文档内容
第 02 讲 两条直线的位置关系
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：直线平行与垂直的判定.....................................................................................................4
知识点2：三种距离.............................................................................................................................5
解题方法总结........................................................................................................................................5
题型一：两直线位置关系的判定........................................................................................................7
题型二：两直线的交点与距离问题....................................................................................................9
题型三：有关距离的最值问题..........................................................................................................14
题型四：点关于点对称......................................................................................................................23
题型五：点关于线对称......................................................................................................................25
题型六：线关于点对称......................................................................................................................27
题型七：线关于线对称......................................................................................................................29
题型八：直线系方程..........................................................................................................................31
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................33
05课本典例·高考素材........................................................................................................................34
06易错分析·答题模板........................................................................................................................37
易错点：两平行直线间的距离公式应用错误..................................................................................37
答题模板：已知两直线平行或垂直求参数......................................................................................37考点要求 考题统计 考情分析
高考对两条直线的位置关系的考查比较
（1）两条直线的平行 稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不
2022年上海卷第7题，5分
与垂直 大，备考时应熟练掌握两条直线的位置关
2020年III卷第8题，5分
（2）两直线的交点与 系、距离公式、对称问题等，特别要重视两
2020年上海卷第7题，5分
距离问题 条直线的位置关系以及点到直线的距离公式
这两个考点．
复习目标：
（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
（2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．
（3）掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识点1：直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
两直线方程 平行 垂直
（斜率存在） 或 或 中有一个为
0，另一个不存在．
（斜率不存在）
【诊断自测】（多选题）已知两条直线 ， 的方程分别为 与 ，下列结论正确
的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则两条平行直线之间的距离为
C．若 ，则 D．若 ，则直线 ， 一定相交
【答案】AD
【解析】两条直线 ， 的方程分别为 与 ，它们不重合，
若 ，则 ，得 ，检验符合，故A选项正确；
若 ，由A选项可知， ： ，直线 的方程可化为 ，
故两条平行直线之间的距离为 ，故B选项不正确；
若 ，则 ，得 ，故C选项不正确；
由A选项知，当 时， ，所以若 ，则直线 ， 一定相交，故D选项正确.
故选：AD.知识点2：三种距离
1、两点间的距离
平面上两点 的距离公式为 ．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2、点到直线的距离
点 到直线 的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点 到l的距离 ；若直线为l：y=n，则点 到l
的距离
3、两条平行线间的距离
已知 是两条平行线，求 间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设 ，则 与 之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
4、双根式
双根式 型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性
求解．
【诊断自测】（多选题）已知点 到直线 的距离为3，则实数 等于（ ）
A．0 B． C．3 D．2
【答案】AB
【解析】依题意 ，即 ,解得 或 .
故选：AB.
解题方法总结
1、点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点 关于点 的对称点为 ，则根据中点坐标公式，有
可得对称点 的坐标为
2、点关于直线对称
点 关于直线 对称的点为 ，连接 ，交 于 点，则 垂直平分
，所以 ，且 为 中点，又因为 在直线 上，故可得 ，解出
即可．
3、直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求
出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4、直线关于直线对称
求直线 ，关于直线 （两直线不平行）的对称直线
第一步：联立 算出交点
第二步：在 上任找一点（非交点） ，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出 方程
5、常见的一些特殊的对称
点 关于 轴的对称点为 ，关于 轴的对称点为 ．
点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ．
点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ．
点 关于点 的对称点为 ．
点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ．
6、过定点直线系
过已知点 的直线系方程 （ 为参数）．
7、斜率为定值直线系
斜率为 的直线系方程 （ 是参数）．
8、平行直线系
与已知直线 平行的直线系方程 （ 为参数）．
9、垂直直线系与已知直线 垂直的直线系方程 （ 为参数）．
10、过两直线交点的直线系
过直线 与 的交点的直线系方程：
（ 为参数）．
题型一：两直线位置关系的判定
【典例1-1】（湖北省“宜荆荆恩”2024届高三9月起点考试数学试题）已知两条直线
，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时， ，则 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【典例1-2】已知 ， ，直线 和 垂直，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，直线 ， ，且 ，
，即 ．
则 ，当且仅当 时，等号成立，
故 的最小值为8，
故选：B．
【方法技巧】
【解题方法总结】
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设
（ 不全为0）， （ 不全为0），则：
当 时，直线 相交；当 时， 直线平行或重合，代回检验；
当 时， 直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．
【变式1-1】直线 与直线 相交，则实数 的值为（ ）
A． 或 B． 或
C． 且 D． 且
【答案】D
【解析】由直线 与直线 相交，得 ，
即 ，解得 且 ，
所以实数k的值为 且 .
故选：D
【变式1-2】点 为直线 上不同的两点，则直线 与直线
的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．重合 D．不确定
【答案】A
【解析】由点 为直线 上不同的两点，
则直线 与直线 的斜率存在时一定为 ，
可以把这两个斜率看成直线上两点到原点的斜率的倒数，
由已知可得 ，则 ，即两直线不可能平行与重合，则只能相交;
若直线 与直线 的斜率有一个不存在，则另一个斜率必存在，也能判定两直线
相交；
故选：A.
【变式1-3】（2024·高三·广东·开学考试）已知直线 ，直线 ，则
是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】因为 或 ，
所以 是 的充分不必要条件．
故选：A．【变式1-4】（2024·高三·上海宝山·开学考试）已知集合 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A．存在 ，使得
B．当 时，
C．当 时，
D．对任意的 ，都有
【答案】D
【解析】对于A， 表示过定点 ，且斜率不为 的直线，
集合 表示直线 上所有的点， ，A错误；
对于B，当 时， ， ，
由 得： ， ，B错误；
对于C，当 时， ，满足 ；
当 ，即 时，直线 与 平行，
，解得： ；
综上所述：当 时， 或 ，C错误；
对于D，若 ，则 且直线 与 重合，
，方程组无解， ，D正确.
故选：D.
题型二：两直线的交点与距离问题
【典例2-1】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）已知直线 与直线 交于 ，
则原点到直线 距离的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B【解析】因为两直线交于 ，
则 ，即 ，且 ，则 ；
由原点到直线 的距离
由 ，
则 ，当且仅当 时， 取最大值 ，此时 .
即两直线重合时，原点到直线的距离最大.
故选：B.
【典例2-2】若直线 与直线 的交点在第一象限，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，即交点为 ，
因为交点在第一象限，所以 .
故选：A
【方法技巧】
两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．
【变式2-1】已知点 ， ， ，则 的面积为 ．
【答案】5
【解析】设 边上的高为 ，则 就是点C到AB所在直线的距离．
易知 ．
由两点式可得 边所在直线的方程为 ，即 ．
点 到直线 的距离 ，
所以 的面积为 ．故答案为：5
【变式2-2】已知平面上点 和直线 ，点P到直线l的距离为d，则 .
【答案】 /4.5
【解析】依题意，直线 ，而点 ，
所以 .
故答案为：
【变式2-3】已知直线 ，则点 到直线 的距离的最大值为 .
【答案】
【解析】直线 ，即 ，
由 ,解得 ， ，所以直线 恒过定点 ，
当直线l与直线AP垂直时，点 到直线 的距离的最大，
最大值为 ，
所以点 到直线 的距离的最大值为 ，
故答案为：
【变式2-4】已知点 ，若直线l过点 ，且A、B到直线l的距离相等，则直线l的
方程为 .
【答案】 或
【解析】依题意， 到直线 的距离相等.
的中点为 ，
当 过 以及 时，
直线 的方程为 .直线 的斜率为 ，
当直线 过 并与 平行时，
直线 的方程为 .
综上所述，直线 的方程为 或 .
故答案为： 或
【变式2-5】 ，与直线 平行，则直线 与 的距离为 .
【答案】
【解析】因为 // ，所以 ，解得 ，
， ，
由两平行直线的距离公式可得： ，
故答案为：
【变式2-6】若恰有两组的实数对 满足关系式 ，则符合题意的 的值为
.
【答案】 /
【解析】 可以看成点 到直线 ： 的距离 ，
可以看成点 到直线 ： 的距离 ，
由已知可得， ， ： 不过原点，
又由恰有两组的实数对 满足关系式 ，
所以可以看成有且仅有两条直线满足 ，直线 方程： ，
所以满足题意的直线 ：
第一条是线段 的垂直平分线，当 ： 是 的垂直平分线时，
因为 ，所以 ，符合题意；
第二条只能取自与直线 平行的两条直线中的一条，且此时另一条直线过原点，
此时第二条直线的方程为 ，
所以此时 ，即 ，符合题意；所以 .
故答案为： .
【变式2-7】（2024·全国·模拟预测）已知直线 和 与x轴围成的三角形是等腰三角形，
则k的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令直线 的倾斜角分别为 ，则 ，
当围成的等腰三角形底边在x轴上时， ， ；
当围成的等腰三角形底边在直线 上时， 或 ，
因为 ，且 ，解得 ，
所以 ，或 ；
当围成的等腰三角形底边在直线 上时， ，则 .
故选：D．
题型三：有关距离的最值问题
【典例3-1】我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问
题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当 取得最小值时，
实数 的值为（ ）A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】 ，
表示平面上点 与点 ， 的距离和，
连接 ，与 轴交于 ，此时直线 方程为 ，
令 ，则
的最小值为 ，此时
故选：C．
【典例3-2】设 ，其中
.则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 表示： ，
，则直线 的方程为 ，令 ，则 ，
所以直线 与 轴相交于点 ，
所以 ，
所以 ，当点P为 时，等号成立，故 的最小值为9.
故选：B.
【方法技巧】
数学结合，利用距离的几何意义进行转化．【变式3-1】已知 ， ， ， 为四个实数，且 ， ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
所以
，
而 可看做 轴上动点 与两定点 的距离和，如图，
由图可知当 运动到 时， 最小，最小值为 ，
所以 的最小值为 .
故选：D
【变式3-2】已知 为直线 上的一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】如图， 为点 到原点 和到点 的距离之和，即 ．设 关于直线 对称的点为 ，则 得 ，即 ．
易得 ，当A， ， 三点共线时， 取到最小值，且最小值为 ．
故选：A．
【变式3-3】 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，
，
设 ，
则 的几何意义为 的值，
如图，作点 关于x轴的对称点 ，连接 ，
与x轴的交点即为所求点P，此时 取得最小值，为 .
而 ，
即 的最小值为 ，
所以 的最小值为 .
故选：D
【变式3-4】已知实数 ，满足 ， ， ，则
的最小值是 ．【答案】 /
【解析】依题意，方程 、 分别表示以原点 为圆心，2、3为半径的圆，
令 ，即点 分别在 、 上，如图，
显然 ， ，即有 ，
，取线段 中点 ，连接 ，则 ，
因此点 在以原点为圆心， 为半径的圆上，
而 ，
即 表示点 到直线 的距离和的 倍，
过 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ，过 作 垂直于直线 于点 ，
于是 ， ，
，原点 到直线 的距离 ，
显然 ，当且仅当点 共线，且点 在线段 上时取等号，
所以 .
故答案为：
【变式3-5】已知点 分别在直线 与直线 上，且 ，点 ，
，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】易知 ，作出图象如下，过 点作直线 ，则 ，直线 ，过 作直线 ，与直线 交于点 ，易知四边形 为平行四边形，
故 ，且 到直线 的距离等于 到 的距离，
设 ，则 ，解得 或 （舍 ，所以 ，
而 ，且 （定值），
故只需求出 的最小值即可，显然 ，
故 的最小值为 ．
故答案为： ．
【变式3-6】（多选题）已知两点 ， 点 是直线 ： 上的动点，则下列结论中正
确的是（ ）
A．存在 使 最小 B．存在 使 最小
C．存在 使 最小 D．存在 使 最小
【答案】ABD
【解析】对于A：设点 关于直线 的对称点为 ，所以 ，所以 ，所以
，
所以 ，当且仅当 为 与 交点时满足题意，
又因为 ，即 ，
所以 ，所以 ，所以 ，故A正确；对于B：设 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时 有最小值，
此时 ，所以 ，故B正确；
对于C：如下图，根据 与 的位置关系可判断出 有最大值，无最小值，故C错误；
对于D：因为 ，取等号时 ，即 为 垂直平分线与 的交点，
因为 垂直平分线方程为 ，即 ，
所以 ，所以 ，所以 ，故D正确；
故选：ABD.
【变式3-7】（多选题）已知直线 和三点 ， ， ，过点C的直线 与x轴、
y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（ ）
A．P在直线l上，则 的最小值为
B．直线l上一点 使 最大
C．当 最小时 的方程是
D．当 最小时 的方程是
【答案】BC
【解析】对于A：设点 关于直线l的对称点为 ，
则 ，解得
，当 三点共线时取最小值.A错误；
对于B： ，当 三点共线时取最大值，
又 ，即 ，
联立 ，解得 ，
即直线l上一点 使 最大，B正确；
对于C：设 ，
当 时， ，当 时， ，
即 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
此时 ，即 ，C正确；对于D： ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
此时 ，即 ，D错误.
故选：BC.
【变式3-8】已知点 在直线 ，点 在直线 上，且 ，
的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【解析】由已知 表示点M(x ,y )到点 的距离，
1 1
表示点N(x ,y )到点 的距离，
2 2
所以 ，
过点 作 ，垂足为 ，
因为直线 的方程为 ， ，
所以 ，
又直线 与直线 平行， ，
所以 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 ，
又 ，当且仅当 三点共线时等号成立，
所以当点 为线段 与直线 的交点时，
取最小值，最小值为 ，
因为过点 与直线 垂直的直线的方程为 ，
联立 ，可得 ，所以点 的坐标为 ，所以 ，
所以 的最小值为 ，
故选：D.
【变式3-9】过定点A的动直线 和过定点B的动直线 交于点M，则 的
最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】由题意知 过定点 ,
动直线 即 过定点 ，
对于直线 和动直线 满足 ，
故两直线垂直，
因此点M在以 为直径的圆上， ，
则 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为 ，
故选：C
【变式3-10】已知 ， 为实数，代数式 的最小值是 .
【答案】10
【解析】设点 ，
则
，
当且仅当 分别为 连线与两坐标轴的交点时，等号成立.故答案为：10.
题型四：点关于点对称
【典例4-1】直线l经过点 ，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， .
【答案】
【解析】设A(a,0)， ，
∵P为AB中点，∴ ，
解得 ， ，
即 ， ，
所以
故答案为： .
【典例4-2】已知 ， ，点 是线段 的中点，则 .
【答案】
【解析】由中点坐标公式知： ， ，解得： ， ， .
故答案为： .
【方法技巧】
求点 关于点 中心对称的点 ，由中点坐标公式得
【变式4-1】已知点 在 轴上，点 在 轴上，线段 的中点 的坐标为 ，则线段 的长度为
.
【答案】【解析】在平面直角坐标系中， ，
则 为直角三角形，且 为斜边，
故 .
故答案为：
【变式4-2】设点A在x轴上，点B在y轴上， 的中点是 ，则 等于
【答案】
【解析】根据点A在x轴上，点B在y轴上，且 的中点是 ，利用中点坐标公式得到A，B的坐
标，再利用两点间的距离公式求解.因为点A在x轴上，点B在y轴上，且 的中点是 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
【变式4-3】已知直线l与直线 及直线 分别交于点P，Q．若PQ的中点为点 ，
则直线l的斜率为 ．
【答案】
【解析】设 ，则 ．由点Q在直线 上，得 ， ．故 ．
所以直线l的斜率为 ，所以
故答案为
【变式4-4】已知直线 与直线 和 的交点分别为 ，若点 是线段
的中点，则直线 的方程为 .
【答案】
【解析】因为直线 与直线 和 的交点分别为 ，
设 ，
因为点 是线段 的中点，由中点公式可得 ，
解得 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故答案为： .题型五：点关于线对称
【典例5-1】将一张坐标纸对折，如果点 与点 重合，则点 与点 重合.
【答案】
【解析】已知点 与点 ，可知线段 的中点为 ，
且 ，则线段 的中垂线的斜率 ，
则线段 的中垂线方程为 ，即 ，
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，
所以所求点为 .
故答案为： .
【典例5-2】点 关于直线 对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设所求对称点的坐标为 ，
则 ，解得 ，
故点 关于直线 对称的点的坐标为 .
故选：D.
【方法技巧】
求点 关于直线 对称的点
方法一：（一中一垂），即线段 的中点M在对称轴 上，若直线 的斜率存在，则直线 的
斜率与对称轴 的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点方法二：先求经过点 且垂直于对称轴 的直线（法线） ，然后由 得线段 的中
点 ，从而得
【变式5-1】若直线 和直线 关于直线 对称，则直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为直线 过定点 ，
点 关于直线 对称的点为 ，
故直线 恒过定点 .
故选：C
【变式5-2】一条光线从点 射出，经直线 反射后经过点 ，则反射光线所在直线的
方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，化简得 ，解得 ，
故反射光线过点 ，
则反射光线所在直线的方程为 .
故选：B.
【变式5-3】在等腰直角三角形ABC中， ，点P是边AB上异于A，B的一点，光从点P出发
经 反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR经过 的重心，则 .
【答案】
【解析】依题意，以点A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴建立平面直角坐标系，如图，则 ， ， ， 的重心G的坐标为 ，
设点P的坐标为 ， ，则点P关系y轴对称点 ，
设点P关于直线 对称点 ，显然直线BC的方程为 ，
于是 ，解得 ，即点 ，
由光的反射定律知，光线 过点 ，也过点 ，而光线 经过 的重心 ，因此点 共线，
则有 ，整理得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
题型六：线关于点对称
【典例6-1】直线 关于点 对称的直线方程为 ．
【答案】
【解析】在直线 上取点 、 ，
点 关于点 的对称点为 ，点 关于点 的对称点为 ，
直线 的斜率为 ，
所以，所求直线方程为 ，即 .
故答案为： .
【典例6-2】直线 关于点 对称的直线方程为 ．
【答案】
【解析】在对称直线上任取一点 ,设 关于点 对称的点为 ，由于
在直线 上，所以 ，即 ，
故答案为：【方法技巧】
求直线l关于点 中心对称的直线
求解方法是：在已知直线l上取一点 关于点 中心对称得 ，再利用 ，由
点斜式方程求得直线 的方程（或者由 ，且点 到直线l及 的距离相等来求解）．
【变式6-1】直线 关于点 对称的直线 的方程为 ．
【答案】
【解析】设 为 上任意一点，则 关于点 的对称点为 ，
因为 在直线l上，所以 ，即直线 的方程为 ．
故答案为：
【变式6-2】直线 恒过定点 ，则直线 关于 点对称的直线方程为 ．
【答案】
【解析】由 得： ，当 时， ， ；
设直线 关于 点对称的直线方程为 ，
，解得： 或 （舍），
直线 关于 点对称的直线方程为 .
故答案为： .
【变式6-3】在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个
单位长度，得到直线l.再将直线l 沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与
1 1
直线l重合.若直线l与直线l 关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 .
1
【答案】6x－8y＋1＝0
【解析】根据平移得到l：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝ ，再根据对称解得
1
b＝ ，计算得到答案.由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，
则直线l：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
1
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ，
∴直线l的方程为y＝ x＋b，直线l 为y＝ x＋ ＋b
1
取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ，，解得b＝ .
∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0.
故答案为：6x－8y＋1＝0
题型七：线关于线对称
【典例7-1】若直线 与直线 关于直线 对称，则直线 的一般式方程为 .
【答案】
【解析】设直线 上任意一点 ，则点 关于直线 对称点 ，
因为直线 与直线 关于直线 对称，所以 在直线 上，
即 ，得到直线 的一般式方程为
故答案为：
【典例7-2】直线 与直线 关于直线 对称，则直线 的倾斜角是 ．
【答案】
【解析】直线 ，故直线的斜率等于 ，
设直线的倾斜角等于 ，则 ，
且 ，故 ，
同理直线 的倾斜角为 ，
所以直线 与直线 关于直线 对称，则直线 的倾斜角是 ．
故答案为： .
【方法技巧】
求直线l关于直线 对称的直线
若直线 ，则 ，且对称轴 与直线l及 之间的距离相等．
此 时 分 别 为 ， 由
，求得 ，从而得 ．
若直线l与 不平行，则 ．在直线l上取异于Q的一点 ，然后求得 关于直线对称的点 ，再由 两点确定直线 （其中 ）．
【变式7-1】已知直线 ，直线 ，若直线 关于直线l的对称直线为 ，则直线 的
方程为 ．
【答案】 .
【解析】由题意知 ，设直线 ，在直线 上取点 ，
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ， 解得 ，即 ，
将 代入 的方程得 ，
所以直线 的方程为 .
故答案为：
【变式7-2】若直线l与直线 的夹角平分线为 ，则直线l的方程为 .
【答案】
【解析】由题意可得直线l与直线 关于直线 对称，
由于直线 上的任意一点 关于直线 的对称点为 ，
因为已知直线 ，则 的方程是 ，即 ，
故答案为： .
【变式7-3】直线 ： 关于直线 ： 的对称直线方程为 ．
【答案】
【解析】设直线 关于直线 对称的直线为 ，由 ，解得 ，
则点 在直线 上；
在直线 上取一点 ，设其关于直线 对称的点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
故答案为：
【变式7-4】直线 关于直线 的对称直线的方程为 .【答案】
【解析】设 为所求直线上一点，它关于 的对称点为 ，
则 可得 ，
由题可得 在直线 上，
所以 ，整理可得所求的对称直线方程为 .
故答案为： .
题型八：直线系方程
【典例8-1】过两直线 和 的交点且过原点的直线方程为 ．
【答案】
【解析】令所求直线为 ，
又直线过原点，则 ，
所以所求直线为 .
故答案为：
【典例8-2】经过点 和两直线 ； 交点的直线方程为 .
【答案】
【解析】设所求直线方程为 ，
点 在直线上，
，
解得 ，
所求直线方程为 ，即 ．
故答案为： .
【方法技巧】
利用直线系方程求解．
【变式8-1】已知两直线 和 的交点为 ，则过 两点的
直线方程为 .【答案】
【解析】依题意两直线 和 的交点为 ，
所以 在直线 上，
所以过 两点所在直线方程为 .
故答案为：
【变式8-2】设直线 经过 和 的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则
直线 的方程为 .
【答案】 或
【解析】方法一：由 ，得 ，
所以两条直线的交点坐标为（14，10）,
由题意可得直线 的斜率为1或-1，
所以直线 的方程为 或 ，
即 或 .
方法二：设直线 的方程为 ，整理得 ，
由题意，得 ，解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 .
故答案为： 或 .
【变式8-3】已知直线 的方程为 ，求坐标原点 到 的距离的最大值 .
【答案】
【解析】直线 的方程为 ，即
令 ，解得：
所以直线 恒过定点 ，
所以原点 到直线 的距离 ，即 到直线 的距离的最大值为 .
故答案为： .1．（2021年全国新高考II卷数学试题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.
2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
故选：A.
3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为
（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 .
故选：B.1．已知点 和 ，点P在x轴上，且 为直角，求点P的坐标.
【答案】 或 .
【解析】设 ，因为 ，
所以由勾股定理可得 ，
即 ，解得 或 ，所以点 的坐标是 或 .
故答案为： 或 .
2．已知四边形ABCD的四个顶点是 ， ， ， ，求证：四边形
ABCD为矩形．
【解析】因为四个点的横坐标各不相等，所以四边形四条边所在直线的斜率都存在，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
所以四边形 四条边两两垂直，所以四边形 四个内角都为 ，
所以四边形 是矩形.
3．如图，已知直线 与直线 ，在 上任取一点A，在 上任取一点B，连接
AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过点C作 的平行线 ，求 与 间的距离．
【解析】过A做 于D，交 于E，如图所示：因为 ，且由题意得 ，
所以 ，所以 ，
又直线 与 间的距离 ，
所以求 与 间的距离 .
4．三条直线 ， 与 相交于一点，求a的值．
【解析】解方程组 ，得 ，
∴交点坐标为：（4，﹣2），
代入直线ax+2y+8＝0，得4a﹣4+8＝0，
∴a＝﹣1．
5．已知AO是 边BC的中线，用坐标法证明 ．
【解析】取BC边所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图
设 ，(其中 )，则
，
所以 ，即证.
6．已知 ， ．
（1）求证： ，并求使等式成立的条件．（2）说明上述不等式的几何意义．
【解析】（1）证明：∵0＜x＜1，0＜y＜1，设P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如图：
则|PO| ，|PA| ，|PB| ，|PC| ，
∵|PO|+|PB|≥|BO| ，|PA|+|PC|≥|AC|
∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥ （当且仅当点P为正方形的对角线AC与OB的交点是取等号），
即x＝y 时取等号．
∴ ．
（2）对于（1）中不等式，它的几何意义是：边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于
两条对角线的和.
7．已知 为任意实数，当 变化时，方程 表示什么图形？图形有何特点？
【解析】因为方程 化简得：
为任意实数，方程表示直线.
因为 ，
所以当 ，直线 恒成立，
故直线过定点 .
易错点：两平行直线间的距离公式应用错误
易错分析： 应用两平行直线间的距离公式一定要注意两平行直线的方程对应 x，y的系数相等时，才
可利用两平行线间的距离公式求解.
【易错题1】 ，与直线 平行，则直线 与 的距离为 .【答案】
【解析】因为 // ，所以 ，解得 ，
， ，
由两平行直线的距离公式可得： ，
故答案为：
【易错题2】两平行直线 与 之间的距离为 ．
【答案】 /
【解析】由 ，可得 ，
所以 与 之间的距离为 .
故答案为： .
答题模板：已知两直线平行或垂直求参数
1、模板解决思路
当需要通过两直线的平行或垂直关系来求解参数的值时，一般的做法是首先考察这两条直线的斜率。
如果两条直线平行，那么它们的斜率相等；如果两条直线垂直，那么它们的斜率之积为-1。
这里需要特别注意，当直线垂直于x轴时，斜率不存在，此时应单独考虑。
2、模板解决步骤
第一步：将两条直线的方程均化成斜截式．
第二步：根据两直线平行或垂直，列出方程（组）．
第三步：解方程（组），求出参数的值，由两直线平行求参数后要检验两直线是否重合．
【典型例题1】已知直线 ，若 ，则 ．
【答案】0
【解析】 当 时， 当 时，若 ，可得 与 重合，
① ②
不合题意．故 ．
故答案为： .【典型例题2】已知直线 和 垂直且 ，则 的最小
值为 .
【答案】
【解析】由题意得 ，故 ，
因为 ，由基本不等式得
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：
