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§1.5 基本不等式的综合应用
课标要求 1.会求与基本不等式有关的恒成立问题.2.理解基本不等式在实际问题中的应
用.3.掌握基本不等式在其他知识中的应用．
题型一 与基本不等式有关的恒(能)成立问题
例1 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，若2x＋y0，y>0，且＋＝1，
所以2x＋y＝(2x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，且＋＝1，即x＝y＝3时取等号，此时2x＋y取得最小值9，
若2x＋y9或m<－1，
即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
(2)若对于任意的x>0，不等式≥a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[5，＋∞) B．(5，＋∞)
C．(－∞，5] D．(－∞，5)
答案 C
解析 令f(x)＝，
由题意可得a≤f(x) ，
min
f(x)＝x＋＋3≥2＋3＝5，
当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，
a≤f(x) ＝5，
min
所以实数a的取值范围为(－∞，5]．
思维升华 ∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x) ≥a；
max
∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x) ≤a.
min
跟踪训练1 (1)对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为( )
A．{m|－22}
C．{m|m>－2} D．{m|m≤－2}
答案 C
解析 因为对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，即mx＝x＋对任意的x∈(－∞，0)恒成立，
因为x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，
所以x＋＝－≤－2＝－2，
当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号，
所以m>－2.
(2)(2023·忻州模拟)已知a2＋b2＝k，若＋≥1恒成立，则k的最大值为( )
A．4 B．5 C．24 D．25
答案 C
解析 ∵a2＋b2＝k，
∴a2＋(b2＋1)＝k＋1，
∴(k＋1)＝[a2＋(b2＋1)]＝＋＋13≥2＋13＝25，
当且仅当＝，
即3a2＝2(b2＋1)＝(k＋1)时等号成立，
即＋≥，
由题意可得≥1，
又k>0，解得00，所以025时，
不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解，
等价于当x>25时，a≥＋＋有解，
∵＋≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，
∴a≥10.2.
∴当该商品改革后的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原
收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
题型三 基本不等式与其他知识交汇的最值问题
例3 (1)若“∃x∈，使得3x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的最大值是( )
A．2 B．2 C．4 D．5
答案 B
解析 由题意，得“∀x∈，3x2－λx＋1≥0成立”是真命题，故当x∈时，3x＋≥λ恒成立，
由基本不等式，得3x＋≥2＝2，
当且仅当3x＝，
即x＝∈时，等号成立，
故λ≤2.
(2)在△ABC中，点D在线段BC上，且满足|BD|＝|BC|，点E为线段AD上任意一点，若实
数x，y满足BE＝xBA＋yBC，则＋的最小值为( )
A．2 B．4
C．4＋2 D．9＋4
答案 D
解析 因为|BD|＝|BC|，
所以BE＝xBA＋yBC＝xBA＋4yBD，
由A，E，D三点共线可得x＋4y＝1，且x>0，y>0，
所以＋＝(x＋4y)＝9＋＋≥9＋2＝9＋4，
当且仅当＝，
即时取等号．
思维升华 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问
题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决
其中的最值问题．
跟踪训练3 双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为(
)
A. B. C．2 D.
答案 A
解析 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，所以＝tan＝，
所以b＝a，c＝＝2a.
所以＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝时等号成立．
课时精练
一、单项选择题
1．已知F，F 是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则MF ·MF 的最大值为( )
1 2 1 2
A．13 B．12 C．9 D．4
答案 C
解析 因为MF ＋MF ＝6，
1 2所以MF ·MF ≤＝＝9，
1 2
当且仅当MF ＝MF ＝3时，等号成立，
1 2
所以MF ·MF 的最大值为9.
1 2
2．若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为(
)
A．4π B．8π C．12π D．16π
答案 B
解析 设底面圆半径为r，则圆柱的高为2，
圆柱侧面积为S＝2πr·2＝4πr≤4π·＝8π，
当且仅当r＝，即r＝时等号成立．
3．(2023·齐齐哈尔模拟)已知圆(x－1)2＋(y－2)2＝4关于直线ax＋by－2＝0(a>0，b>0)对称，
则ab的最大值为( )
A. B. C．1 D．2
答案 B
解析 由题知，圆心(1,2)在直线ax＋by－2＝0上，
∴a＋2b＝2，
又a>0，b>0，∴2＝a＋2b≥2，
∴ab≤，当且仅当a＝2b，且a＋2b＝2，即a＝1，b＝时等号成立，∴ab的最大值为.
4．(2023·杭州模拟)已知2a＝3,3b＝4，ac＝b，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．b>a>c
C．a>c>b D．a>b>c
答案 D
解析 由题可知，a＝log 3，b＝log 4，
2 3
易知a，b∈(1，＋∞)．
因为＝＝log 4·log 2<2＝2<2＝1，所以bb>c.
a a
5．已知正实数x，y满足2x＋3y－xy＝0，若3x＋2y≥t恒成立，则实数t的取值范围是(
)
A．(－∞，25] B．(－∞，25)
C．(－∞，24] D．[24，＋∞)
答案 A
解析 由正实数x，y满足 2x＋3y－xy＝0，
得＋＝1，
则3x＋2y＝(3x＋2y)
＝＋9＋4＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，即x＝y＝5时，等号成立，则t≤25.
故实数t的取值范围是(－∞，25]．
6．已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，正数a，b满足f(2a)＋f(b－2)＝2，则＋的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．5
答案 B
解析 因为f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝2，
故函数f(x)的图象关于点(0,1)对称，
又f(x)的定义域为R，f(x)＝ln(－x)＋1＝ln ＋1＝－ln(＋x)＋1，
所以f(x)为减函数，
因为f(2a)＋f(b－2)＝2，
所以2a＋b－2＝0，即2a＋b＝2.
又a>0，b>0，
故＋＝＋＝＋≥2＝2.
当且仅当a＝，b＝时，等号成立.
二、多项选择题
7．已知正实数x，y满足x＋y＝4，则下列选项正确的是( )
A．ex＋ey的最小值为2e2
B．lg x＋lg y的最大值为lg 4
C．x2＋y2的最小值为8
D．x(y＋4)的最大值为16
答案 ABC
解析 由于ex＋ey≥2＝2＝2e2，当且仅当ex＝ey，即x＝y＝2时取等号，故A正确；
由基本不等式得xy≤2＝4，
故lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 4，当且仅当x＝y＝2时取等号，故B正确；
x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝16－2xy≥8，当且仅当x＝y＝2时取等号，故C正确；
由正实数x，y满足x＋y＝4，得y＝4－x，x∈(0,4)，
故x(y＋4)＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16∈(0,16)，故D错误．
8．若a>1，b>1，且ab＝e2，则( )
A．2e≤a＋b1，b＝>1，得1m对任意正数x，y恒成立，
则实数m的取值范围为________．
答案 (－∞，9)
解析 因为x>0，y>0，
所以＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋4＝9，
当且仅当y＝2x，即x＝，y＝时取等号，
所以实数m的取值范围为(－∞，9)．
11．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，其中a>b，则的最小值为________．
答案 2
解析 函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，
令ax2＋2x＋b＝0，
则有即ab＝1，且a>0，
所以＝＝(a－b)＋，
又a>b，所以a－b>0，
则(a－b)＋≥2＝2，
当且仅当a－b＝，且ab＝1，
即a＝，b＝时等号成立，
即的最小值为2.12．已知 A＝{x|ax2＋bx＋c≤0(aa>0，Δ＝b2－4ac＝0，
所以b>a>0，b2＝4ac.
所以M＝＝
＝＝，
设t＝－1>0，所以＝t＋1，
所以M＝＝
＝t＋＋5≥2＋5＝2＋5.
当且仅当t＝时，等号成立．
所以M的最小值为2＋5.
四、解答题
13．设函数f(x)＝4x－a·2x＋b，且f(0)＝0，f(1)＝2.
(1)求a，b的值；
(2)若∃x∈(－∞，3]，使得f(x)2x＋3·2－x－1.
故原问题等价于∃x∈(－∞，3]，
使得m>2x＋3·2－x－1成立．
则当x∈(－∞，3]时，m>(2x＋3·2－x－1) ，
min
设h(x)＝2x＋3·2－x－1，x∈(－∞，3]，
令t＝2x，则t∈(0,8]，
设p(t)＝t＋－1，t∈(0,8]，
则p(t)≥2－1，当且仅当t＝时取等号，
所以当t＝时，h(x)取得最小值2－1.
故m的取值范围是(2－1，＋∞)．
14．受芯片制约的影响，中国自主创新的爆发力被激发．某企业原有500名技术人员，年人
均投入a万元(a>0)，现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员
分成维护人员和研发人员，其中维护人员x名(x∈N*)，调整后研发人员的年人均投入增加
2x%，维护人员的年人均投入调整为a万元．(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后
的研发人员的人数最少为多少？
(2)若对任意100≤x≤200(x∈N*)，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于
维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均
投入．求实数m的取值范围．
解 (1)调整后研发人员的年人均投入为(1＋2x%)a万元，
则(500－x)(1＋2x%)a≥500a(a>0)，
整理得0.02x2－9x≤0，解得0≤x≤450，
又因为x∈N*，
所以要使这(500－x)名研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，调整
后的研发人员的人数最少为50.
(2)(500－x)(1＋2x%)a≥xa，两边同时除以ax得≥m－，
整理得m≤＋＋9；
由a≥a，
解得m≥＋1，
故＋1≤m≤＋＋9(100≤x≤200，x∈N*)恒成立，
＋＋9≥2＋9＝19，
当且仅当＝，
即x＝100时等号成立，所以m≤19，
因为100≤x≤200，x∈N*，
所以当x＝200时，＋1取得最大值15，
所以m≥15，
所以15≤m≤19，
即实数m的取值范围为[15,19]．
