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专题20 共定点等边三角形的六大结论及应用
六大结论基本模型：如图，△ABC和△CDE是共顶点（C）三角形，则有以下六大结论.
结论1：△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE 结论2：∠AOB=60°
结论3：△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴AP=BQ，PC=QC 结论4：△PCQ是等边三角形
结论5：∴ 结论6：点C在∠AOE的平分线上
1．如图， 为线段 上一动点（不与点 、 重合），在 同侧分别作正三角形 和正三
角形 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，连接 ，以下七个结
论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ 是等边三角形；⑦点 在 的平分线上，其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．已知如图 是锐角三角形，分别以边AB、AC为边向外作 和 ， 和
均为等边三角形，且BE和CD交于点F，连接AF．
（1）求证： ；
（2）求出 的度数；
（3）求证： ．
3．已知：如图， ABC、 CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段
AD、BE的中点．△ △(1)求∠DOE的度数；
(2)试判断 MNC的形状，并说明理由；
(3)连接OC△，求证：OC是∠AOE的平分线．
4．如图，已知 CAD与 CEB都是等边三角形，BD、EA的延长线相交于点F．
△ △
（1）求证： ACE≌△DCB．
（2）求∠F的△度数．
（3）若AD⊥BD，请直接写出线段EF与线段BD、DF之间的数量关系．
5．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作 ACD和 BCE，且
CA=CD，CB=CE， ，直线AE与BD交于点F． △ △
（1）如图1，证明： ACE≌△DCB；
（2）①如图1，若 △ ，则 =________；
②如图2，若 ，则 ______；（用含 的式子表示）
（3）将图2中的 ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），
如图3，试探究 △ 与 的数量关系，并予以证明．6．如图①，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一
边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）当点D在线段AM上时（如图①），则AD BE（填“＞”“＜”或“=”），∠CAM=
度；
（2）当点D在线段AM的延长线上时（如图②），直线BE与直线AM的交点为O，求∠AOB的
度数；
（3）当动点D在线段AM的反向延长线上时，直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB的
度数是否发生变化？若变化，请求出∠AOB的度数，若不变，请说明理由．
7．已知点C为线段 上一点，分别以 、 为边在线段 同侧作 和 ，且
， ， ，直线 与 交于点F．
（1）如图①，试说明： ；
（2）如图①，若 ，则 ________°；如图②，若 ，则
________°；如图③，若 ，则 ________°；
（3）如图④，若 ，求 的值（用含 的代数式表示）；
（4）若A、B、C三点不在同一直线上，线段 与线段 交于点C（交点F至少在 、 中
的一条线），如图⑤，若 ，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
8．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．当点A位于______时，线段
AC的长取得最大值，最大值为______．（用含a，b的式子表示）
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1．如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出BE长的最大值．
9．如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，
点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如
果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
10．如图1，点M为锐角三角形 内任意一点，连接 ．以 为一边向外作等边
三角形 ，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 的值最小，则称点M为 的费马点．若点M为 的费马点，求此时 的度数；
（3）受以上启发，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明
作法以及理由．
11．已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝
∠DBE．
（1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形；
（2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 °；
（3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是
°；
（4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 °．
12．如图，已知点B（-2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限内的一个动
点，M在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠ABD=∠ACD．
（1）求证：∠BDC=∠BAC；
（2）求证：DA平分∠CDM；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果
变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
