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考点巩固卷 08 三角函数的图象及性质（六大考
点）
考点01：三角函数的定义域与值域
1、三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图
象来求解．
注：解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．
（1）分式：分母不能为零；
（2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如 ，只要求 ）对奇次根式
中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如 ，只要求 ）
（3）零次幂： 中底数 ；
（4）对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于 ；
（5）三角函数：正弦函数 的定义域为 ，余弦函数 的定义域为 ，正
切函数 的定义域为 若 ，则
2、求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型
(1)形如 或 的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域
b a
sinϕ= cosϕ=
(2)形如y＝asinωx＋bcosωx＋k的三角函数,可设
√a2 +b2
,
√a2 +b2
逆用
y=kx+b
和角公式得到y＝Asin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数 型,再求值域(最值)；
对于由 两类函数作和、差、乘运算而得到的函数；
例如① （特别的 可先用和差角
公式展开化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式;
② 即 逆用倍
角公式化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式;进一步都可以转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形
式，然后结合一次函数求最值。
y=kx+b
总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数 型,再由三
k,b
角函数的有界性得解.(其中x为正弦或余弦函数, 为常数)
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数
y=at2 +bt+c
求值域(最值)， 小心定义域对值域的限制 ；
对于由 与 ，由 与 作和、差运算
试卷第2页，共3页而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。
=
(4)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设 ＝t，化为
关于 t 的二次函数
y=at2 +bt+c
在区间上的值域，要注意t的取值范围；对于由
与 （ ） 作 和 、 差 运 算 而 得 到 的 函 数 ， 例 如
，都可以转化为二次型函数求最值。
(5)形如分式型： 等
三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。
asinx+b
y=
①基本类型一:
csinx+d
、 型
sinx
方法一：反解 ，利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法．
②基本类型二： 型．
转化为 ，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值；
1．若 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．3．对于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称；
B．函数 的对称轴是 ， ；
C．若函数 是偶函数，则 的最小值为 ；
D．函数 在 的值域为 ，
4．函数 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． ，使得 为单调函数 B． ，使得 有三个零点
C． ，使得 有最大值 D． ，使得 的值域为
5．已知 ， ，则 的值域为 .
6．已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)若 ，求函数 的值域．
(3)若函数 在 上有且仅有两个零点，则求 的取值范围
7．已知函数 .
(1)求 ；
试卷第4页，共3页(2)若方程 在区间 上有且仅有3个解，求实数 的取值范围；
(3)从以下两个条件中选择一个，求 的解析式.
①若函数 在 上的值域为 ；
②函数 在 上的最大值与最小值差为3.
8．已知函数 .
(1)求 的单调递增区间；
(2)求 在 上的值域.
9．已知函数 ，
(1)求 的单调递减区间；
(2)若 ，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值
范围．
10．求函数 的定义域.
考点02：三角函数性质的考察
1、求三角函数的周期，一般有三种方法
（1）定义法：直接利用周期函数的定义求周期．
（2）公式法，即将函数化为 或 的形式，再
利用 求得，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为
（3）图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心
间的距离也为,相邻对称轴和对称中心间的距离也为 ，函数的对称轴一定经过图象的最高
点或最低点．
2、与三角函数的奇偶性有关的问题
（1）对于函数 （A>0,ω>0）： 时，函数 为奇
函数； 时，函数 为偶函数．
（2）对于函数 （A>0,ω>0）： 时，函数 为偶
函数； 时，函数 为奇函数．
3、与三角函数的单调性有关的问题
（1）求函数 或 的单调
区间，一般将 视作整体，代入 或 相关的单调区间所对应的不等
式，解之即得．
（ 2 ） 当 ω<0 时 ， 先 利 用 诱 导 公 式 将 变 形 为
， 将 变 形 为
，再求函数的单调区间．
（3）当A<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆．
4、三角函数对称轴和对称中心的求解方法
(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于 x轴的直线，
试卷第6页，共3页对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点．
(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；函数y＝Acos(ωx
＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z.
11．若函数 的对称轴方程为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 的部分图象如图.若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数 的最小正周期为 ．则 在 的最小值
是（ ）
A． B． C．0 D．
14．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为
B．不等式 的解集为
C． 在区间 上单调递减D．为了得到函数 的图象，只要把函数 曲线上所有的点向左平移 个单
位长度，再向上平移 个单位长度
15．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的最小正周期为
C．函数 的图象的对称轴方程为
D．函数 的图象可由 的图象向右平移 单位长度得到
16．已知函数 ，当且仅当 ， 取得最小值，
则下列说法正确的有（ ）
A． 的最大值为37
B． 的最小值为
C． 在 处导数等于0
D．当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4
17．大自然中充满了各种声音，有的美妙无比，有的尖利嘈杂，那是因为声音中包含着正
弦函数，一个纯音的数学模型是函数 为非零常数， 为变量），而我们平
时所听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．若一个复合音的
数学模型是函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图像关于点 对称
试卷第8页，共3页C． 在区间 上单调递增 D． 在区间 上有2024个零点
18．已知函数 ，则（ ）
A．当 时， 的图象关于 对称
B．当 时， 在 上的最大值为
C．当 为 的一个零点时， 的最小值为1
D．当 在 上单调递减时， 的最大值为1
19．设 ，则函数 的极值点为 .
20．设 ，向量 ，则 的取值范围是 .
考点03：解三角不等式
求得函数 的解析式，进而利用一元二次不等式及正弦函数不等式求解即可.(多周
期）
21．已知函数 ，把 的图象向左平移 个单位长度可得到函数
的图象，则（ ）
A． 是偶函数
B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上的最大值为0D．不等式 的解集为
22．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为2
B．函数 的图象关于直线 对称
C．不等式 的解集为
D．若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
23．已知函数 ，将函数 的图像横坐标缩短为原来的
倍，再向左平移 单位，得到函数 .则下列结论中正确的是（ ）
A． 为偶函数
B．不等式 的解集为
C． 在 上单调递增
D．函数 在 的零点为 且 ，则
24．已知函数 .
试卷第10页，共3页(1)求函数 的对称中心及不等式 的解集；
(2)已知 ，求 的值.
25．已知函数 的部分图象如图所示．
(1)求 的解析式；
(2)求 在 的值域；
(3)求不等式 的解集．
26．已知 的图象关于点 对称，且
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， .
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求满足不等式 的解集.
27．已知函数 .
(1)已知 ，求 的值域及单调区间；(2)若将函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将其图象向
上平移 个单位得到函数 的图象，求不等式 的解集.
28．已知函数 ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)当 时，求 的最值及取到最值时 的值；
(3)当 时，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范
围．
29．已知向量 ，函数 ，
(1)求不等式 的解集；
(2)若 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，求 的取值范围．
30．在① 在区间 上单调递增，② ，③ 这三个条件
中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数 ，
___________.
(1)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为 倍
（纵坐标不变），得到函数 的图象，求 的单调增区间.
试卷第12页，共3页考点04：根据图像确定三角函数的解析式
秒杀：思路：形如：
第一步：定A K,借助函数图象的最高点、最低点确定参数A K的值
第二步：定周期 ，借助函数图象及五点作图法中的“五点”确定函数的周
期
第一点（即图象第一次上升时与 轴的交点）横坐标满足
第二点（即图象的“峰点”）横坐标满足
第三点（即图象下降时与 轴的交点）横坐标满足
第四点（即图象的“谷点”）横坐标满足
第五点（即图象第二次上升时与 轴的交点）横坐标满足
求 只需在部分图象中寻求“五点”中任意两点建立二元一次方程组即可
31．如图，已知函数 在 单调递增，且经过点 ，
，则 ， 的值分别是（ ）A．1， B．1， C．3， D．3．
32．如图，函数 的图像与 轴的其中两个交点分别
为A，B，与y轴交于点C，D为线段 的中点， ， ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对称
C． D． 为偶函数
33．已知函数 （ ， ）的部分图象如图，则（ ）
A． B．函数 的图象关于 轴对称
C．函数 在 上单调递减 D．函数 在 有4个极值点
试卷第14页，共3页34．已知函数 的图象如图，点 ， 在 的图象上，过
， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，若四边形 为平行四边形，且面积为
，则 ， .
35．已知函数 的部分图象如图，则
.
36．如图，函数 ，则 ； .
37．已知函数 ，如图 是直线 与曲线 的两个交点，若 ，则 .
38．已知函数 ， 的部分图象如图，则
.
39．如图是某质点做简谐运动的部分图像，该质点的振幅为2，位移 与时间 满足函数
，点 在该函数的图象上，且位置如
图所示，则 .
试卷第16页，共3页40．如图是函数 （ ， ， ）的部分图像，M，N是它
与x轴的两个不同交点，D是M，N之间的最高点且横坐标为 ，点 是线段DM的
中点．
(1)求函数 的解析式；
(2)若 时，函数 的最小值为 ，求实数a的值．
考点05：三角函数的平移与变换
正规方法： 左加右减，上加下减，左右只针对 而言（解决题干有平移信息的选择题）
秒杀：第一步：明确谁平移得到谁
第二步： : 解出 : 解出
第三步： 确定左右平移了多少
注意：先平移后伸缩与先伸缩后平移的区别
41．为了得到函数 的图象，下列变换正确的是（ ）
A．将函数 的图象向右平移 个单位长度
B．将函数 的图象向右平移 个单位长度
C．将函数 的图象向左平移 个单位长度D．将函数 的图象向左平移 个单位长度
42．下列四种变换方式，其中能将 的图象变为 的图象的是（ ）
A．向左平移 ，再将横坐标缩短为原来的 ；
B．横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 ；
C．横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 ；
D．向左平移 ，再将横坐标缩短为原来的 .
43．函数 图象上所有的点经过变换得到函数 的图象，这种变换可
以是（ ）
A．向左平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向右平行移动 个单位长度
44．已知函数 .
(1)请用“五点法”画出函数 在一个周期 上的简图；
(2)请说明由 到 的变换过程.
45．已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)解不等式 ；
试卷第18页，共3页(3)函数 的图象依次经过三次变换：①向左平移 个单位长度，②纵坐标不变，横坐标
变为原来的 ，③关于 轴对称，得到函数 的图象，求 图象在 轴右侧第二个对
称中心的坐标．
46．将函数 的图象进行如下变换：向下平移 个单位长度 将所有
点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） 向左平移 个单位长度，得到函数
的图象.
(1)当 时，方程 有两个不等的实根 ，求实数 的取值范围；
(2)若函数 在区间 内恰有2022个
零点，求 的所有可能取值.
47．已知函数 .
(1)由 的图象经过怎样的变换得到 的图象；
(2)求出函数的对称轴方程和对称中心坐标．
48．已知函数 ．
(1)用“五点法”画出 在一个周期内的图象；
(2)说明此函数图象可由 的图象经怎样的变换得到．
49．已知函数 的部分图象如图所示：(1)求 的解析式；
(2)将函数 的图象作怎样的变换可得到函数 的图象？
50．要得到函数 的图象，可以从正弦函数 图象出发，通过图象变
换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．
(1)由 图象变换得到函数 的图象，写出变换的步骤和函数；
(2)用“五点法”画出函数 在区间 上的简图．
考点06： 三角函数的卡根原理
①由于对称轴和对称中心的水平距离为 ,设 ，构造
出 函数的形式，再根据单调区间或者最值区间所处的范围进行卡根.
第一步：卡 的形式
第二步：卡周期求 的范围
②已知平移得到新函数表达式单调性
第一步：先将新函数括号内部看成整体，将已知单调区间代入求出整体单调区间.
第二步：整体单调区间属于基本函数图象哪一部分
第三步：建立不等式求解
试卷第20页，共3页51．已知函数 的图象的一部分如图所示，则下列结论不正确的
是（ ）
A．
B．
C． 是函数的一条对称轴
D． 是函数的一个对称中心
52．函数 在 内的值域为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
53．函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 ， 在
上有且只有5个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
54．设 ，函数 的图象向右平移 个单位后与原图象重合，则
的最小值是（ ）A． B． C． D．
55．已知函数 ，则下列命题正确的有（ ）
A．当 时， 是 的一条对称轴
B．若 ，且 ，则
C．存在 ，使得 的图象向左平移 个单位得到的函数为偶函数
D．若 在 上恰有5个零点，则 的范围为
56．已知“ ”表示小于 的最大整数，例如 .若 恰好有四个
解,那么 的范围是 .
57．已知“ ”表示小于x的最大整数，例如 ， .若 恰
好有四个解，那么 的范围是 .
58．函数 的图像是由函数 （ 大于零）的图像向左平移 个单位所
得，若函数 在 范围内单调，则 的范围是 .
59．已知函数 的部分图象如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象上所有点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为
试卷第22页，共3页原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象在 时，恰有一个最
大值和一个最小值，求 的范围；
(3)若 对任意 恒成立，求 的最大值．
60．已知函数 .将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来
的 ，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移 个单位长度，得到函数
的图象.
(1)求函数 在区间[ ， ]上的单调递减区间；
(2)若对于 恒成立，求实数m的范围.
