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第 06 讲 基本不等式及应用
1、基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件： a >0 ， b >0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2、几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3、利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
1、【2022年新高考2卷】若x，y满足x2+ y2−xy=1，则（ ）
A．x+ y≤1 B．x+ y≥−2
C．x2+ y2≤2 D．x2+ y2≥1
【答案】BC
(a+b) 2 a2+b2
【解析】因为ab≤ ≤ （a,b∈R），由x2+ y2−xy=1可变形为，
2 2
(x+ y) 2−1=3xy≤3
(x+ y) 2
，解得−2≤x+ y≤2，当且仅当x= y=−1时，x+ y=−2，当且仅当
2
x= y=1时，x+ y=2，所以A错误，B正确；
x2+ y2
由x2+ y2−xy=1可变形为(x2+ y2)−1=xy≤ ，解得x2+ y2≤2，当且仅当x= y=±1时取等号，所
2
以C正确；
因为x2+ y2−xy=1变形可得 ( x− y) 2 + 3 y2=1，设x− y =cosθ, √3 y=sinθ，所以
2 4 2 21 2
x=cosθ+ sinθ,y= sinθ，因此
√3 √3
5 2 1 1 1
x2+ y2=cos2θ+ sin2θ+ sinθcosθ=1+ sin2θ− cos2θ+
3 √3 √3 3 3
= 4 + 2 sin ( 2θ− π ) ∈ [2 ,2 ] ，所以当x= √3 ,y=− √3 时满足等式，但是x2+ y2≥1不成立，所以D错
3 3 6 3 3 3
误．
故选：BC．
2、【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合
题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取
等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不符
合题意．
故选：C．
3、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】ABD
【解析】
对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
1、在下列函数中，最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A选项， 时， 为负数，A错误.
对于B选项， ， ， ，但不存在 使 成立，
所以B错误.对于C选项， ，当且仅当
时等号成立，C正确.
对于D选项， ， ， ，但不存在 使
成立，所以D错误.
故选：C
2、一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为
________m时菜园面积最大．
【答案】15
【解析】设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x
＝15，y＝时取等号
3、（2022·山东枣庄·一模）（多选题）已知正数a，b满足 ，则（ ）
A． 的最大值是
B． 的最大值是
C． 的最小值是
D． 的最小值为
【答案】ABD
【解析】由 得 ，当且仅当 时取等，A正确；
由 得 ，当且仅当 时取等，B正确；
由正数a，b及 知 ， ，可得 ，故 ，C错误；令 ，则 ，两边同时平方得 ，整理得 ，
又存在 使 ，故 ，解得 ，D正确.
故选：ABD.
4、（2022·江苏南通·模拟预测）（多选题）已知 ，且 .则下列选项正确的是
（ ）
A． 的最小值为
B． 的最小值为
C．
D．
【答案】BD
【解析】解：由题意得：
对于选项A：因为 ，
所以
当且仅当 时，即 ， 的最小值为 ，故A错误；
对于选项B：因为 ，所以
故
当 时， 的最小值为 ，故B正确；
对于选项C： ，故C错误；对于选项D： ，当 时等号成立，但 ,
故等号不成立,所以 ,故D正确.
故选：BD
考向一 运用基本不等式求函数的最值
例1、 (1)已知01)的最小值为________．
【答案】(1) (2)1 (3)2＋2
【解析】 (1)x(4－3x)＝×(3x)·(4－3x)≤×2＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．
故所求x的值为.
(2)因为x<，所以5－4x>0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
(3)y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号．
变式1、已知x>1，求y＝ 的最小值．
【解析】 令x－1＝t(t>0)，则y＝＝＝t＋＋2≥2＋2，
当且仅当 t＝，即t＝，即x＝＋1时，取等号，所以y的最小值为2＋2.
变式2、 已知x≥1，求y＝ 的最小值．
【解析】 令x＋1＝t(t≥2)，则y＝＝＝t＋－2≥2－2，
当且仅当 t＝，即t＝时，取等号．又因为t≥2，
根据对勾函数的性质可知当t＝2，即x＝1时，y有最小值，即y ＝2＋－2＝.
min
变式3、（1）（2022·江苏泰州·一模）（多选题）下列函数中最小值为6的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BC
【分析】
根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.
【详解】
解：对于A选项，当 时， ，此时 ，故A不正确.
对于B选项， ，当且仅当 ，即 时取“ ”，故B正
确.
对于C选项， ，当且仅当 ，即 时取“ ”，故C正确.
对于D选项， ，
当且仅当 ，即 无解，故D不正确.
故选：BC.
（2）（2022·广东惠州·二模）函数 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
【答案】D
【分析】
分离常数后，用基本不等式可解.
【详解】
（方法1） ， ，则 ，当且仅当 ，即
时，等号成立.（方法2）令 ， ， ， .
将其代入，原函数可化为 ，当且仅当 ，即 时等号
成立，此时 .
故选：D
方法总结： (1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一
正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的
条件．如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然
后再利用基本不等式．
考向二 基本不等式中 1 的运用
例2、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)若正数 ， 满足 ，则 的最小值是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 （当且仅当
，即 时取等号），
的最小值为 .
故选：C.
变式1、（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则 的最小值为__________．
【答案】 ##【解析】由题意可知， ＝ ＝ ＝ ＋ ＝（ ＋ ）（x＋y）
＝4＋5＋ ＋ ≥9＋2 ＝ ，
当且仅当 ＝ ， 时取等号， 此时 ，
故 的最小值为 ．
故答案为：
变式2、（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知 是正实数，函数 的图象经过点 ，则
的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．2
【答案】B
【分析】
将 代入 ，得到 ， 的关系式，再应用基本不等式“1”的代换求最小值即可．
【详解】
由函数 的图象经过 ，则 ，即 ．
，当且仅当 时取到等号．
故选：B．
变式3、（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）正项等比数列 中， 成等差数列，且存在两项
使得 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．不存在
【答案】B【分析】
由等比数列通项公式及等差中项的性质可得 ，进而有 ，利用基本不等式“1”的代换求目标式
最小值，注意等号是否成立.
【详解】
由题设 ，若 公比为 且 ，则 ，
所以 ，
由 ，则 ，故 ，可得 ，
所以 ，而 ，故
等号不成立，
又 ，故当 时 ，当 时 ，
显然 ，故 时 最小值为 .
故选：B
变式4、（2022·湖南师大附中三模）（多选题）若 ， ， ，则 的可能取值有
（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】
利用题设条件，将式子化成 ，观察得出 ，之后利用乘以1不变，结合基本不等式求得
其范围，进而得到正确答案.
【详解】
原式（当且仅当 ， 时取等号）.
故选：CD.
方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代换
的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒
数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法．(3)解决问题时关注对已知
条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型
考向三 运用消参法解决不等式问题
例3、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝－，则y的最大值为( )
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意可知，x＋3y＝－，则x＋＝－3y，因为x＞0，所以x＋＝－3y≥2＝2，当且仅当x＝，即x
＝1时等号成立，即－3y≥2，又y＞0，所以可化为3y2＋2y－1≤0，解得0＜y≤，即y的最大值为，故答
案选D．
变式1、(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)
已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是______．
【答案】
【解析】 ，
，当且仅当 ， 时取等号．
所以则 的最小值是 ，故答案为：
变式2、（2022·湖南·一模）已知 ，则 _________．
【答案】3
【分析】利用基本不等式求得 ，从而可得 ，求解出 值，代入即可得 值.
【详解】
因为 ，当且仅当 时取等号，所以 ，即 ，得 ，所以
，即 ，所以 .
故答案为：
方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和
为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值
考向四 运用基本不等式解决实际问题
例4、工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，另需投入成本C(x)(单位：万元)，当年产量
不足80千件时，C(x)＝x2＋10x；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450.已知每件商品的售价为
0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1) 写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2) 当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【解析】 (1) 因为每件商品的售价为0.05万元，所以 x千件商品的销售额为(0.05×1 000x)万元．依
题意，得当010)，DE＝y，求y关于x的函数解析式；
(2) 若DE是灌溉输水管道的位置，为节约成本，希望它最短，确定DE的位置，并求出ED长的最小
值．
【解析】 (1) 由已知得S ＝S ，
△ADE △ABC即x·AE·sin A＝·AB·AC·sin A，
即AE＝.
在△ADE中，由余弦定理，得y2＝x2＋AE2－2x·AE·cos A＝x2＋－200，
故y＝，10
