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考点巩固卷 08 三角函数的图象及性质（六大考
点）
考点01：三角函数的定义域与值域
1、三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图
象来求解．
注：解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．
（1）分式：分母不能为零；
（2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如 ，只要求 ）对奇次根式
中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如 ，只要求 ）
（3）零次幂： 中底数 ；
（4）对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于 ；
（5）三角函数：正弦函数 的定义域为 ，余弦函数 的定义域为 ，正
切函数 的定义域为 若 ，则
2、求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型
(1)形如 或 的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域
b a
sinϕ= cosϕ=
(2)形如y＝asinωx＋bcosωx＋k的三角函数,可设
√a2 +b2
,
√a2 +b2
逆用
y=kx+b
和角公式得到y＝Asin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数 型,再求值域(最值)；
对于由 两类函数作和、差、乘运算而得到的函数；
例如① （特别的 可先用和差角
公式展开化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式;
② 即 逆用倍
角公式化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式;进一步都可以转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形
式，然后结合一次函数求最值。
y=kx+b
总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数 型,再由三
k,b
角函数的有界性得解.(其中x为正弦或余弦函数, 为常数)
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数
y=at2 +bt+c
求值域(最值)， 小心定义域对值域的限制 ；
对于由 与 ，由 与 作和、差运算
试卷第2页，共3页而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。
=
(4)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设 ＝t，化为
关于 t 的二次函数
y=at2 +bt+c
在区间上的值域，要注意t的取值范围；对于由
与 （ ） 作 和 、 差 运 算 而 得 到 的 函 数 ， 例 如
，都可以转化为二次型函数求最值。
(5)形如分式型： 等
三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。
asinx+b
y=
①基本类型一:
csinx+d
、 型
sinx
方法一：反解 ，利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法．
②基本类型二： 型．
转化为 ，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值；
1．若 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出向量坐标，再求出模长，最后求范围即可.
【详解】由已知可得 ,
则,
,
所以 ，
所以 .
故选:A.
2．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.
【详解】对于A：当 时， ，故A错误；
对于B：令 ，则 ， ，当且仅当 时取等号，故B错
误；
对于C： ，当且仅当 时取等号，故C正确；
对于D：由题意得 ，故 ，
当且仅当 时取等号，故D正确.
故选：CD.
试卷第4页，共3页3．对于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称；
B．函数 的对称轴是 ， ；
C．若函数 是偶函数，则 的最小值为 ；
D．函数 在 的值域为 ，
【答案】ABD
【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简得 ，计算 可判断A；求出函数
的对称轴方程可判断B；根据 为偶函数求出 可判断C；根据
的范围求出 最大值可判断D.
【详解】对于A，因为
，
因为 ，所以函数 的图象关于点 对称，
故A正确；
对于B，令 ，解得 ，
所以函数 的对称轴是 ， ，故B正确；对于C，因为 为偶函数，
所以 ，解得 ，
所以 的最小值为 ，故C正确；
对于D，当 ，则 ，当 ，
即 时， ， ，故D错误.
故选：ABD
4．函数 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． ，使得 为单调函数 B． ，使得 有三个零点
C． ，使得 有最大值 D． ，使得 的值域为
【答案】AC
【分析】根据题意得 ，区间长度为 .对于 ，采用赋值法验证即
可；对于 ，根据余弦函数图象知，若 在区间 有 个零点，则区间长度最
小值为 ，与题干中 的区间长度矛盾，即可判断；对于 ，当 时，
可得 有最大值 ，即可判断；对于 ，根据 ，得
试卷第6页，共3页，解三角函数不等式即可判断.
【详解】 ， ， .
对于 ，不防令 ，则 ，此时 单调递减，故 正确；
对于 ，根据余弦函数图象知，若 在区间 有 个零点，则区间长度最小值
为 ，
而 ，故不存在 使上述区间长度为 ，故 错误；
对于 ，当 时， 取得最大值 ， ，使得 有最大值 ，
故 正确；
对于 ，由 ，得 ，
，
又 ，故不存在 ，使得 的值域为 ，故 错误.
故选： .
5．已知 ， ，则 的值域为 .
【答案】
【分析】令 ，再结合平方关系将 用 表示，根据三角函数的性质
求出 的范围，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】令 ，
则 ，故 ，
因为 ，所以 ，所以 ，令 ，则 在 单调递增，
则当 ，
所以 的值域为 .
故答案为： .
6．已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)若 ，求函数 的值域．
(3)若函数 在 上有且仅有两个零点，则求 的取值范围
【答案】(1)最小正周期
(2)
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计
算可得；
（2）由 的范围，求出 的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
（3）首先求出 的解析式，由 的范围，求出 的范围，再根据正弦函数的性质计
算可得；
【详解】（1）
试卷第8页，共3页，
所以函数 最小正周期 .
（2）当 时， ，
所以 ， ，则 ，
因比，函数 在区间 上的值域为 ．
（3）因为 ，
，则 ，
若函数 在 上有且仅有两个零点，
则 ，解得 ，
即 .
7．已知函数 .
(1)求 ；
(2)若方程 在区间 上有且仅有3个解，求实数 的取值范围；(3)从以下两个条件中选择一个，求 的解析式.
①若函数 在 上的值域为 ；
②函数 在 上的最大值与最小值差为3.
【答案】(1)
(2)
(3)选择①， 或
选择②，
【分析】（1）根据题意，可得 ，从而得解；
（2）根据题意， ，可得 ，再由则 ，且
，可确定实数 的取值范围；
（3）选择①，根据题意可得 ，又 ，
，分 和 两种情况求解；
选择②，分析可知 在 上的最大值与最小值差为 ，由三角函数图
象变换可知 在 上先增后减，最大值为1，故 ，
可解.
试卷第10页，共3页【详解】（1）根据题意， ，
即 ，则 ，又 ，所以 ；
（2）根据题意， 在区间 上有且仅有3个解，
即 ，在区间 上有且仅有3个解，
所以 ，即 ，又 ，所以 ，
由于 ，
则 ，且 ，
根据正弦函数的图象性质，
可知 ，
所以 ；
（3）因为 ，
选择①，当 时， ，
根据题意， ，所以 ，
所以 ， ，
因为函数 在 上的值域为 ，即 ，根据正弦函数的图象性质，可知 ，
当 时， ，此时 ，符合题意，
所以 ，
当 时， ，此时 ，符合题意，
所以 ，
综上， 或 ；
选择②，由函数 在 上的最大值与最小值差为3，
即 在 上的最大值与最小值差为 ，
又因为 ， 可由 向左平移 后再伸缩得到，
所以 在 上先增后减，最大值为1，
故 ，所以 ，
故 .
8．已知函数 .
(1)求 的单调递增区间；
(2)求 在 上的值域.
试卷第12页，共3页【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦函数的性质计算可得.
（2）由 的取值范围求出 ，再根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1） ，令 ，
解得 ，
所以函数的单调递增区间为 .
（2） ，因为 ，所以 ，
可得 ，则 ，
即函数 在 上的值域为 ．
9．已知函数 ，
(1)求 的单调递减区间；
(2)若 ，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值
范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得.（2）首先得到 ， 的解析式，依题意可得关于 的不等式
在 上恒成立，参变分离结合函数的单调性求出
，即可得解.
【详解】（1）
，
令 ，解得 ，
所以函数的单调递减区间为 .
（2）因为 ，
所以 ，
，
因为当 ，关于 的不等式 恒成立，
试卷第14页，共3页即关于 的不等式 在 上恒成立，
即关于 的不等式 在 上恒成立，
即关于 的不等式 在 上恒成立，
因为 ，所以 ，所以 在 上恒成立，
因为 在 上单调递减，所以 ，所以 ，
即实数 的取值范围为 .
10．求函数 的定义域.
【答案】
【分析】根据函数特征得到不等式，求出答案.
【详解】欲求函数定义域，则由 ，解得 ，
解得 ，取 ，
可得到定义域为
考点02：三角函数性质的考察
1、求三角函数的周期，一般有三种方法
（1）定义法：直接利用周期函数的定义求周期．
（2）公式法，即将函数化为 或 的形式，再利用 求得，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为
（3）图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周
期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心
间的距离也为,相邻对称轴和对称中心间的距离也为 ，函数的对称轴一定经过图象的最高
点或最低点．
2、与三角函数的奇偶性有关的问题
（1）对于函数 （A>0,ω>0）： 时，函数 为奇
函数； 时，函数 为偶函数．
（2）对于函数 （A>0,ω>0）： 时，函数 为偶
函数； 时，函数 为奇函数．
3、与三角函数的单调性有关的问题
（1）求函数 或 的单调
区间，一般将 视作整体，代入 或 相关的单调区间所对应的不等
式，解之即得．
（ 2 ） 当 ω<0 时 ， 先 利 用 诱 导 公 式 将 变 形 为
， 将 变 形 为
试卷第16页，共3页，再求函数的单调区间．
（3）当A<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆．
4、三角函数对称轴和对称中心的求解方法
(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于 x轴的直线，
对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点．
(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；函数y＝Acos(ωx
＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z.
11．若函数 的对称轴方程为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角恒等变换可化简函数解析式，进而可得 ，代入即可得解.
【详解】由已知 ，且 ，
，
由对称轴为 ，则相邻两条对称轴间距离为 ，即函数的最小正周期为 ，
令 ， ，
令 ， ，
则 ，即 ， ， ，
则 ， ， ，又 ，
所以 ， 为偶数，
则 ，
则 ，
故选：D.
12．已知函数 的部分图象如图.若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图可知 ，求出 ，再由 可求出 ，从而可求出
.
【详解】由图知 ，
所以 ， ，
所以 ， ， ，
试卷第18页，共3页由 ，得 ， ，
所以 .
故选：C.
13．已知函数 的最小正周期为 ．则 在 的最小值
是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出 ，得 ，再整体求出
时， 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.
【详解】 ，由 得 ，
即 ，当 时， ，
画出 图象，如下图，
由图可知， 在 上递减，
所以，当 时，
故选：A14．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为
B．不等式 的解集为
C． 在区间 上单调递减
D．为了得到函数 的图象，只要把函数 曲线上所有的点向左平移 个单
位长度，再向上平移 个单位长度
【答案】AB
【分析】先应用两角和差及辅助角公式化简解析式，再结合周期判断A，再解三角不等式
判断B，整体代换判断单调性判断C,根据三角函数图像平移判断D即可
【详解】
,
对于A．最小正周期为 ，正确；
对于B． ，即 ， ，所以
解集为 ，正确；
对于C．因为 ，即 ， 在该区间
不单调递减，错误；
试卷第20页，共3页对于D．为了得到函数 的图象，只要把函数 上所有的点向左平移 个单位
长度，再向上平移 个单位长度，错误；
故选：AB.
15．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的最小正周期为
C．函数 的图象的对称轴方程为
D．函数 的图象可由 的图象向右平移 单位长度得到
【答案】BCD
【分析】对于A：根据三角函数图象变换分析求解；对于B：根据正弦型函数周期公式运
算求解；对于C：以 为整体，结合正弦函数的对称性运算求解；对于D：根据三角函
数图象变换分析求解.
【详解】对于选项A：由题意可得： ，故 A错误；
对于选项B：函数 的最小正周期为 ，故 B正确；
对于选项C：令 ，解得 ，故 C正确；
对于选项D： 的图象向右平移 单位长度，
可得 ，故D正确．
故选：BCD.16．已知函数 ，当且仅当 ， 取得最小值，
则下列说法正确的有（ ）
A． 的最大值为37
B． 的最小值为
C． 在 处导数等于0
D．当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4
【答案】BC
【分析】由已知可得 可判断A； 可判断B；由已
知可得 在 处导数等于0，判断C；设 ，所以点 的轨迹
为直线 ，令 ，则 的轨迹方程为 ，进而求最小值判断D.
【详解】对于A：
，
当 时，最大值为 ，故A错误；
对于B： ，
当且仅当 时取等号，故B正确；
对于C：因为函数 ，当且仅当 ， 取得最小
值，所以 在 处导数等于0，故C正确；
试卷第22页，共3页对于D：设 ，所以点 的轨迹为直线 ，
令 ，则 的轨迹方程为 ，
又 表示点 与 的距离的平方，
又 ，
，故D错误.
故选：BC.
17．大自然中充满了各种声音，有的美妙无比，有的尖利嘈杂，那是因为声音中包含着正
弦函数，一个纯音的数学模型是函数 为非零常数， 为变量），而我们平
时所听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．若一个复合音的
数学模型是函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图像关于点 对称
C． 在区间 上单调递增 D． 在区间 上有2024个零点
【答案】BC
【分析】根据周期的定义即可计算 求解A，根据 即可求解
B，根据整体法即可求解C，根据函数的周期性即可求解D.
【详解】函数 ，
对于A: ，故A错误；
对于B：
，故 的图像关于点 对称，B正确，
对于C，当 ，则 ，
故 均在 单调递增，
故函数 在 单调递增，C正确，
对于D，令 ，故 或 ，
在故 在区间 , 上有 , 共2个零点，
而 均为周期为 的周期函数，故 在区间 上有2024个零点，
又 ，故 在 有2025个零点，D错误，
故选：BC
18．已知函数 ，则（ ）
A．当 时， 的图象关于 对称
B．当 时， 在 上的最大值为
C．当 为 的一个零点时， 的最小值为1
D．当 在 上单调递减时， 的最大值为1
【答案】ACD
【分析】根据三角函数性质分别判断余弦函数的对称轴，余弦函数的值域与最值，余弦函
数的单调性，余弦函数的零点对选项逐一判定即可．
【详解】 时， ，因为 ，
试卷第24页，共3页所以 关于 对称，故A正确；
时，由 可得 ，
根据余弦函数的单调性可知 的最大值为 ，故B错误；
若 ，则 ， ，所以 ， ，且 ，
所以 的最小值为1，故C正确；
因为 在 上单调递减，且 ，
根据余弦函数的单调性可知 的单调递减区间为：
， ， ， ，
所以 ， ，所以 ，故D正确．
故选：ACD．
19．设 ，则函数 的极值点为 .
【答案】 .
【分析】根据正弦型函数的性质和极值点的定义得到方程，解出即可.
【详解】根据三角函数极值点即为其最值点，则转化为求解其对称轴通式，
令
其对称轴为
则其极值点为 .故答案为： .
20．设 ，向量 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用数量积的坐标表示，结合辅助角公式及正弦函数性质求解即得.
【详解】向量 ，则 ，
其中锐角 由 确定，而 ，则 ，
因此 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
考点03：解三角不等式
求得函数 的解析式，进而利用一元二次不等式及正弦函数不等式求解即可.(多周
期）
21．已知函数 ，把 的图象向左平移 个单位长度可得到函数
的图象，则（ ）
A． 是偶函数
B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上的最大值为0
试卷第26页，共3页D．不等式 的解集为
【答案】C
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得 ，结合正弦函数的奇偶性、对
称性、单调性依次判断选项即可.
【详解】由题知 .
A：由于 的定义域为 ，且 ，
故 为奇函数，故A错误；
B：又 ，故 的图象不关于直线 对称，故B错误；
C：因为 时， ，
所以 在 上的最大值为0，最小值为-2，故C正确；
D： ，则 ，则 ，
故 ，故D错误.
故选：C
22．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为2
B．函数 的图象关于直线 对称
C．不等式 的解集为D．若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
【答案】BCD
【分析】对于A，由正弦函数的性质直接求解，对于B，由 ，可求出
对称轴方程判断，对于C，由 求解即可，对于D，先由
求出 的递增区间，再由 为函数增区间的子集可求出
的取值范围.
【详解】对于A， 的最大值为 ，故A错误；
对于B，令 ，得 ，
所以函数 的图象关于直线 对称，故B正确；
对于C，不等式 可化为 ，则 ，
解得 ，
因此原不等式的解集为 ，故C正确；
对于D，由 ， ，解得 .
因为 在区间 上单调递增，所以 ，
试卷第28页，共3页所以 ，解得 ，故D正确.
故选：BCD
23．已知函数 ，将函数 的图像横坐标缩短为原来的
倍，再向左平移 单位，得到函数 .则下列结论中正确的是（ ）
A． 为偶函数
B．不等式 的解集为
C． 在 上单调递增
D．函数 在 的零点为 且 ，则
【答案】BD
【分析】由三角恒等变换化简 解析式，由解析式判断 的奇偶性得A选项结
果；由函数图像变换得函数 解析式，由解析式解决不等式单调区间和零点问题判断选
项BCD.
【详解】 ，
，为奇函数，A选项错误；函数 的图像横坐标缩短为原来的 倍，得函数 的图像，
再向左平移 单位，得到函数 的图像，
若 ，即 ，
则有 ，解得 ，B选项正确；
时， ， 不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误；
时，有 ，函数 在 的零点为 ，
则有 ， ， ，
所以 ，D选项正确.
故选：BD
24．已知函数 .
(1)求函数 的对称中心及不等式 的解集；
(2)已知 ，求 的值.
【答案】(1)对称中心为 ；
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式结合正弦函数的对称中心，结合正弦函数的单调性求解不等
式即可；
试卷第30页，共3页（2）由 可得 ，再根据同角三角函数的关系，结合 求
解即可.
【详解】（1）
由 得 ，
故函数 的对称中心为 ；
又由 知 ，即 ，
所以 ，即 -
故原不等式的解集为
（2）由 得 ，即 .
又
即
25．已知函数 的部分图象如图所示．
(1)求 的解析式；(2)求 在 的值域；
(3)求不等式 的解集．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】（1）根据周期求出 ，由 求出 ，再由 求出 ，即可得解；
（2）根据 的范围求出 的范围，再结合余弦函数的性质计算可得；
（3）依题意可得 ，结合余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）由题意可得 ，
可得 ，解得 ，
而 ，可得 ， ，又 ，
可得 ，
又 ，可得 ，解得 ，
所以 ；
试卷第32页，共3页（2）当 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，
即函数 在 的值域为 ；
（3）由 ，可得 ，
可得 ， ，
可得 ， ，
所以不等式的解集为 ， ．
26．已知 的图象关于点 对称，且
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， .
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求满足不等式 的解集.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据对称轴和对称中心求出周期，再由关于点 对称，求出 ，最后
由 解出函数 ；
（2）根据题意，得 ，结合函数 的性质可解.
【详解】（1）根据题意，且 在区间 上单调递减，
在区间 上单调递增，则 为函数 的对称轴，
又函数 图象关于点 对称，且 ，
所以 ，则 ， ，
且 ，又 ，所以 ，
再由 ，即 ，所以 ，
所以 ；
（2）由 ，得 ，
而 ，则 ， ，
则 ，则 或 ，
解得 或 ，
所以满足不等式 的解集为 .
试卷第34页，共3页27．已知函数 .
(1)已知 ，求 的值域及单调区间；
(2)若将函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将其图象向
上平移 个单位得到函数 的图象，求不等式 的解集.
【答案】(1) 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，值域为
(2)
【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简函数，然后由正弦函数的值域及单调区间求解即
可；
（2）利用函数图象变换的规则，求得函数 的解析式，进而利用一元二次不等式及
正弦函数不等式求解即可.
【详解】（1）
，
由 ，则 ，所以 ，所以 ，即 的值域为 ，
令 ，解得 ，即 的单调递增区间为 ，
令 ，解得 ，即 的单调递减区间为 ，
所以 在 上的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
值域为 ；
（2）把 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，
得到 ，再将其图象向上平移 个单位得到 ，
则 ，
故不等式 即 ，
化为 ，化为 ，
即 ，
解得 或 （舍去），所以 ，
所以 ，
所以等式 的解集为 .
试卷第36页，共3页28．已知函数 ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)当 时，求 的最值及取到最值时 的值；
(3)当 时，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范
围．
【答案】(1) ；
(2)当 时 取最小值 ，当 时 取最大值 ；
(3) .
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数 ，再利用正弦函数的单调性求出
增区间即得.
（2）求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出最值即得.
（3）求出 的范围，利用诱导公式、二倍角公式变形给定的不等式，借助换元法分离
参数，利用单调性求出最大值即得.
【详解】（1）依题意， ，
由 ，得 ，
所以 的单调递增区间是 .
（2）当 时， ，则当 ，即 时， 取得最小值
；
当 ，即 时， 取得最大值 ，
所以当 时， 取得最小值 ；当 时， 取得最大值 .
（3）由（1）知， ，当 时，令 ，
原不等式等价于 ，
函数 在 上单调递减，当 时， ，因此 ，
所以实数 的取值范围 .
29．已知向量 ，函数 ，
(1)求不等式 的解集；
(2)若 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出 并化简，再利用正弦函数性质解不等式.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求出取值范围.
【详解】（1）由向量 ，得
，
由 ，得 ，则 ，
解得 ，
所以不等式 的解集是 .
（2）在 中，由 ，得 ，由 ，得 ，
则 ，即 ，由余弦定理得 ，
得 ，
试卷第38页，共3页解得 ，当且仅当 时取等号，又 ，即 ，
所以 的取值范围是 .
30．在① 在区间 上单调递增，② ，③ 这三个条件
中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数 ，
___________.
(1)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为 倍
（纵坐标不变），得到函数 的图象，求 的单调增区间.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）首先选出条件，再利用条件求出 ，进而求出函数 在 的
最值，再结合恒成立的不等式求解即得.
（2）根据（1）的结论，利用三角函数图象变换求出 ，再利用正弦函数的性质求出递
增区间.
【详解】（1）选条件① 在区间 上单调递增，
又 ，得 ，所以满足条件 ，得 ，
又 ，所以取 ，所以 ；
选条件② ，得 ，
又 ，所以 ，得 ，所以
选条件③ ，知 是 的一条对称轴，
所以 ，则
又 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，所以 ，
由 恒成立，得 ，
当 时， 的最大值为 ， 的最小值为 ，
则
所以实数 的取值范围
试卷第40页，共3页（2）由（1）知 ，
将函数 的图象向右平移 个单位后，得 ，
再将得到的图象上各点的横坐标变为 倍，得 ，
由 ，得 ，
的单调增区间是
考点04：根据图像确定三角函数的解析式
秒杀：思路：形如：
第一步：定A K,借助函数图象的最高点、最低点确定参数A K的值
第二步：定周期 ，借助函数图象及五点作图法中的“五点”确定函数的周
期
第一点（即图象第一次上升时与 轴的交点）横坐标满足
第二点（即图象的“峰点”）横坐标满足
第三点（即图象下降时与 轴的交点）横坐标满足
第四点（即图象的“谷点”）横坐标满足
第五点（即图象第二次上升时与 轴的交点）横坐标满足
求 只需在部分图象中寻求“五点”中任意两点建立二元一次方程组即可31．如图，已知函数 在 单调递增，且经过点 ，
，则 ， 的值分别是（ ）
A．1， B．1， C．3， D．3．
【答案】A
【分析】根据函数经过的点，求得 ， ，再由 的单调
性确定 ，即得.
【详解】因函数 经过点 ， ，则得 ，因 ，解得
；
又 ，则得 ，解得， .
又由 可得 ，
因函数 在 单调递增，则 ，解得
，
故 ，经检验此时满足题意，.
故选：A.
试卷第42页，共3页32．如图，函数 的图像与 轴的其中两个交点分别
为A，B，与y轴交于点C，D为线段 的中点， ， ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对称
C． D． 为偶函数
【答案】C
【分析】利用三角函数的图象与性质先含参表示 的坐标，由线段关系求解参数得
，再判定选项即可.
【详解】由题可 ，则 ，
有 ，
，
把 代入上式，得 ，解得 (负值舍去)，
，由 ，解得 ，解得 ，
显然其周期为 ，故A错误；
当 时， ， ，故B错误；
，故C正确；
，显然是奇函数，故D错误.
故选：C
33．已知函数 （ ， ）的部分图象如图，则（ ）
A． B．函数 的图象关于 轴对称
C．函数 在 上单调递减 D．函数 在 有4个极值点
【答案】BD
【分析】由“五点法”求得 ，根据正弦函数的性质和极值点的概念
依次判断选项即可.
【详解】A:由图可知 的周期为： ，又 ，所以 ；
试卷第44页，共3页由 ， ，且 ，所以 ；
由 ，所以 ，故A错误；
B：由A的分析知，所以
因为 为偶函数，故B正确；
C：由 ，得 ，故 在 上单调递增，故C错误；
D：因为 ， ， ， ，故D正确.
故选：BD.
34．已知函数 的图象如图，点 ， 在 的图象上，过
， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，若四边形 为平行四边形，且面积为
，则 ， .
【答案】 3
【分析】设 ，由四边形 为平行四边形，可得 ，由 可得 ；将点 代入 ，可得 ，将 代入解析式即可求解.
【详解】由四边形 为平行四边形可知，
，设 ，则 ，
所以 ，所以 ，
解得 ，则 ，
将点 代入得， ，
即 ，由于点 在 的增区间上，
所以 ， ，则 ， ，
所以 ，
故 .
故答案为：3； .
35．已知函数 的部分图象如图，则
.
【答案】
试卷第46页，共3页【分析】根据图象可得函数 的最大值，最小值，周期，由此可求 ，再由
求 ，由此求得的解析式，然后求得 .
【详解】由图可知，函数 的最大值为 ，最小值为 ， ，
当 时，函数 取最大值 ，
又
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
由于 ，
所以 ，
所以 ， .
故答案为： .
36．如图，函数 ，则 ； .【答案】
【分析】由周期的定义结合图象可得 ，代入点 后再结合余弦函数值可得 .
【详解】由图象可知，函数的周期为 ，
所以 ；
根据五点法，当 时， ，
所以 ，
因为 ，所以 ；
故答案为： ； .
37．已知函数 ，如图 是直线 与曲线 的两个交
点，若 ，则 .
【答案】
【分析】设 ，得到 ，再由 ，得到 ，求得
，结合题意，得出 ，进而求得 的值，即可求解.
【详解】设 ，因为 ，可得 ，
试卷第48页，共3页又因为 可知，所以 或 ，
结合函数的图象，可得 ，
即 ，所以 ，
因为 ，且 在单调递增区间内，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
38．已知函数 ， 的部分图象如图，则
.
【答案】
【分析】先求出周期，从而可得 ，根据 可求得 ，最后由 可得A，即可得 的解析式和 .
【详解】由题意可知： 的最小正周期 ，
且 ，可得 ，
又因为 ，
且 ，则 ，
可得 ，即 ，
且 ，即 ，
可得 ，
所以 ．
故答案为： ．
39．如图是某质点做简谐运动的部分图像，该质点的振幅为2，位移 与时间 满足函数
，点 在该函数的图象上，且位置如
图所示，则 .
试卷第50页，共3页【答案】
【分析】由函数图象求出函数解析式，再确定 与 的比值.
【详解】由图象可知： ， （ ），所以 ，
由 ，又 ，所以 .
又 ， .
所以 .
故答案为：
40．如图是函数 （ ， ， ）的部分图像，M，N是它
与x轴的两个不同交点，D是M，N之间的最高点且横坐标为 ，点 是线段DM的
中点．
(1)求函数 的解析式；(2)若 时，函数 的最小值为 ，求实数a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过观察函数图象，求出对应点坐标，分别求出 的值即得函数解析式；
（2）写出 的解析式后，取 ，将其转化为 在
上的最小值问题，结合二次函数图象分类讨论即得.
【详解】（1）由题意得， ，因 ，故 ，
函数 的周期 ，
由 可得 ，
把点 代入 中，得 ，
由 ，可解得 .
故函数 的解析式为 .
（2）由 ，
不妨设 ，由 可得 ，
则 ， ，函数图象的对称轴为直线 .
试卷第52页，共3页① 当 ，即 时， ，解得 ，符合题意；
② 当 ，即 时， ，解得 ，不合题意；
③ 当 ，即 时， 解得 ，不合题意.
综上所述，实数a的值是 .
考点05：三角函数的平移与变换
正规方法： 左加右减，上加下减，左右只针对 而言（解决题干有平移信息的选择题）
秒杀：第一步：明确谁平移得到谁
第二步： : 解出 : 解出
第三步： 确定左右平移了多少
注意：先平移后伸缩与先伸缩后平移的区别
41．为了得到函数 的图象，下列变换正确的是（ ）
A．将函数 的图象向右平移 个单位长度
B．将函数 的图象向右平移 个单位长度
C．将函数 的图象向左平移 个单位长度
D．将函数 的图象向左平移 个单位长度
【答案】AB
【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简，然后根据图象的平移变换判断即可.
【详解】对于AD， ， ，
所以 向右平移 个单位可以得到 ，故A正确，D错；对于B， ，
所以 向右平移 个单位可以得到 ，故B正确；
对于C， 和 的图象一样，故C错.
故选：AB.
42．下列四种变换方式，其中能将 的图象变为 的图象的是（ ）
A．向左平移 ，再将横坐标缩短为原来的 ；
B．横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 ；
C．横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 ；
D．向左平移 ，再将横坐标缩短为原来的 .
【答案】AB
【分析】直接由三角函数的平移变换、伸缩变换法则对每个选项逐一验证即可.
【详解】将 的图像向左平移 ，可得函数 ，
再将横坐标缩短为原来的 ，可得 的图像，故A正确；
或者将 的图像横坐标缩短为原来的 ，可得 的图像，
再向左平移 个单位，可得 的图像，故B正确；
对于C， 横坐标缩短为原来的 可得 ，再向左平移 可得
试卷第54页，共3页；故C错误；
对于D， 向左平移 可得 ，
再将横坐标缩短为原来的 可得 ，故D错误.
故选：AB.
43．函数 图象上所有的点经过变换得到函数 的图象，这种变换可
以是（ ）
A．向左平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向右平行移动 个单位长度
【答案】BD
【分析】根据诱导公式化简 再根据平移的大小验证每个选项即
可.
【详解】 ,
若向左平行移动 个单位长度，
得 ，故 错误；
若向左平行移动 个单位长度，
得 故 正确；
若向右平行移动 个单位长度，得 故 错误；
若向右平行移动 个单位长度，
得 故 正确.
故选：
44．已知函数 .
(1)请用“五点法”画出函数 在一个周期 上的简图；
(2)请说明由 到 的变换过程.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据给定条件，列出对应值表，再在坐标系内描点连线即得.
（2）根据三角函数变换，叙述出变换过程即可.
【详解】（1）函数 在 上的取值，列表为：
0
0 1 0 0
描点连线，即得函数 的图象，如图：
（2）先将 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象，
试卷第56页，共3页再将所得函数的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到
，即 的图象.
45．已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)解不等式 ；
(3)函数 的图象依次经过三次变换：①向左平移 个单位长度，②纵坐标不变，横坐标
变为原来的 ，③关于 轴对称，得到函数 的图象，求 图象在 轴右侧第二个对
称中心的坐标．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ．
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）结合（1）可得 ，又 ，结合诱导公式及正弦函
数的性质计算可得；
（3）首先根据三角函数的变换规则得到 的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）因为
，
令 ， ，
解得 ， ，
函数 的单调递增区间为 ， ．
（2）不等式 ，
即 ，
又
，
则 ，
所以 ， ，
解得 ， ，
所以不等式的解集为 ， ．
试卷第58页，共3页（3）将 向左平移 个单位长度得到
，
再将 的纵坐标不变，横坐标变为原来的 得到
，
最后将 关于 轴对称得到 ，
令 ， ，解得 ， ，
所以 的对称中心坐标为 ， ，
当 为 ，当 为 ，当 为 ，
在 轴右侧第二个对称中心的坐标为 ．
46．将函数 的图象进行如下变换：向下平移 个单位长度 将所有
点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） 向左平移 个单位长度，得到函数
的图象.
(1)当 时，方程 有两个不等的实根 ，求实数 的取值范围；
(2)若函数 在区间 内恰有2022个
零点，求 的所有可能取值.【答案】(1)
(2)2022或2023或1348
【分析】（1）先根据函数的图象变换求 的解析式，再利用数形结合的思想求参数的
取值范围；
（2）采用换元法，先把问题转化成为二次函数的零点分布问题，再结合三角函数的周期性
求 的可能值.
【详解】（1）由题意 的图象向下平移 个单位，得：
；再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
得： ；再把所得函数图象向左平移 个单位，可得
，
因为
所以 ，
如图：
试卷第60页，共3页方程 有两个不等实根时， 的图象与直线 有两个不同的交点，
作图可得 .
故实数 的取值范围为 .
（2）由题意可得 ，
设 ， ，则函数等价为 ，
由 ，得 .
因为 ，所以 有两个不等的实数根 ，
当 时， ，此时 在 上恰有3个零点，
因为 ，所以 ，
所以 ；
当 时，因为 ， .
所以 ， .
此时 在 上恰有2个零点，
因为 ，所以 或 ，
或2023.
综上所述， 的可能取值为2022或2023或1348.
47．已知函数 .
(1)由 的图象经过怎样的变换得到 的图象；
(2)求出函数的对称轴方程和对称中心坐标．
【答案】(1)答案见解析(2)对称轴方程为 ；对称中心坐标为 ，
【分析】（1）根据三角函数图象的变换规则写出变换过程；
（2）根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）首先将 的图象向左平移 个单位得到 ，
再将函数 的图象的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 得到 ，
最后将 的图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 倍得到
.
（2）对于函数 ，
令 ，解得 ，
所以函数的对称轴方程为 ，
令 ，解得 ，
所以函数的对称中心坐标为 ， .
48．已知函数 ．
(1)用“五点法”画出 在一个周期内的图象；
(2)说明此函数图象可由 的图象经怎样的变换得到．
试卷第62页，共3页【答案】(1)作图见解析(2)答案见解析
【分析】（1）根据五点作图法画出图象.
（2）利用三角函数图象变换的知识求得正确答案.
【详解】（1）列表如下：
0
0 1 0 0
在一个周期内的图象如图所示：
（2）方法一：函数 先向左平移 个单位得到函数 ；
再将函数的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，即可得函数 ；
方法二：先将函数 的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到函数 ；
再向左平移 个单位，即可得函数 ．
49．已知函数 的部分图象如图所示：
(1)求 的解析式；(2)将函数 的图象作怎样的变换可得到函数 的图象？
【答案】(1) ；
(2)答案见解析
【分析】(1)由图象可得 ， ，从而可得 ，所以 ，再代入
，结合 ，可得 ，即可得函数的解析式；
(2) 方法一：先作平移变化，再作伸缩变化；
方法二：先作伸缩变化，再作平移变化.
【详解】（1）解：由图可知， ， ，
解得 ，
此时 ，因为函数图象过点 ，
所以 ，
所以 ，‘
所以 ，
因为 ，解得 ，
所以 ；
（2）解：方法一：先把 的图象向左平移 个单位，然后把图象上所有点的横坐
标缩小为原来的 倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标扩大为原来的2倍
试卷第64页，共3页（横坐标不变），得到 的图象；
方法二：先把 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 倍（纵坐标不变），然后
把图象上所有点向左平移 个单位，再把图象上所有点的纵坐标扩大为原来的2倍（横坐
标不变），得到 的图象.
50．要得到函数 的图象，可以从正弦函数 图象出发，通过图象变
换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．
(1)由 图象变换得到函数 的图象，写出变换的步骤和函数；
(2)用“五点法”画出函数 在区间 上的简图．
【答案】(1)答案见解析(2)作图见解析
【分析】（1）根据三角函数图象变换的知识求得正确答案.
（2）利用“五点法”画出图象.
【详解】（1）步骤1：把 图象上所有点向右平移 个单位长度，得到函数
的图象；
步骤2：把 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数的图象；
步骤3：最后把函数 的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函
数 的图象．
（2）列表：
考点06： 三角函数的卡根原理
①由于对称轴和对称中心的水平距离为 ,设 ，构造
出 函数的形式，再根据单调区间或者最值区间所处的范围进行卡根.
第一步：卡 的形式
第二步：卡周期求 的范围
②已知平移得到新函数表达式单调性
第一步：先将新函数括号内部看成整体，将已知单调区间代入求出整体单调区间.
第二步：整体单调区间属于基本函数图象哪一部分
第三步：建立不等式求解
试卷第66页，共3页51．已知函数 的图象的一部分如图所示，则下列结论不正确的
是（ ）
A．
B．
C． 是函数的一条对称轴
D． 是函数的一个对称中心
【答案】B
【分析】根据图象，结合三角函数的性质，求得 和 的值，得到函数的解析式，即可
作出判断.
【详解】解:由题意，根据给定的函数的图象，可得 ，
且 ，所以 ，所以 ，所以A项正确；
又由点 在函数 的图象上，
所以 ，即 ，
由五点作图法可得 ,
即 ，可得 ，所以 ，
所以B不正确；
当 时， ，所以C正确；
当 时， ，所以D正确,
故选:B.
52．函数 在 内的值域为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 ， ， ，则 ，
解得 ，选D.
53．函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 ， 在
上有且只有5个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平移原则可得函数 ，转化条件为 ，即
可得解.
【详解】依题意得 ，
若 ，则 ，
试卷第68页，共3页由题意， ，解得
故选：D.
54．设 ，函数 的图象向右平移 个单位后与原图象重合，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用平移规律，得到平移后的图像，再根据条件确定 ，根
据 的取值，确定 的最小值.
【详解】将 的图象向右平移 个单位后对应的函数为
函数 的图象向右平移 个单位后与原图象重合，所以有
，即 ，
又 ，故 ，所以 的最小值是 .
故选:A.
55．已知函数 ，则下列命题正确的有（ ）
A．当 时， 是 的一条对称轴
B．若 ，且 ，则
C．存在 ，使得 的图象向左平移 个单位得到的函数为偶函数D．若 在 上恰有5个零点，则 的范围为
【答案】BD
【分析】首先对函数表达式进行化简，A选项，将 ， 代入发现此处有对称中
心，没有对称轴；B选项，由题设知， 为半个周期；C选项，对函数进行平移变换，再
判断奇偶性；D选项，求出 的范围，再确定区间右端点 的范围，从而求出
的范围.
【详解】
对于A，当 时， ，
所以 ，
所以 不是 的一条对称轴，故A错误；
对于B，由题意知， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，故B正确；
对于C， 向左平移 个单位后，
得到 ，
假设 为偶函数，则 ， ，
解得 ，
试卷第70页，共3页而 ，所以假设不成立，故C错误；
对于D， 时， ，
令 ，
则 ，
因为 在 上恰有5个零点，
所以 ，解得 ，故D正确.
故选：BD.
56．已知“ ”表示小于 的最大整数，例如 .若 恰好有四个
解,那么 的范围是 .
【答案】
【分析】作出 和 的图象，数形结合即可求得答案.
【详解】当 时，如图为满足题意的两种情况：
即 或 ，解得 ；当 时，如图：
则 ，解得 .
综上， 的范围是 ，
故答案为： .
57．已知“ ”表示小于x的最大整数，例如 ， .若 恰
好有四个解，那么 的范围是 .
【答案】
【分析】作出 和 的图象，数形结合即可求得答案.
【详解】 ，如图为满足题意的两种情况：
试卷第72页，共3页即 或 ，解得 ；
故 的范围是 ，
故答案为： .
58．函数 的图像是由函数 （ 大于零）的图像向左平移 个单位所
得，若函数 在 范围内单调，则 的范围是 .
【答案】
【分析】由函数图象平移可得 ，根据 在给定区间上单调，结合余
弦函数的性质求参数 的范围.
【详解】 是由 （ 大于零）向左平移 个单位所得，故
，
又 在 即 上单调，
∴ ，
, ，由 或 ，
或 ，
综上， 的范围为 .
故答案为： .
59．已知函数 的部分图象如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象上所有点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为
原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象在 时，恰有一个最
大值和一个最小值，求 的范围；
(3)若 对任意 恒成立，求 的最大值．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）先确定 ，然后代点 可求出 ，则解析式可求；
试卷第74页，共3页（2）先通过平移变换和周期变换得到 ，再利用正弦函数的性质求解 的范围；
（3）通过 求出 的范围，进而可得 的最大值．
【详解】（1）由图可知 ，则 ，
所以 ，代入点 得
，解得 ，
所以 ；
（2）根据题意得 ，
当 时， ，
因为函数 的图象在 时，恰有一个最大值和一个最小值，
所以 ，解得 ；
（3）因为 ，
所以 ，
整理得 ，
即 ，
解得 ，
所以 ，解得 ，
若 对任意 恒成立，
则 的最大值为 .
60．已知函数 .将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来
的 ，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移 个单位长度，得到函数
的图象.
(1)求函数 在区间[ ， ]上的单调递减区间；
(2)若对于 恒成立，求实数m的范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用辅助角公式可将 化为 ，因 [ ， ]，则
，后由 在 上的单调递减区间可得答案；
（2）由题可得 ，后利用 在 单调性可得
.
方法1：令 ，则 等价于
试卷第76页，共3页， ，后分 三种情况，利用分离
参数结合函数 单调性可得答案；
方法2：令 ，则 等价于
， ，则 ，即可得答案.
【详解】（1）
.
因 [ ， ]，则 ，又 分别在 上单调递增和
递减，
则 ，即函数 在区间[ ， ]上的单调递减区间为
；
（2）函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，
所得解析式为 ，
又将所得函数图象向右平移 个单位长度，
解析式为 ，则 .因 ，则 .
又 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，故 .
方法1：令 ，则 等价于
， .
当 时， ，则此时m可取任意值；
当 时， ，
注意到函数 均在 上单调递增，则函数 在 上单调递增，则
；
当 时， ，
注意到函数 均在 上单调递增，则函数 在 上单调递增，则
；
综上可得： .
试卷第78页，共3页方法2：令 ，则 等价于
， .
则 .
