文档内容
§7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
课标要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出
空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解
决问题．
知识梳理
1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共
直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
相交 a ∩ α ＝ A 1 个
直线与平面
平行 a ∥ α 0 个
在平面内 a ⊂ α 无数个
平行 α ∥ β 0 个
平面与平面
相交 α ∩ β ＝ l 无数个
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们
把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：.
常用结论
1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线．( × )
(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．( × )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( × )
(4)两两相交的三条直线共面．( × )
2．(必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD－ABC D ，直线BD 与直线AA 所成角
1 1 1 1 1 1
的余弦值是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 连接BD(图略)，由于AA∥DD ，所以∠DD B即为直线BD 与直线AA 所成的角，
1 1 1 1 1
不妨设正方体的棱长为a，则BD＝a，BD＝＝a，
1
所以cos∠DD B＝＝＝.
1
3．(多选)给出以下四个命题，其中错误的是( )
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面
C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
答案 BCD
解析 反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上，
根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A正确；
如图1，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，故B错误；
如图2，a，b共面，a，c共面，但b，c异面，故C错误；如图3，a，b，c，d四条线段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D错误．
图1 图2 图3
4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则：
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
答案 (1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD
解析 (1)由题意知，EF∥AC，EH∥BD，
且EF＝AC，EH＝BD，
∵四边形EFGH为菱形，
∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)∵四边形EFGH为正方形，
∴EF＝EH且EF⊥EH，
∴AC＝BD且AC⊥BD.
题型一 基本事实的应用
例1 已知在正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别为DC ，C B 的中点，AC∩BD＝P，
1 1 1 1 1 1 1 1
AC ∩EF＝Q.求证：
1 1
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若AC交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
1
(3)DE，BF，CC 三线交于一点．
1
证明 (1)如图所示，连接BD.
1 1
因为EF是△C DB 的中位线，所以EF∥BD.
1 1 1 1 1
在正方体ABCD－ABC D 中，BD∥BD，所以EF∥BD，
1 1 1 1 1 1
所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体ABCD－ABC D 中，连接AC，
1 1 1 1 1
设A，C，C 确定的平面为α，
1 1
又设平面BDEF为β.
因为Q∈AC ，所以Q∈α.
1 1
又Q∈EF，所以Q∈β，
所以Q是α与β的公共点，
同理，P是α与β的公共点．
所以α∩β＝PQ.
又AC∩β＝R，
1
所以R∈AC，R∈α，且R∈β.
1
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF∥BD且EF0，连接AB，BC，
1 1
则异面直线AC与PD所成的角就是∠ACB 或其补角．
1
则cos∠ACB＝
1
＝，
解得x＝1(舍去负值)，
所以外接球的半径为×＝，
所以该四棱锥外接球的表面积为4π×2＝9π.
思维升华 异面直线所成角的求法
方法 解读
将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有
平移法
的平行线或者作平行线， 形成三角形求解
在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线
补形法
相应的位置，形成三角形求解
跟踪训练3 (1)(2023·莆田模拟)若正六棱柱ABCDEF－ABC DEF 的底面边长为1，高为，
1 1 1 1 1 1
则直线AE 和EF所成角的大小为( )
1
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图所示，EF∥EF，则∠AEF 即为所求．
1 1 1 1
∵AF＝EF＝1，EE＝，且∠AFE＝，
1
∴AE＝＝，
∴AE＝＝3，
1
AF＝＝，
1
∴cos∠AEF＝
1 1
＝＝，∴∠AEF＝，
1 1
即直线AE 和EF所成角的大小为.
1
(2)平面α过正方体ABCD－ABC D 的顶点A，α∥平面CB D，α∩平面ABCD＝m，α∩平
1 1 1 1 1 1
面ABBA＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
1 1
A. B. C. D.
答案 A解析 如图所示，过点A补作一个与正方体ABCD－ABC D 相同棱长的正方体，易知平
1 1 1 1
面α为平面AFE，则m，n所成的角为∠EAF.∵△AFE为正三角形，
1 1 1
∴sin∠EAF＝sin 60°＝.
1
课时精练
一、单项选择题
1．若直线上有两个点在平面外，则( )
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
答案 D
解析 根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面
外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面
内．
2．已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”
的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共
点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可
设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，
所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内．
3．已知平面α∩平面β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l＝M，过A，B，C三
点确定的平面为γ，则β∩γ是( )A．直线CM B．直线BM
C．直线AB D．直线BC
答案 B
解析 已知过A，B，C三点确定的平面为γ，则AC⊂γ.又AC∩l＝M，则M∈γ，又平面
α∩平面β＝l，则l⊂α，l⊂β，又因为AC∩l＝M，所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以
β∩γ＝BM.
4.如图，已知直三棱柱ABC－ABC 的所有棱长都相等，M为AC 的中点，则AM与BC
1 1 1 1 1 1
所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 如图，取AC的中点D，连接DC ，BD，易知AM∥DC ，
1 1
所以异面直线AM与BC 所成角就是直线DC 与直线BC 所成的角，即∠BC D，
1 1 1 1
因为直三棱柱ABC－ABC 的所有棱长都相等，可设三棱柱的棱长都为2，则DC ＝，
1 1 1 1
BD＝，BC ＝2，
1
则在△BDC 中，由余弦定理可得cos∠BC D＝＝，
1 1
即异面直线AM与BC 所成角的余弦值为.
1
5．四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕
EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成角α在旋转过程中( )
A．逐步变大 B．逐步变小
C．先变小后变大 D．先变大后变小
答案 D
解析 由题可知初始时刻ED与BF所成的角为0，如图1，故B，C错误；图1
在四边形 AEFD绕EF旋转过程中，EF⊥DF，EF⊥FC，DF∩FC＝F，DF，FC⊂平面
DFC，
所以EF⊥平面DFC，EF⊂平面EFCB，
所以平面DFC⊥平面EFCB，
故D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF上，如图2，
图2
所以一定存在某一时刻EP⊥BF，而DP⊥平面EFCB，DP⊥BF，
又DP∩PE＝P，DP，PE⊂平面DPE，
所以BF⊥平面DPE，
此时DE与BF所成的角为，然后α开始变小，
故直线ED，BF所成角α在旋转过程中先变大后变小，故A错误，D正确．
6．在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，E，F，G分别为AB，PC，AD的中点，直线BF与
EG所成角的余弦值为，则三棱锥P－EFG的体积为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 连接BD，DF，AC，CG，CE，如图，
设BF＝DF＝x，由BD∥EG，得∠FBD即为BF与EG所成的角，
在△FBD中，易知BD＝2，cos∠FBD＝＝，解得x＝.
设PB＝PC＝y，在△PFB中，2＋3－2·cos∠PFB＝y2，①
因为∠PFB＋∠BFC＝180°，故cos∠BFC＝cos(180°－∠PFB)＝－cos∠PFB，
则在△BCF中，2＋3－2·cos∠BFC＝4，
即2＋3＋2·cos∠PFB＝4，②
①＋②得＋6＝y2＋4，因为y>0，解得y＝2.
因为F为PC的中点，故V ＝V ＝V ，
三棱锥P－EFG 三棱锥C－EFG 三棱锥F－ECG
因为PA2＋PC2＝AC2，PA＝PC，所以△PAC为等腰直角三角形，
则在等腰直角三角形PAC中，易求得点P到AC的距离即点P到底面的距离为＝，
故点F到平面CEG的距离为，
S ＝S －S －S －S ＝2×2－×1×1－×2×1－×1×2＝4－－1－1＝，
△ECG ▱ABCD △AEG △CDG △CEB
故所求三棱锥的体积为××＝.
二、多项选择题
7.如图，在正方体ABCD－ABC D 中，O是DB的中点，直线AC交平面C BD于点M，
1 1 1 1 1 1
则下列结论正确的是( )
A．C ，M，O三点共线
1
B．C ，M，O，C四点共面
1
C．C ，O，B，B四点共面
1 1
D．D，D，O，M四点共面
1
答案 AB
解析 ∵O∈AC，AC⊂平面ACC A，
1 1
∴O∈平面ACC A.
1 1
∵O∈BD，BD⊂平面C BD，∴O∈平面C BD，
1 1
∴O是平面ACC A 和平面C BD的公共点，同理可得，点M和点C 都是平面ACC A 和平
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面C BD的公共点，∴点C ，M，O在平面C BD与平面ACC A 的交线上，即C ，M，O三
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点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB 与C O为异面直线，故C ，O，
1 1 1
B ，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD 与MO为异面直线，
1 1
故D，D，O，M四点不共面，故D不正确．
1
8．(2024·朝阳模拟)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝，AD＝BC＝AC＝BD＝，则( )
A．AB⊥CD
B．三棱锥A－BCD的体积为
C．三棱锥A－BCD外接球的半径为
D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为
答案 ABD
解析 将三棱锥补形为长方体，如图所示．其中BE＝BN＝1，
BF＝2，
所以AB＝CD＝，
AD＝BC＝AC＝BD＝，
连接MF，则AM∥BF，AM＝BF，
所以四边形AMFB为平行四边形，
所以AB∥MF，
又四边形MCFD为正方形，所以MF⊥CD，
所以AB⊥CD，故A正确；
长方体的体积V＝1×1×2＝2，
1
三棱锥E－ABC的体积V＝V ＝××1×2×1＝，
2 三棱锥A－BEC
同理，三棱锥N－ABD，三棱锥F－BCD，三棱锥M－ACD的体积也为，
所以三棱锥A－BCD的体积V＝2－4×＝，故B正确；
长方体的外接球的直径为＝，
所以长方体的外接球的半径为，
长方体的外接球也是三棱锥A－BCD的外接球，
所以三棱锥A－BCD外接球的半径为，故C错误；
连接MN，交AD于点O，因为MN∥BC，所以∠AOM(或其补角)为异面直线AD与BC所成
的角，
由已知OA＝AD＝，
OM＝MN＝，AM＝2，
所以cos∠AOM＝＝－，
所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为，故D正确．
三、填空题
9．已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点．若 α∩β＝l，
m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．
答案 P∈l
解析 ∵m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，
∴P∈α且P∈β，又α∩β＝l，
∴点P在直线l上，即P∈l.10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的 AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面
直线的有________对．
答案 3
解析 画出该正方体的直观图如图所示，
易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF)．故共有3对．
11．(2023·南阳模拟)如图，AB和CD是异面直线，AB＝CD＝3，E，F分别为线段AD，BC
上的点，且＝＝，EF＝，则AB与CD所成角的大小为________．
答案 60°
解析 在平面ABD中，过E作EG∥AB，交DB于点G，连接GF，如图，
∵＝，∴＝，
又＝，∴＝，
则GF∥CD，
∴∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成的角，
在△EGF中，EG＝AB＝2，GF＝CD＝1，
EF＝，
∴cos∠EGF＝＝－，
∴∠EGF＝120°，
∴AB与CD所成角的大小为60°.
12．(2023·长春模拟)如图，在底面为正方形的棱台ABCD－ABC D 中，E，F，G，H分别
1 1 1 1
为棱CC ，BB ，CF，AF的中点，对空间任意两点M，N，若线段MN与线段AE，BD 都
1 1 1不相交，则称点M与点N可视，下列与点D不可视的为________．(填序号)
①B；②F；③H；④G.
1
答案 ①②③
解析 如图所示，连接BD ，BD，DB ，EF，DE，DH，DF，DG，因为E，F分别为棱
1 1 1
CC ，BB 的中点，所以EF∥BC，
1 1
又底面ABCD为正方形，
所以BC∥AD，所以EF∥AD，
所以四边形EFAD为梯形，所以DH与AE相交，DF与AE相交，故②③不可视；
因为BD∥DB，所以四边形BDDB是梯形，
1 1 1 1
所以BD与BD 相交，故①不可视；
1 1
因为EFAD为梯形，G为CF的中点，
即G∉EF，则D，E，G，A四点不共面，
所以DG与AE不相交，
若DG与BD 相交，则D，B，G，D 四点共面，
1 1
显然D，B，B，D 四点共面，G∉平面DBB D，
1 1 1 1
所以D，B，G，D 四点不共面，即假设不成立，
1
所以DG与BD 不相交，即点G与点D可视，故④可视．
1
四、解答题
13.已知ABCD是空间四边形，如图所示(M，N，E，F分别是AB，AD，BC，CD上的点)．(1)若直线MN与直线EF相交于点O，证明：B，D，O三点共线；
(2)若E，N为BC，AD的中点，AB＝6，DC＝4，NE＝2，求异面直线AB与DC所成角的
余弦值．
(1)证明 因为M∈AB，N∈AD，
AB⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，
所以MN⊂平面ABD，
因为E∈CB，F∈CD，CB⊂平面CBD，CD⊂平面CBD，所以EF⊂平面CBD，
由于直线MN与直线EF相交于点O，
即O∈MN，O∈平面ABD，
O∈EF，O∈平面CBD，
又平面ABD∩平面CBD＝BD，则O∈BD，
所以B，D，O三点共线．
(2)解 连接BD，作BD的中点G，并连接GN，GE，如图所示，
在△ABD中，点N，G分别是AD和BD的中点，且AB＝6，
所以GN∥AB，且GN＝AB＝3，
在△CBD中，点E，G分别是BC和BD的中点，且DC＝4，
所以GE∥CD，且GE＝DC＝2，
则异面直线AB与DC所成的角等于直线GE与GN所成的角，即∠EGN或∠EGN的补角，
又NE＝2，由余弦定理得
cos∠EGN＝＝＝>0，
故异面直线AB与DC所成角的余弦值为.
14.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PC⊥底面 ABCD，四边形 ABCD 是直角梯形，
AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点．
(1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明，若不存在，
请说明理由；(2)若PC＝2，求三棱锥P－ACE的体积．
解 (1)存在．当G为PA的中点时满足条件．
如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线，
所以GE∥AB.
又AB∥DC，所以GE∥DC，
所以G，E，C，D四点共面．
(2)因为E是PB的中点，
所以V ＝V ＝V .
三棱锥P－ACE 三棱锥B－ACE 三棱锥P－ACB
又S ＝AB·AD＝×2×1＝1，
△ABC
V ＝PC·S ＝，
三棱锥P－ACB △ABC
所以V ＝.
三棱锥P－ACE
15.(多选)如图，在棱长为a的正方体ABCD－ABC D 中，点P在线段BC 上运动，则下列
1 1 1 1 1
判断中正确的是( )
A．DP∥平面ABD
1 1
B．三棱锥C－ADP的体积为定值
1
C．平面PBD⊥平面ACD
1 1
D．异面直线DP与AD 所成角的范围是
1
答案 ABC
解析 对于A，连接DB，C D，AB，DB，
1 1 1 1
因为BC ∥AD，BC ⊄平面ABD，AD⊂平面ABD，所以BC ∥平面ABD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1因为DB∥DB，DB⊄平面ABD，DB⊂平面ABD，所以DB∥平面ABD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又 DB∩BC ＝B，DB，BC ⊂平面 BDC ，所以平面 ABD∥平面 BDC ，又 DP⊂平面
1 1 1 1 1 1
BDC ，所以DP∥平面ABD，故A正确；
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对于B，由点P在线段BC 上运动知平面ADP即平面ADC B，故点C到平面ADP的距离
1 1 1 1 1
不变，且△ADP的面积不变，所以三棱锥C－ADP的体积不变，故B正确；
1 1
对于C，因为四边形DCC D 为正方形，则CD⊥C D，而AD⊥平面DCC D ，CD⊂平面
1 1 1 1 1 1 1
DCC D，所以CD⊥AD，
1 1 1
又AD∩C D＝D，AD，C D⊂平面ABC D，
1 1 1 1
则CD⊥平面ABC D，而DB⊂平面ABC D，因此DB⊥CD，同理DB⊥CA，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
又CD∩CA＝C，CD，CA⊂平面ACD ，所以DB⊥平面ACD ，
1 1 1 1 1
又DB⊂平面PBD，则平面PBD⊥平面ACD ，故C正确；
1 1 1 1
对于D，由AD∥BC ，异面直线DP与AD 所成角即为DP与BC 所成角，
1 1 1 1
又△DBC 为等边三角形，当P与线段BC 的两端点重合时，DP与AD 所成角取最小值，
1 1 1
当P与线段BC 的中点重合时，DP与AD 所成角取最大值，故DP与AD 所成角的范围为，
1 1 1
故D错误．
16．(2023·孝感模拟)已知正方体ABCD－ABC D 的所有顶点均在体积为4π的球O上，则
1 1 1 1
该正方体的棱长为________，若动点P在四边形ABC D 内运动，且满足直线CC 与直线
1 1 1 1 1
AP所成角的正弦值为，则OP的最小值为________．
答案 2
解析 设正方体ABCD－ABC D 的棱长为a，球O的半径为R，
1 1 1 1
则由正方体体对角线L＝a＝2R得R＝，
所以V ＝πR3＝π3＝4π，故a＝2，
球O
因为CC ∥AA，所以AA 与AP所成角的正弦值也是，即sin∠AAP＝，
1 1 1 1
又因为AA⊥平面ABC D，AP⊂平面ABC D，所以AA⊥AP，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
故sin∠AAP＝＝，
1即＝，解得AP＝，
1
所以点P的轨迹是以A 为圆心，为半径的圆与四边形ABC D 内的一段弧，如图所示，
1 1 1 1 1
设正方形ABC D 的中心为O，连接OP，OO ，
1 1 1 1 1 1 1
因为OA＝AC ＝×＝，
1 1 1 1
所以(OP) ＝OA－AP＝，
1 min 1 1 1
所以(OP) ＝＝＝，即(OP) ＝.
min min
