最小值为
，C 对.
对于D，因为
，
，所以
，
当且仅当
时等号成立，与
联立可得
．
又因为
，由不等式的性质可得
．
又因为
，
当且仅当
时等号成立．
所以仅当
时等号成立，
综上，
的最小值为
.
故选：ACD.
39．已知
均为正实数，且
，则
的最小值为___________．
【答案】4
【分析】由
可得
，所以原式可化为
①，令
，利用基本不等式求出
的范围，则①式可化为
，再次利用基本不等式求出
的范围即可得解.（注意两次应用基本不等式，
等号成立的条件必须相同）
【详解】由
可得
，所以原式
①.
令
，当
时，
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
.
所以①式可化为原式
.
令
，则
，
当且仅当
，即
，即
时等号成立，所以
，
所以
的最小值为4.
故答案为：4
40．（多选）已知正数a，b 满足
，则（ ）
A．
的最小值为6
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】BC
【分析】对于A，根据条件，利用基本不等式，得到
，即可求解；对于B，根据题意知
，代入结合基本不等式即可判断；对于C，由
代入得
，再令
，根据分式函数最值可得
，接着即可判断；对于D，由
，
结合
的最小值为
，注意两次取等条件不一致即可判断．
【详解】对于选项A，因为
，且
，
所以
，当且仅当
时取等号，
令
，得到
，解得
或
（舍），
所以
，
的最小值为9，故A 错误；
对于B，由
，则
，
，
当且仅当
，即
时取等，
所以
的最小值为
，故B 正确；
对于C，
，
，
则
，
令
，则
，
，
，当且仅当
，即
时取等，
则
，
，
当且仅当
时取等，故C 正确；
对于D，因为
，当且仅当
取等号，
又
，当且仅当
,
时取等号，
又
，所以
，故D 错误．
故选：BC．
考点08 柯西不等式的应用
41．已知
，求
的最大值．
【答案】最大值为1
【分析】方法一：应用三角换元法，再结合三角函数值域及两角和正弦公式得出最大值；方法二：应用柯西
不等式计算求解.
【详解】法一：（三角换元）令
，
，（
，
），
，
当且仅当
，
或者
，
时等号成立，故最大值为1．
法二：（柯西不等式）
，
当且仅当
，
或
时等号成立．
的最大值为1．
42．（多选）函数
的值可以是（ ）
A．
B．
C．3
D．5
【答案】AB
【分析】利用柯西不等式求出函数
的最大值，结合选项，即可确定答案.
【详解】由函数
可知
，
故
当且仅当
，即
时，取等号，
则
，
令
，
则
，而
，
其中
为锐角，
，
结合
，则
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
而
，故
的最小值为1，
即得
，
结合选项可知
，
符合题意，
故选：AB
43．（多选）设正实数
满足
，则以下说法正确的有（ ）
A．
的最小值为
B．
的最大值为
C．
的最大值为4
D．
的最小值为
【答案】AB
【分析】对于A：利用消元法及配方法，即可得解；对于B：利用柯西不等式进行求解即可；对于C：利用
消元法即可解决；对于D：利用基本不等式中“1 的妙用”即可解决.
【详解】对于A：
，
，
所以当
时，
取得最小值
，故A 正确；
对于B：
即
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
，故B 正确；
对于C：
，
，故C 错误；
对于D：
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
，故D 错误.
故选：AB.
44．实数
满足
，求
的最小值．
【答案】6400
【分析】
，根据
的符号及柯西不等式进行求
解．
【详解】注意到
，
若
，由柯西不等式，
可得
等号成立时
；
若
，同理可得
，
等号成立时
（如
）；
若
，不妨设
，则
，
等号成立时
；若
一正二负或一负二正时，
不妨设
，且
，
此时
．
综上，
的最小值为6400．
45．设
，则
的最小值为_____．
【答案】
/0.4
【分析】根据柯西不等式的性质计算即可.
【详解】由柯西不等式得
，等号成立时
．
所以
的最小值为
．
故答案为：
.
46．设
，且
，则
的最大值为_____．
【答案】
/
【分析】令
，则
，将已知条件变形为
，根据柯西不等式可得
的最大值.或者由对称性设
，将条件变形为
，再根据柯西不等式得
，进而得到
的
最大值．
【详解】解法1：令
，则
.
所以已知条件可变形为
．
于是
，
当
，即
，即
，
即
时，取得等号．
解法2：由对称性，不妨设
，则题设条件变形为
．
又
，
当且仅当
时，取得等号．
所以
．
故答案为：
.
考点09 权方和不等式
47．（1）若
，且
，则
的最小值为________．
（2）已知正实数
满足
，则
的最小值为________．
【答案】
27
【分析】（1）（2）根据给定条件，利用权方和不等式求出最小值.
【详解】二元形式的权方和不等式：已知
，则有：
(当且仅当
时取等号)；
一般形式的权方和不等式：设
，实数
，则
(当且仅当
时取等号)．
（1）
，
，则
，
因此
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
.
（2）
是正实数，
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为27.
故答案为：
；27
48．设
、
为正实数,且x+y=1.则
的最小值为______.
【答案】
【详解】由柯西不等式得
，
当且仅当
，即
,
时,等号成立.
49．求
的最大值为______________
【答案】
【分析】根据权方和不等式直接求解即可.
【详解】
当且仅当
，即
或
时取等号
故答案为：
.
50．已知x>0，y>0，且
，则x+2y 的最小值为____________ .
【答案】
【详解】解法一：设
，
可解得
，
从而
≥❑√3+ 1
2，
当且仅当
时取等号.
故答案为：
．
解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：a
2
x + b
2
y ≥(a+b)
2
x + y ，
1=
1
2 x + y +
3
3 y +3 ≥(1+ ❑√3)
2
2 x + 4 y +3 ⇒2 x + 4 y +34+2❑√3，
所以x +2 y ≥❑√3+ 1
2，当且仅当
时取等号.
故答案为：
．
51．
的最小值为________.
【答案】
/
【分析】
，进而利用权方和不等式可求最小值.
【详解】
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
考点10 利用对勾函数求最值
52．已知数列
满足
，
，数列
满足
，
，则数列
的
最小值为__________．
【答案】
【分析】先对
的递推式取倒数构造等差数列求
，再用累加法求
的通项，最后转化为对勾函数求
正整数范围内的最小值.
【详解】因为
，
，显然
，
对递推式两边取倒数得：
，即
，
.
所以数列
是首项为
，公差为
的等差数列，
因此
，
.
又因为
，
时
，即
由累加法得：
，
，
，
验证
时，
符合上式，故
，
.
令
，
，
因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
.
所以数列
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此当
时数列
取得最小值
，当
时，数列
取得最小值
，且
，
因此，当
时数列
取得最小值
.
53．若关于
的不等式
解集为
，其中
、
，则
的取值范围为________．
【答案】
【分析】由题意得出
，所以
，于是得出
，令
，可得
，利用对勾函数的单调性求解即可.
【详解】因为关于
的不等式
解集为
，即不等式
解集为
，
所以
，所以
，
故
，令
，
则
，
令
，其中
，
由对勾函数的单调性可知，函数
在
上为增函数，故
，
因此
的取值范围是
.
54．已知实数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，根据直线与圆的位置关系求出
的范围，再利用对勾函数的单调性求最值.
【详解】因为
，所以原点
在圆外，
令
，则
，
则直线
与圆
存在交点，
则圆心
到直线
的距离为
，得
，
则
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
故
的最小值是
.
故选：D
55．（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
在
上单调递增
C．
的值域为
D．若
，且
，则
【答案】ABD
【分析】由奇偶性定义进行分析即可求解判断A；通过换元法转换函数并结合复合函数的单调性即可求解判
断B；结合选项B 由对勾函数单调性即可求解判断C；利用函数的偶函数性质结合基本不等式即可求解判断
D.
【详解】由题函数
，定义域为R 关于原点对称，
又
，
所以
是偶函数，故A 正确；
当
时，函数
为增函数，且
，
又函数
为
上的增函数，
所以函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，故B 正确；
因为
，当且仅当
即
时等号成立，
所以
，即
的值域为
，故C 错误；
因为函数
是偶函数，且函数
在
上单调递增，
所以若
，且
，
则
且
，
所以
，当且仅当
即
时等号成立.故D 正确.
故选：ABD
56．在数列
中，
，则
的最小值为__________.
【答案】
【分析】运用累加法，结合等差数列前
项和公式、对勾函数的单调性进行求解即可.
【详解】
，
，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
，
，
因此当
，或
，
有最小值
，
即
的最小值为
.
故答案为：
考点11 基本不等式的恒成立求参问题
57．若正实数
、
满足
，且
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用乘“1”法和基本不等式可得
最小值，即可得与
有关不等式，解出即可得.
【详解】由
，则
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
故
，即
，解得
，
即实数
的取值范围是
.
58．若正数x，y 满足
，且不等式
恒成立，则实数m 的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据 “乘1 法”可求
的最小值，进而求解
即可.
【详解】由
得
，且
，
故
，
当且仅当
即
时等号成立.
故问题转化为
，即
，
解得
，故实数m 的取值范围为
.
59．若正实数
，
满足
，不等式
恒成立，则
的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据基本不等式”1”的代换，可得
的最小值，根据题意，结合一元二次不等式的解法，即
可得答案.
【详解】由
，得
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
，则
，解得
，
则
的取值范围是
.
60．若
满足
且
恒成立，则
的取值范围是____________.
【答案】
【分析】先结合题意得到
，再利用基本不等式得到
，进而求出
的最小值为
，最后得到
，求解参数范围即可.
【详解】因为
，
且由基本不等式得
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
即
，得到
，解得
，
故
的最小值为
，要使
恒成立，
即
成立，解得
.
故答案为：
.
61．已知
.
(1)求
的最大值；
(2)当
时，求
关于
的函数表达式；
(3)若
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】(1)将
转化为同底
，利用基本不等式即可得出
的最大值；
(2)利用指数式和对数式的互化即可求得
关于
的函数表达式；
(3)转化题干条件，利用“1”的妙用结合基本不等式可求得
的最小值，
由恒成立可知
的最小值大于
，由此可求得
的取值范围.
【详解】（1）因为
，
，所以
，
所以
，即
，
当且仅当
即
时，等号成立，所以
的最大值为2；
（2）当
时，
，所以
；
（3）设
，
，则
，
，
因为
，
当且仅当
，
时，等号成立，所以
的最小值是
，
因为
恒成立，所以
，
解得
，即
的取值范围是
.
考点12 基本不等式的实际应用
62．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始
发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，
底面积为
，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工
程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400 元，左右两面新建墙体的报价为每平方米
150 元，屋顶和地面以及其他报价共计7200 元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（
）．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为
元（
），若无论左右两面
墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a 的取值范围．
【答案】(1)当左右两面墙的长度为4 米时，甲工程队的报价最低
(2)
【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条
件，即可求解；
（2）由题意，转化为不等式
恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可
得答案.
【详解】（1）设甲工程队的总造价为
元，依题意，左右两面墙的长度均为
（
），
则屋子前面新建墙体长为
，
所以
即
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4 米时，甲工程队的报价最低为
元；
（2）由题意可知，当
对任意的
恒成立，
即
，所以
，即
，
因为
，
当且仅当
，
，即
时，
的最小值为12，
即
，所以
的取值范围是
.
63．某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5 米，底面积为100 平方米，且背面靠墙的长方体形状的露
天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方
米320 元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160 元，地面以及其他报价共计9600 元.设劳动基地的左、
右两面墙的长度均为
（
）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为
（
）元，若无论左面
墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求
的取值范围.
【答案】(1)10 米
(2)
【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及
对应的左面墙的长度；
（2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数
，并根据基本不等式求得
的取值范围.
【详解】（1）设甲工程队的总报价为
元，
依题意，左、右两面墙的长度均为
（
）米，
则长方体前面新建墙体的长度为
米，
所以
，
即
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故当左面墙的长度为10 米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200 元.
（2）由题意可知，
，
即
对任意的
恒成立，
所以
，可得
，即
.
，
当且仅当
，即
时，
取最小值36.
所以
，即
的取值范围是
.
64．物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能
的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、
办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查
了解到下列信息:仓库每月土地占地费
(单位：万元)，仓库到车站的距离
(单位:千米，
)，其中
与
成反比，每月库存货物费
(单位：万元)与
成正比；若在距离车站8 千米处建仓库，则
和
分别
为2 万元和6.4 万元．
(1)求出
与
的解析式．
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少?
【答案】(1)
，
.
(2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是
万元.
【分析】（1）由题意设
，
，其中
，根据题目数据代入求出
即可
得到答案；
（2）利用基本不等式即可求出答案.
【详解】（1）由题意设
，
，其中
，
当
时，
，解得
，
，解得
，
所以
，
.
（2）由（1）知
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是
万元.
65．某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租
（单位：万元）与仓库到超市的距离
（
，
单位：千米）的函数关系式为
，每月货物运输费
（单位：万元）与
的函数关系式为
，
则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元．
【答案】
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
等号成立时
，
故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为
万元.
故答案为：；
66．学校将举办班级合唱比赛.高一某班为了筹集比赛所需的采购费用，决定销售同学们亲手制作的纪念品.
考虑到制作成本、场地费用、销售单价等因素，根据相关数据分析，预计累计总利润
（单位：百元）
与销售天数
满足
.
(1)为保证累计总利润不为负，求最多销售的天数；
(2)当销售多少天时，能使平均每天的利润最大？平均每天的利润最大是多少？（平均每天的利润
）
【答案】(1)
(2)
天，平均每天的利润最大
百元
【分析】（1）解不等式
，可得结论；
（2）利用基本不等式可求出
的最大值，利用等号成立的条件求出对应的
值，即可得出结论.
【详解】（1）为了保证累计总利润不为负，令
，即
，解得
，
故最多销售的天数为
天.
（2）平均每天的利润为
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
所以，当销售天数为
天时，能使平均每天的利润最大，且平均每天的利润最大
百元.
