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两条直线的位置关系
10-2
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
10-2 两条直线的位置关系.........................................................1
一、主干知识................................................................2
考点1：两条直线的位置关系...............................................2
考点2：三种距离公式.....................................................2
【常用结论总结】.........................................................3
二、分类题型................................................................4
题型一 两条直线的平行与垂直..............................................4
题型二 两直线的交点与距离问题............................................5
题型三 对称问题..........................................................6
命题点1 点关于点中心对称............................................6
命题点2 点关于直线对称..............................................6
命题点3 线关于线对称................................................7
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................8一、主干知识
考点1：两条直线的位置关系
直线l ：y＝kx＋b ，l ：y＝kx＋b ，l ：Ax＋B y＋C ＝0，l ：Ax＋B y＋C ＝0(其中l 与l 是同一直线，
1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 4 2 2 2 1 3
l 与l 是同一直线，l 的法向量v＝(A ，B )，l 的法向量v＝(A ，B )的位置关系如下表：
2 4 3 1 1 1 4 2 2 2
位置关系 法向量满足的条件 l，l 满足的条件 l，l 满足的条件
1 2 3 4
AB －AB ＝0且
1 2 2 1
平行 v∥v k＝k 且b≠b
1 2 1 2 1 2
AC －AC ≠0
1 2 2 1
垂直 v⊥v k·k＝－1 AA＋B B ＝0
1 2 1 2 1 2 1 2
v 与v
1 2
相交 k≠k AB －AB ≠0
1 2 1 2 2 1
不共线
考点2：三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P(x，y)，P(x，y)．
1 1 1 2 2 2
②结论：|PP|＝.
1 2
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0与l：Ax＋By＋C ＝0之间的距离d＝.
1 1 2 2
【常用结论总结】
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l ：Ax＋By＋C ＝0与l ：Ax＋By＋C ＝0的交点的直线系方程为Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By＋
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2
C )＝0(λ∈R)，但不包括l.
2 2
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
二、分类题型题型一 两条直线的平行与垂直
【例题精析1】 若直线 与直线 平行，则a＝（ ）
A． B． 或0 C．0 D．-2
【例题精析2】 已知直线 ： ， ： ，若 ，则a的值为 .
【例题精析3】 已知直线 和直线 互相垂直，则实数 的值为 ．
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
【对点精练1】 经过两直线l ：x﹣2y+4＝0和l ：x+y﹣2＝0的交点P，且与直线l ：3x﹣4y+5＝0平行的直
1 2 3
线l的方程为（ ）
A．3x﹣4y+8＝0 B．3x﹣4y+6＝0 C．4x+3y﹣6＝0 D．4x+3y+6＝0
【对点精练2】 经过点（1，2），且平行于直线2x﹣3y+5＝0的直线方程为（ ）
A．2x﹣3y+4＝0 B．2x+3y﹣8＝0 C．3x﹣2y+1＝0 D．3x+2y﹣7＝0
【对点精练3】 直线ax+2y+4＝0与直线x+（a﹣1）y+2＝0平行，则a的值为（ ）
A．a＝2 B．a＝0 C．a＝﹣1 D．a＝﹣1或a＝2
【对点精练4】 使直线l ：3x﹣（k+2）y+3＝0与直线l ：kx+（2k﹣3）y+1＝0平行，求k＝ ．
1 2
题型二 两直线的交点与距离问题【例题精析4】 已知三条直线 交于一点，则实数 =（ ）
A． B．1
C． D．
【例题精析5】 已知直线 与 平行，则 与 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【例题精析6】 求过两条直线 和 的交点，且与 平行的直线方程 .
【例题精析7】 过直线 和 的交点，且与直线 垂直的直线方程是
．
【例题精析8】 点 到直线 ： 的距离是
【例题精析9】 已知 的顶点 ， 边上的中线 所在直线方程为 ， 的高线
所在直线方程为 ．
(1)求顶点 的坐标；
(2)求直线 的方程．
利用距离公式应注意的点
(1)点P(x ，y )到直线x＝a的距离d＝|x －a|，到直线y＝b的距离d＝|y －b|.
0 0 0 0
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．
【对点精练5】 两条平行直线 和 间的距离为 ，则 ， 分别为
A． B． C． D．【对点精练6】 已知直线 ，若 ，则 与 之间的距离为
A．1 B．2 C． D．
【对点精练7】 已知 到直线 的距离等于3，则 的值为
A． B． 或 C． 或 D．
【对点精练8】 已知直线 与 相交，则它们的交点是
A． B． ， C． D．
【对点精练9】 直线 所过定点的坐标为
A． B． ， C． D．
【对点精练10】 若直线 与 平行，则 ， 间的距离是
A． B． C． D．
【对点精练11】 两条平行线 和 的距离为 ．
题型三 对称问题
命题点1 点关于点中心对称
【例题精析10】 已知不同的两点 与 关于点 对称，则 （ ）
A． B．14 C． D．5
【例题精析11】 点 关于点 的对称点 为（ ）
A． B．C． D．
【例题精析12】 点A(2，－3)关于点B(－1,0)的对称点A′的坐标是( )
A．(5，－6) B．(－4,3) C．(3，－3) D．
命题点2 点关于直线对称
【例题精析13】 已知直线 ，则点 关于l的对称点的坐标为 .
【例题精析14】 已知直线 ，则点 关于l的对称点的坐标为 ．
【例题精析15】 点 关于直线 的对称点的坐标为 ．
【例题精析16】 若点 关于直线 对称，则 ；
．
命题点3 线关于线对称
【例题精析17】 直线 关于直线 对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析18】 已知直线： 与 关于直线 对称， 与 平行，则
（ ）A． B． C． D．2
【例题精析19】 已知直线 ： 关于直线 的对称直线为 轴，则 的方程为 .
【例题精析20】 直线 关于直线 对称的直线方程为
【例题精析21】 已知直线 的方程为 .
（1）若直线 和直线 关于点 对称，求直线 的方程 ；
（2）若直线 和直线 关于直线 对称，求直线 的方程 .
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件
列方程组解题．
【对点精练12】 如图，一次函数y＝x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（﹣2，0）是x轴上一
点，点E，F分别为直线y＝x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为（
）
A． ，F（0，2） B．E（﹣2，2），F（0，2）
C． ， D．E（﹣2，2），
【对点精练13】 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边
饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为 ，若将军
从点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，则“将军饮马”的最短总路程为
A． B．10 C． D．
【对点精练14】 直线 关于直线 对称的直线方程为
A． B． C． D．
【对点精练15】 点 关于直线 的对称点 的坐标为
A． B． C． D．
【对点精练16】 抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦
点，已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过抛物线上的点 反射
后，再经抛物线上的另一点 射出，则经点 反射后的反射光线必过点
A． B． C． D．
【对点精练17】 直线 恒过定点 ，则直线 关于点 对称的直线方程为
A． B． C． D．
【对点精练18】 直线 关于点 对称的直线方程为
A． B． C． D．
【对点精练19】 若光线从点P（﹣3，3）射到y轴上，经 y轴反射后经过点Q（﹣1，﹣5），则光线从点P
到点Q走过的路程长为 ．【对点精练20】 点 关于直线 的对称点的坐标为 ．
【对点精练21】 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中
隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马
后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，若将
军从点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军
营，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
【对点精练22】 已知 关于直线 的对称点为 ，则直线 的方程是 ．
三、分层训练：课堂知识巩固1．已知 ， 两点到直线 的距离相等，则
A．2 B． C．2或 D．2或
2．已知半径为 的圆 经过点 ，且与直线 相切，则其圆心到直线 距离的最小值
为
A．1 B． C．2 D．
3．在平面直角坐标系 中，点 在 轴上，点 在 轴上， ，点 满足 ，则点 到
点 的距离的最大值为
A．3 B． C．4 D．5
4．十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点 ， ， ， 的曼哈顿距离为
．我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形
的三个顶点坐标为 ， ， ，则 的“好点”的坐标为
A． B． C． D．
5．已知直线 过定点 ，直线 过定点 ， 与 的交点为 ，则
面积的最大值为
A． B． C．5 D．106．已知从点 发出的一束光线，经 轴反射后，反射光线恰好平分圆： 的圆周，
则反射光线所在的直线方程为
A． B． C． D．
7．过点 且与原点距离最大的直线方程为
A． B． C． D．
8．已知直线 ， ，若 ，则 与 间的距离为
A． B． C．2 D．
9．已知平面内一点 ，若直线 上存在点 ，使 ，则称该直线为点 的“2 域直
线”，下列直线中不是点 的“2域直线”的是
A． B． C． D．
10．已知直线 ， ， ．动点 满足 ，则动点 到直线 距离的最
小值为
A． B． C． D．1
11．已知直线 分别与函数 和 的图象相交于 、 两点，则 、 之间的最短距离
是
A． B． C． D．
12．已知函数 的图象上一点 ， ， ，则 的最小值为A．2 B． C．3 D．
13．已知点 在动直线 上的投影为点 ，若点 ，则 的最大值为
A．1 B． C．2 D．
14．直线 关于点 ， 对称的直线方程
A． B． C． D．
15．圆 的圆心到直线 的距离为 ．
16．已知直线 ． ．若 ，则 ，此时 与 之间的距离为
．
