文档文本内容
2.6 一次函数与二次函数
7 大考点汇总
考点01 一次函数的图像和性质
考点02 二次函数的值域或最值
考点03 待定系数法求解析式
考点04 判断二次函数的单调性和求解单调区间
考点05 与二次函数相关的复合函数问题
考点06 已知二次函数单调区间求参数值或范围
考点07 根据二次函数的最值或值域求参数
题型专练
考点01 一次函数的图像和性质
1．下列函数中,在其定义域上是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】直接根据基本初等函数的性质判断可得.
【详解】一次函数
为
上的减函数，指数函数
为
上的减函数，
二次函数
在区间
上是减函数，在区间
上单调递增；
幂函数
为定义域
上的增函数，
故选：D.
2．在同一坐标系中，直线：
和
：
的位置可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直线和
都是一次函数，通过讨论
随着
的增大而增大或
随着
的增大而减小，直线与
轴的
交点在
轴的上方还是下方讨论排除选项得解.
【详解】①当
时，即
时，和
都是一次函数，都是
随着
的增大而增大，选项中不存在；
②当
时，即
时，和
都是一次函数，都是
随着
的增大而减小，与
轴的交点的纵坐标
为
，
，
与
轴的交点在
轴的上方，选项中不存在；
③当
时，即
时，和
都是一次函数，是
随着
的增大而增大，
是
随着
的增大而
减小，与
轴的交点的纵坐标为
，
，
与
轴的交点在
轴的上方，
过原点，选项B 符合题
意；
综上可知，选项B 正确.
故选：B.
3．已知函数
是
上的增函数，则实数
的取值范围是____________.
【答案】
【分析】根据分段函数定义，利用一次函数和指数函数单调性，限定端点处的取值列出不等式组即可解出
的取值范围.
【详解】因为函数
是
上的增函数，
所以得不等式组：
，解得
.
故答案为：
.
4．已知函数
，
，若
，
，使得
，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出函数
在区间
上的值域，再利用集合的包含关系列式求解.
【详解】当
时，函数
，则
，
因此函数
在
上的值域为
，函数
在
上递增，
因此函数
在
上的值域为
，即
，
由
，
，使得
，
得函数
在
上的值域是函数
在
上的值域的子集，即
，
则
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
.
故选：C
5．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值.
【详解】函数
的对称轴为
，
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，
，
当
，
，
故原函数的值域为
.
6．函数
，
的最大值是______．
【答案】1
【分析】由二次函数的单调性即可求解.
【详解】由
，可知对称轴为
，开口向下，
故
在
单调递增，在
单调递减，
所以当
时，取得最大值，最大值为1.
考点02 二次函数的值域或最值
7．在区间
上，函数
与
在同一个点取得相同的最小值，那么
在区间
上的最大值为________，最小值为________．
【答案】 4 3
【分析】根据基本不等式求
的最小值，再结合二次函数性质求结论.
【详解】
，当且仅当
时取等号，
因此
，即
也在
处取得最小值，
所以
，解得
，即
，
所以
在区间
上的最大值为
，最小值为
.
8．函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
由于
，故
.
9．函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．0
【答案】D
【分析】令
，通过求导确定的范围，再结合二次函数性质即可求解.
【详解】
.
设
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则
.
令
，
，则
，
因为
在
上单调递增，
所以当
时，
取得最小值，且最小值为0.
故
的最小值为0.
10．已知
，
，函数
在
上的最大值为
，若
对任意
恒成立，则
的取值
范围为__________.
【答案】
【分析】分析
对函数的影响，再对
分类讨论，根据二次函数的单调性找到最值和
的关系，进行求
解.
【详解】设
，
，则
，
对于固定的
，
在
的值域是
，值域的区间长度为
，
此时函数
在
的最大值为
的含义是：数轴上，点
到区间
上所有点的最大距
离为
.
若
，则
，若
或
，则
，所以
.
对任意
恒成立等价于
，即：
，
，
①当
时，即：
时，
在
上单调递增，所以
，令
，解得
，符合题意；
②当
，即：
时，
，而
，
，
若
，则：
，
，因为
，所以
，则
，不满足条件；
若
，则
，
，令
，解得：
或
，不满足条件；
③当
，即：
时，
在
上单调递减，所以
，令
，解得：
，符合条件.
综上所述，
的取值范围为
.
11．若函数
，且
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知
解得
（2）由题
可得函数
12．已知二次函数
过点
，点
，点
(1)求
的解析式；
(2)若
，对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）用待定系数法，设二次函数一般式 ，代入已知三点坐标，得到三元一次方程组，解出系数即
得解析式；
（2）令
，将
的范围转化为的范围，原不等式化为
对
恒成立，故
需小于
在
该区间上的最小值，由单调性得该最小值，随即得到实数
的取值范围.
【详解】（1）设二次函数解析式
，因为二次函数过点
，点
，点
，
因而，
，解得
，所以
.
（2）要使得
，对任意
恒成立，即
，任意
不妨令
，因为
，因此
，
即，
，
，由（1）得
，
对称轴方程为
，因此
在
单调递增，则
，
所以
，即
.
考点03 待定系数法求解析式
13．已知二次函数
，满足当
时，
取得最大值5，且
．
(1)求二次函数
的表达式；
(2)若
，求函数
的最大值
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意设出二次函数顶点式，代入
即可求解；
（2）分类讨论
与对称轴
的关系，结合二次函数单调性即可求解.
【详解】（1）由二次函数
，满足当
时，
取得最大值5，
可设二次函数
，
又因为
，所以
，
即二次函数
；
（2）由（1）知二次函数
，
当
，有
，此时
的最大值
，
当
时，则
，此时
在
上单调递增，
即
的最大值
，
当
时，则
，此时
在
上单调递减，
即
的最大值
，
综上可得：
．
14．已知函数
图象的对称轴为
，且
．
(1)求
的解析式；
(2)求不等式
的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由图象的对称轴为
，且
列方程即可求得
，
，即可得到
的解析式；
（2）列出一元二次不等式，解出即可.
【详解】（1）因为
图象的对称轴为
，
所以
，解得
，
由
，解得
，所以
；
（2）因为
，所以
，即
，
所以
，解得
，所以原不等式的解集是
．
15．设
是二次函数，且
，则
_____.
【答案】
【分析】利用题目条件构建函数
结合
，求出
值后代入
即可求出
.
【详解】由
，
可得：
代入
，
所以
.
故答案为：
16．已知函数
．
(1)若函数
满足
且
的最小值为
，求
的解析式；
(2)当
时，
对一切实数
都成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）由
，得
，求解
.再由
的最小值为
建立关于
的方程并求
解即可；
（2）根据题意得
对一切实数
都成立，再利用判别式求解
.
【详解】（1）因为
，
所以
，解得
.
又因为
的最小值为
所以
，代入
得
，解得
，
故
.
（2）当
时，
对一切实数
都成立
即
对一切实数
都成立，
则
，解得
.
所以实数
的取值范围为
.
17．已知函数
，
(1)求
时，
的取值；
(2)求
时，
的取值范围；
(3)求
时，
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
(3)
【分析】（1）解一元二次方程，求出
的取值；
（2）结合二次函数图象，求出
的取值范围；
（3）结合二次函数图象，求出
的取值范围．
【详解】（1）已知
，
当
时，
，即
，
解得
，
时，
的取值为2，3．
（2）函数
开口向上，
当
时，
的取值范围为
或
．
（3）函数
开口向上，
当
时，
的取值范围为
．
18．已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
.
(1)求
的解析式并直接写出
的单调区间；
(2)当
时，求
的最小值
的解析式.
【答案】(1)
，单调递增区间为
，单调递减区间为
.
(2)
【分析】（1）由已知结合奇函数性质先求
，然后结合奇函数定义即可求解函数解析式；
（2）先判断函数的单调性，结合单调性即可求解函数最值．
【详解】（1）由
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，
所以
，解得
，即
时，
；
当
时，
，
，
故
，
单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）作出函数
的大致图象如图所示：
① 当
时，函数
在
上单调递增，则
；
② 当
，即
，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时
；
③ 当
时，
，函数
在
上单调递减，
则
；
④ 当
，即
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
则
，
则
，所以
；
⑤ 当
时，即当
时，函数
在
上单调递增，在
单调递减，
又
，
所以
，此时
，
⑥ 当
时，即
时，
在
单调递增，
所以
，
综上所述，
.
考点04 判断二次函数的单调性和求解单调区间
19．已知
，则函数
在下列区间内单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质即可确定答案.
【详解】由于
的图象的对称轴为
，且开口向上，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故只有C 选项符合题意.
20．函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围是______．
【答案】
【分析】通过保证左段二次函数对称轴在1 的右侧、右段对数函数底数大于1，以及分段点处左极限不大于
右函数值，即可解得a 的取值范围.
【详解】因为
在
上单调递增，
所以对于
时，
单调递增，
即
，解得
，
对于
时，
单调递增，
即
，
且
，即
，解得
，
综上，a 的取值范围是
21．已知函数
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
(3)若
，求
在
上的值域．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当
时，得到函数
，结合一元二次不等式的解法，即可求解不等式
的解集；
（2）结合二次函数的图象与性质，即可求解；
（3）根据二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】（1）当
时，函数
，
不等式
，即
，解得
或
，
即不等式
的解集为
.
（2）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
要使得
在
上单调递增，则满足
，
所以
的取值范围为
.
（3）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
当
时，函数
在
递减，在
上递增，
所以
最小值为
，又因为区间端点
比
距离对称轴更远，故函数在
处取最
大值，
在
上的值域为
.
22．已知函数
，在下列哪个区间一定是递增的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用二次函数的性质分析
的区间单调性及零点所在的区间，进而判断
各区间的单调性，即可得.
【详解】对于
，其中
，函数图象开口向上，
所以
在R 上存在两个不同的零点
，且
，对称轴为
，
若
，则
，故
、
上
，
上
，
而
，
，则
，
所以
在
、
上单调递减，在
、
上单调递增，
综上，一定递增的区间有
.
故选：B
23．已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得.
【详解】令
，
由题意知，
在
上单调递减，且
在
上恒成立.
所以
，解得
.
a 的取值范围是
.
24．(24-25 高一下·四川成都盐道街中学·期中)函数
的最大值是_______.
【答案】
【分析】首先换元令
，将函数表示为关于的二次函数，然后求最值.
【详解】解：令
，则
，
即
且
，
又因为
，所以
，
，
，
所以
，
因为
在
上单调递增，
所以当
时，
.
考点05 与二次函数相关的复合函数问题
25．函数
的最大值为（ ）
A．7
B．9
C．10
D．13
【答案】B
【详解】令
，可得
，
可得函数
的最大值为9.
26．已知函数
．
(1)若
，求
的值域；
(2)若
时，
的最小值为
，求函数
的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解；
（2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数
的解析
式.
【详解】（1）若
，则
.
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以若
，则
的值域为
.
（2）
.
令
，
.
当
时，
在
上单调递增，
因为
是增函数，所以
在
上单调递增.
所以
.
当
时，
在
上单调递减，
因为
是增函数，所以
在
上单调递减.
所以
.
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增.
因为
是增函数，
所以当
时，
取得最小值，即
.
综上，
.
27．已知函数
（
）的定义域为
，且图象经过点
．
(1)求
的值；
(2)求
的值域；
(3)求
的最小值
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把点
代入解析式求解即可；
（2）令
，利用对勾函数的单调性可求得
在
上的值域；
（3）令
，结合单调性可得
，利用二次函数的最值，分类讨论可求得
的最小
值
.
【详解】（1）因为
过点
，把点
代入
得：
，
解得
或
，又因为
，所以
．
（2）
，令
，
因为
，所以
，
于是得到
，
．
因为
在
单调递减，在
单调递增，
，
，
．
所以
的最小值为2，
的最大值为
．
于是
在
上的值域为
．
（3）
（
）
令
，
由（2）可知
，
于是得到
，对称轴为
；
当
时，
在
单调递增，
在
处取最小值
，
所以
，
当
时，
在
单调递减，在
单调递增，
在
处取最小值
，所以
，
当
时，
在
单调递减，
在
处取最小值
．
所以
．
综上，
．
考点06 已知二次函数单调区间求参数值或范围
28．已知函数
在区间
上是增函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二次函数即可求解.
【详解】由题意得：
，
又
在
上是增函数，所以
，即
.
29．已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析二次函数的开口方向和对称轴，确定函数
的单调区间，结合条件列不等式即可求出
的
取值范围.
【详解】函数
的对称轴是
，开口方向向上，
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
因为函数
在区间
上单调递减，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
，
故选：D
30．设
，若函数
在
上单调递减，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，分
、
讨论，结合二次函数的图象、单调性可得答案.
【详解】令
，
当
,即
时，
是开口向上对称轴为
的抛物线，且
，
所以
，
若函数
在
上单调递减，
则只需
，又
，
可得
；
当
,即
或
时，
令
，解得
，
，
且
，
可得
的图象大致如下，
若函数
在
上单调递减，
只需
，或
，
由
得
，再由
，
解得
；
由
得
，解得
，
即方程组无解.
综上所述，
.
故选：D.
31．已知
在[3,15]上具有单调性，则实数
的取值范围为___________．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质结合条件即得.
【详解】由题意可得，
或
，得
或
，
故实数
的取值范围为
故答案为：
32．函数
在区间
上单调，则实数a 的取值范围是________.
【答案】
或
【分析】根据二次函数的性质及区间单调性写出参数范围即可.
【详解】由
，函数图象开口向上且对称轴为
，
又函数
在区间
上单调，则
或
.
故答案为：
或
33．（多选）已知函数
在区间
上单调递增，则
的可能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】函数
的单调递增区间为
，
依题意，
，则
，解得
，
因此
的可能取值是
，ABD 是，C 不是.
34．已知二次函数
，当
时，y 的最小值为0，求a 的值？
【答案】
或
或
或
【分析】根据给定条件，按二次函数图象的对称轴与区间的关系分类求解.
【详解】二次函数
图象的对称轴为
，
当
时，则当
时，
，因此
，而
，则
；
当
时，则当
时，
，因此
，而
，则
；
当
时，则当
时，
，因此
，解得
或
，
所以a 的值为
或
或
或
.
考点07 根据二次函数的最值或值域求参数
35．已知二次函数
，设对任意的
，都有
恒成立，则实数
的取值范
围为______.
【答案】
【详解】 ∵对任意的
，
恒成立，∴当
时，
.
∵二次函数
，
∴函数
的图象开口向上，对称轴为直线
，
分以下三种情况讨论：
（i）当
，即
时，函数
在区间
上单调递增，
∴
，
∴
，即
，解得
或
，
∵
，∴
.
（ii）当
，即
时，
函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增，
∴
，
∴
，即
，
∵二次项系数大于0 且
，∴不等式无解.
（iii）当
，即
时，函数
在区间
上单调递减，
∴
，
∴
，即
，解得：
或
，
∵
，∴
.
综上可知，实数
的取值范围为
.
36．已知函数
，当
时有最大值为2，则实数
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【答案】D
【分析】根据同角的平方关系，利用换元法（令
），结合二次函数的图象与性质计算即可求解.
【详解】
，
令
，由
得
，
设
，
其图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为
，
因为
在
上取得最大值2，
所以
，解得
.
37．已知函数
在区间
上是单调函数．
(1)求实数
的所有取值组成的集合
；
(2)试写出
在区间
上的最大值
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的性质列出不等式，进而求解即可；
（2）结合（1），根据二次函数的对称轴讨论
在
上的单调性，分别求出其最大值，再写成分段
函数的形式即可．
【详解】（1）由函数
为开口向上的二次函数，且其对称轴为
，
又
在区间
上是单调函数，所以
或
，解得
或
，
所以实数
的所有取值组成的集合
．
（2）结合（1），
当
时，则函数
在
上单调递增，
所以
；
当
时，则函数
在
上单调递减，
所以
．
综上所述，
．
38．已知函数
，
．
(1)当
函数
不单调，求
的取值范围；
(2)当
函数
的最小值是关于
的函数
，求
表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合二次函数的性质列不等式求解即可.
（2）根据二次函数的对称轴及定区间，对
分情况讨论，分别求出对应情况下最小值即可.
【详解】（1）由函数
，
可得该函数图象开口向上，对称轴为
，
要使函数
在
不单调，可得
，解得
，
所以实数a 的取值范围
.
（2）由（1）知，该函数图象开口向上，对称轴为
，
当
，即
时，
在
单调递增，所以
；
当
，即
时，
在
单调递减，在
单调递增，
所以
；
当
，即
时，
在
单调递减，所以
，
综上，
表达式为：
.
39．已知函数
的最小值为
，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】B
【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位
于定义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正
的值.
【详解】设
，则
，函数
等价于函数
．
令
，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线
．
当
，即
时，
在
上单调递增，此时无最值，不满足题意；
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
或
（舍去）．
所以实数
的值是
.
40．函数
的最小值为______.
【答案】0
【分析】利用函数导数与函数单调性求最值，结合换元法与二次函数性质求解即可.
【详解】
.
设
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则
，
令
，
，则
，
因为函数
开口向上，对称轴为
，
所以
在
上单调递增，
所以当
时，
取得最小值，且最小值为
，
即函数
的最小值为0.
