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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 38 练 两条直线的位置关系（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．直线 的斜率与y轴上的截距分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线方程求出斜率及截距即可.
【详解】直线 的斜率为 ，
令 ，则 ，
所以直线 在y轴上的截距为 .
故选：B.
2．过两点 的直线的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由倾斜角与斜率及两点坐标的关系可求.
【详解】设直线斜率为 ，则 ，
故选：D.
3．直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【分析】根据截距的定义计算即可.
【详解】令 ，解得 ，故 ；
令 ，解得 ，故 ．
故选：B4．已知直线l经过点 ， ，则下列不在直线l上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解.
【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为 ，即 ，
将各个选项中的坐标代入直线方程，
可知点 ， ， 都在直线l上，点 不在直线l上．
故选：D．
5．点 ，P在直线 上， ，则P点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由点 到直线 的距离，可判断满足条件的 点的个数.
【详解】因为点 到直线 的距离为 ，
所以P点的个数是1个.
故选：B.
6．若两直线 与 互相垂直，则实数 的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根据一般式直线方程垂直的公式，即可求解.
【详解】由题意可知，两直线垂直，则 ，得 .
故选：A
7．一条光线从点 射出，与 轴相交于点 ，则反射光线所在直线在 轴上的截距为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出 点关于 轴对称点 坐标，直线 即为反射光线所在直线，由直线方程中令 得纵截
距．
【详解】 关于 轴的对称点为 ，则反射光线所在直线为 .
因为 ，所以反射光线所在直线的方程为 .
令 ，得反射光线所在直线在 轴上的截距为 .
故选：C．
8．已知直线 ： ， ： ，若 ，则 （ ）
A．1 B．－1或－3 C．1或3 D．3
【答案】D
【分析】利用两直线平行一般式方程的系数关系求解即可.
【详解】 ， ， ，
当 ，即 时， ，此时 与 不平行，
当 ，即 时，有 ，解得 ，
经检验 符合题意.
.
故选：D.
9．直线 ： ， ： ，则“ 或 ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】由充分条件和必要条件的定义
【详解】当 时，直线 ： ， ： ，两直线倾斜角分别为 和 ， ；当 时，直线 的斜率为 ， 的斜率为9， ， .
充分性成立，
直线 ： ， ： ，若 ，
则有 ，解得 或 .
必要性成立.
所以“ 或 ”是“ ”的充要条件.
故选：C
10．已知直线 与 平行，则 与 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由两直线平行的充要条件先求出参数 ，即可求出直线 的方程，然后由两平行线之间的距离公
式即可求解.
【详解】由题意直线 与 平行，
因此 ，解得 ，
所以 即为 ，
由两平行线之间的距离可知 与 的距离为 .
故选：D.
11．若直线 与直线 的交点在第一象限，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据题意得到交点坐标为 ，从而得到 ，再解不等式组即可.
【详解】 ，即交点为 .
因为交点在第一象限，所以 .
故选：A
12．若经过 和 的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线的斜率与夹角的关系求解；
【详解】由题意知， ，
解得： .
故选：A.
13．已知点 ， ，过点 的直线 与线段 相交，则 的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求得直线 和直线 的斜率，再利用数形结合法求解.
【详解】解：如图所示：，
由图象知：当 的斜率不存在时，直线与线段 相交，
故 的斜率的取值范围为 .
故选：D.
14．直线l的倾斜角是直线 倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，
则直线l的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可.
【详解】 ，
所以直线 的斜率为负值，因此直线 的倾斜角为钝角，
设直线l的倾斜角为 ，则
因为 ，所以 或 舍去
设直线l的方程为 ，则直线l与坐标轴的交点分别为 ， ，
由 ，得 ，
故直线l的方程可能是 ，显然ABD不符合，，或 ，
故选：C
15．已知点 ， ，若直线 ： 与线段 有公共点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线 ： 过定点 ，求出 ，再根据直线 ： 与线段
有公共点，利用数形结合法求解.
【详解】解：如图所示：
直线 ： 过定点 ， ，
因为直线 ： 与线段 有公共点，
所以 ，
故选：D
16．如果 ， ，那么直线 不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】判断直线在x轴和y轴上截距的正负，作出直线的图象可得出结论．
【详解】如果 ， ，则 ，可知：直线 在x轴上的截距为 ，在y轴上的截距为 ，
如下图所示：
所以直线 不通过第二象限．
故选：B．
二、多选题
17．已知直线 ： ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则直线 的倾斜角为 B．若直线 在两坐标轴上的截距相等，则
C． ，原点 到直线 的距离为5 D．直线 与直线 垂直，则
【答案】AD
【分析】求出直线方程，即可求出斜率与倾斜角，即可判断A，分直线经过原点和不过原点，即可判断
B，求出直线过定点坐标，即可判断C，由两直线垂直斜率之积为 ，求出直线的斜率，即可判断D.
【详解】对于A，若 ，直线 的方程为 ，即 ，
则斜率为 ，所以其倾斜角 ，故A正确；
对于B，当直线经过原点时，即 ，解得 ，则直线方程为 ，在两坐标轴上截距相等，都
为 ，
当直线不经过原点时，则 ，即 ，
若直线 的在两坐标轴的截距相等，必有 ，解可得 ，符合题意，
故 或 ，即B错误；
对于C，直线 ，即 ，
令 ，解得 ，直线 恒过点 ，设 ，则 ，
所以原点到直线 的距离 ，不存在 满足条件，故C错误；
对于D，若直线 与直线 垂直，则直线 的斜率 ，则有 ，解可得 ，故D正确；
故选：AD．
18．已知直线 ，其中 ，则（ ）
A．当 时，直线 与直线 垂直
B．若直线 与直线 平行，则
C．直线 过定点
D．当 时，直线 在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【分析】对于A，求出直线方程，根据斜率的关系判断，对于B，由两直线平行直接列方程求解判断，对
于C，由 求出 的值可得直线过的定点，对于D，当 时，求出直线方程，然后求出直线在两坐
标轴上的截距进行判断.
【详解】对于A，当 时，直线 的方程为 ，其斜率为1，而直线 的斜率为－1，
所以当 时，直线 与直线 垂直，所以A正确；
对于B，若直线 与直线 平行，则 ，解得 或 ，所以B错误；
对于C，当 时， ，与 无关，故直线 过定点 ，所以C正确；
对于D，当 时，直线 的方程为 ，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错
误，
故选：AC．
19．下列说法正确的是（ ）A．直线 的倾斜角 的取值范围是
B．点 关于直线 的对称点为
C．过点 ，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 的方程为
D．直线 的方向向量为 ，则该直线的倾斜角为
【答案】ABD
【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系、关于直线对称的性质、方向向量的定义逐一判断即可.
【详解】对A：直线 的倾斜角为 ，则 ，
因为 ，所以 ，故A正确；
对B：点 和 的中点 在直线 上，且连线的斜率为 ，
可得与直线 垂直，所以点 关于直线 的对称点为 ，故B正确；
对C：设直线与 轴交点为 ，则与 轴交点为 ，
当 时，直线过原点，斜率为 ，故方程为 ；
当 时，直线的斜率 ，故直线方程为 ，
即 ，故C错误；
对D：设直线 的倾斜角为 ，则 ，
又因为 ，故 ，故D正确，
故选：ABD.
20．下列结论错误的是（ ）A．过点 ， 的直线的倾斜角为
B．若直线 与直线 垂直，则
C．直线 与直线 之间的距离是
D．过 两点的直线方程为
【答案】ACD
【分析】对A，利用斜率得到角度；对B，根据斜率乘积为-1，计算可得；对C，利用平行线之间的距离
公式计算可判断；对D，直线方程两点式成立条件即可判断.
【详解】对A，设直线倾斜角为 ，则 ，所以倾斜角不是 ，故错误；
对B，由两条直线垂直，则 ，故正确；
对C，直线 ，即 ，
所以与直线 之间的距离是 ，故错误；
对D，过 两点的直线方程为 ，故错误.
故选：ACD
三、填空题
21．请写出直线 的一个方向向量 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据直线方向向量的定义运算求解.
【详解】令 ，则 ，解得 ，可得点 ，
令 ，则 ，解得 ，可得点 ，所以直线 的一个方向向量 .
故答案为： .
22．若直线 与直线 垂直，则实数 .
【答案】
【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可.
【详解】因为直线 与直线 垂直，
所以 ，解得 ，
故答案为： .
23．使三条直线 ， ， 不能围成三角形的实数m的值为 ．
【答案】 或 或
【分析】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形，由此求出m的值，
即得答案.
【详解】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形．
若三条直线交于一点，由 ，得直线 ， 交点坐标为 ，
把 代入到直线 ，得 ；
若有两条直线平行或重合时，有两条直线的斜率相等，这三条直线的斜率分别为 ，
所以 或 ．
综上， 或 或 时，直线 ， ， 不能围成三角形,
故答案为： 或 或
24．直线 与直线 平行，则 .
【答案】－2【分析】利用两直线平行：斜率相等，纵截距不等即可求出结果.
【详解】由 ，得到 ，
因为 ，所以 ，由 ，得到
所以 ，即 ，解得 ，
故答案为： .
25．已知点P，Q的坐标分别为 ， ，直线l： 与线段PQ的延长线相交，则实数m
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求出 的斜率，再利用数形结合思想，分情况讨论出直线的几种特殊情况，综合即可得到答
案.
【详解】如下图所示，
由题知 ，
直线 过点 .
当 时，直线化为 ，一定与 相交，所以 ，
当 时， ，考虑直线 的两个极限位置.
（1） 经过 ，即直线 ，则 ；
（2） 与直线 平行，即直线 ，则 ，因为直线 与 的延长线相交，
所以 ，即 ，
故答案为：
26．已知点 ， ，若直线 与线段 （含端点）相交，则k的取值范围为
．
【答案】
【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，数形结合求得实数k的取值范围．
【详解】由 可得 ，可知直线 为过定点 ，斜率为 的直线，
可得 ，
若直线 与线段 （含端点）相交，则 或 ，
所以k的取值范围为 .
故答案为： .
27．已知直线 过点 ，且分别与 轴的正半轴、 轴的正半轴交于 两点， 为原点，则
面积最小值为 ．
【答案】
【分析】设直线 的方程为 ，由题意可得 ，根据三角形的面积公式及基本不等式即可求解.
【详解】依题意，设直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，
则直线 的方程为 ，
直线 过点 ， ，
，
，
，即 ，
当且仅当 ， 即 时取等号，
面积最小值为 .
故答案为： .
28．已知直线 ，则点 关于l的对称点的坐标为 .
【答案】
【分析】设对称点 ，根据线段 中点在直线 上， 所在直线与直线 垂直，即斜率相乘为
，代入坐标即可求解.
【详解】设对称点 ，线段 中点为 ，
则 ，解得 ，
点 关于直线 的对称点坐标为 .
故答案为： .29．若 ， ，点 在线段 （含端点）上移动，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】由 表示动点 与定点 之间的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】因为 ， ，可得直线 的方程为 ，
又由 表示动点 与定点 之间的距离，
由点到直线的距离公式，可得 ，
又由 ，则过点 与 垂直的直线的斜率为 ，
此时直线方程为 ，即 ，
联立方程组 ，解得 ，满足题意，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
30．已知直线 ，若直线 的倾斜角 ，求实数 的取值范围
【答案】
【分析】根据直线斜率与倾斜角的之间的关系，结合正切函数的性质进行求解即可.
【详解】由直线 的方程可知该直线的斜率为 ，
所以有 ，
因为 ，
所以 ，因此实数 的取值范围为 ，
故答案为：
31．光线由点 射到直线 上，反射后过点 ，则反射光线所在直线的一般式方程为
．
【答案】
【分析】首先求点 关于直线 的对称点 ，再根据点 也在反射光线上，即可求解.
【详解】设点 关于直线 的对称点 ，
则 ，解得： ，即 ，
点 在反射光线上，则 ，
，整理为 ，
所以反射光线所在直线方程的一般式为 .
故答案为：
32．已知直线 与 互相垂直，垂足为 ，则 的值是
【答案】
【分析】由两直线垂直，可求出a的值，又垂足 为两直线交点，列方程组求解可得b，c的值，从而
即可得答案.
【详解】因为两直线互相垂直，所以 ，解得 ，
又垂足 既在前一条直线上，也在后一条直线上，
所以 ，解得 ，
所以 .故答案为： .
33．直线 的方程为： ，若直线 不经过第二象限，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，分类讨论，当 或 时，根据直线 不经过第二象限，列出不等式方程，
计算可得答案.
【详解】（1） ，即 时，直线 为 ，满足 不经过第二象限；
（2） ，即 时，直线 的方程化简为： ， 不经过第二象限，则有
，解得 ；
综上，得 时满足 不经过第二象限.
故答案为：
34．如图，在等腰直角三角形 中， ，点 是边 上异于 的一点，光线从点 出发，
经 发射后又回到原点 ，若光线 经过 的重心，则 长为 .
【答案】
【分析】以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，得到直线 的方程和 的重心 ，设
分别是点 关于直线 和 轴的对称点，设 ，求得 ，结合 ，求得 的
值，即可求解.【详解】以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则 ，
所以直线 的方程为 ，且 的重心 ，
设 分别是点 关于直线 和 轴的对称点， 设 ，
设 ，可得 ，解得 ，即 ，
又由 ，根据光的反射原理，可知 四点共线，
所以 ，即 ，解得 ，即 长为 ，所以 长为 .
故答案为： .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．已知直线 ， 互相垂直，则实数 的值为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】A
【分析】根据两一般式直线相互垂直求 的值，注意验证求得 的值是否满足直线方程.
【详解】因为直线 ， 互相垂直，
所以 ，所以 或 ，当 ，直线 不存在，故 .
故选：A
2．已知点 到直线l： 的距离为d，则d的可能取值是（ ）
A．0 B．1 C． D．4
【答案】AB
【分析】根据直线过定点求出点P到直线的最大距离即可判断选项.
【详解】由 ，
解方程组 ，
即直线 过定点 ，则 ，
显然 ，即C、D错误，A、B正确.
故选：AB
3．一条沿直线传播的光线经过点 和 ，然后被直线 反射，则反射光线所在的直线
方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线 的交点，再根据反射光
线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解.
【详解】入射光线所在的直线方程为 ，即 ，
联立方程组 解得 即入射点的坐标为 ．设 关于直线 对称的点为 ，
则 解得 ，即 ．
因为反射光线所在直线经过入射点和 ，
所以反射光线所在直线的斜率为 ，
所以反射光线所在的直线方程为 ，即 ．
故选：D.
4．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代入
民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系 中，一条光线
从点 射出，经 轴反射后的光线所在的直线与圆 相切，则反射光线所在直线的
斜率为（ ）
A． B． 或1 C．1 D．2
【答案】C
【分析】由对称性可知反射光线过 且又在该圆上，即可得 为切点，再由斜率乘积为 即可求出
答案.
【详解】易知 关于 轴的对称点为 ，
由平面镜反射原理，反射光线所在的直线过 且与该圆相切，
将圆 化简后可得 ，所以圆心 ，
易知 在该圆上，所以 即为切点，
因此圆心与切点连线与反射光线垂直，设反射光线所在直线的斜率为 ，
即 ，解得
故选：C．5．已知直线 ，点 ，记 到 的距离为 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线所过定点，再由 及直线系表示的直线可求出结果.
【详解】当 时，直线 过点 ， 到 的距离为 ；
由直线 ，可得 ，
由 ，可解得 ，
即直线 过定点 ，
则 ， ，
当直线 与直线 垂直时， 最大，
令 ，m的值不存在，即这样的直线l不存在，
所以 ．
故选：B．
6．不论实数 取何值时，直线 都过定点 ，则直线 关于点 的对
称直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出定点坐标，设直线 关于点 的对称直线方程为 ，则，解方程即可得出答案.
【详解】由 可得： ，
令 ，解得： ，
所以 ，设直线 关于点 的对称直线方程为： ，
则 到直线 与 的距离相等，
所以 ，解得： ，即 （舍去）或 .
故直线 关于点 的对称直线方程为： .
故选：D.
7．已知直线 ，若直线 与连接 两点的线段总有公共点，则
直线 的倾斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出直线 过的定点，利用数形结合方法求出直线 的斜率范围，进而求出倾斜角范围.
【详解】直线 ，由 ，解得 ，即直线 过定点 ，
设直线 的斜率为 ，直线 的倾斜角为 ，则 ，
显然直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
由于直线 经过点 ，且与线段 总有公共点，则 ，即 ，又 ，于是 ，因此 或 ，
所以直线 的倾斜角的取值范围是 .
故选：D
8．已知直线 ，若直线 与连接 、 两点的线段总有公共点，则直线 的倾斜角
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线过定点，即可根据斜率公式求解边界线的斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】直线 的方程可得 ，所以，直线 过定点 ，
设直线 的斜率为 ，直线 的倾斜角为 ，则 ，
因为直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
因为直线 经过点 ，且与线段 总有公共点，所以 ，即 ，因为 ，所以 或 ，
故直线 的倾斜角的取值范围是 ．
故选：D．
9．直线 的倾斜角是直线 倾斜角的一半，且直线 与坐标轴所围成的三角形的面积为 ，则
直线 的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由斜率的几何意义结合二倍角公式可以先求出所求直线的斜率，再结合已知条件即可求出直线方
程.
【详解】由题意不妨设直线 与直线 的斜率分别为 ，倾斜角分别为 ，
而 ， ，又由二倍角公式 ，
所以有 ，整理得 ，解得 或 （舍去），
所以设直线 的方程为 ，
则直线 与坐标轴分别交于 ，
所以由题意直线 与坐标轴所围成的三角形的面积为 ，
解得 ，所以设直线 的方程为 ，
当 时，它可以变形为 .
故选：C.
10．已知直线 ，点 ，记 到 的距离为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】求出直线系所过定点，再由 及直线系表示的直线可求出结果.
【详解】由直线 ，可得 ，
由 可解的 ，
即直线 过定点 ，
则 ,
当 与直线 垂直时， ，当直线 过点 ，即 时， ，
又直线 无论 取何值，不能表示直线 ，
所以 ，
故选：B
11．已知直线 ，若直线 与连接 、 两点的线段总有公共点，
则直线 的倾斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出直线 过的定点，利用数形结合方法求出直线 的斜率范围，进而求出倾斜角范围.
【详解】直线 ，由 ，解得 ，即直线 过定点 ，
设直线 的斜率为 ，直线 的倾斜角为 ，则 ，
显然直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
由于直线 经过点 ，且与线段 总有公共点，则 ，即 ，又 ，于是 ，因此 或 ，
所以直线 的倾斜角的取值范围是 .
故选：D
12．已知圆O： 和点 ，点 ，M为圆O上的动点，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，由三角形相似得到 ，当 三点共线时，
取得最小值，利用两点间距离公式求出最小值.
【详解】取 ，连接 ，
则 ，又 ，
所以 ，
又 ，故 ∽ ，
故 ，从而 ，
所以 ，当 三点共线时， 取得最小值，
最小值为 .
故选：C
二、多选题
13．满足下列条件的直线 与 ，其中 的是（ ）
A． 的倾斜角为 ， 的斜率为
B． 的斜率为 ， 经过点 ，
C． 经过点 ， ， 经过点 ，
D． 的方向向量为 ， 的方向向量为
【答案】BCD
【分析】根据直线斜率之积为 判断ABC，再由方向向量垂直的数量积表示判断D.
【详解】对A， ， ， ，所以A不正确；对B， ， ，故B正确；
对C， ， ， ，故C正确；
对D，因为 ，所以两直线的方向向量互相垂直，故 ，故D正确.
故选：BCD
14．已知直线 ： ， ： ，则（ ）
A．若 ，则 的一个方向向量为 B．若 ，则 或
C．若 ，则 D． 恒过定点
【答案】AC
【分析】将 代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断选项
B、C；将 化简得 ，结合一次函数的性质可判断D.
【详解】对于A，当 ，直线 ： ，斜率为 ，则其一个方向向量为 ，故A正确；
对于B，若 ，当 时，显然不符合题意，
当 时，即直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则有 ，
所以 ，解得 或 ；
当 时，直线 ： ， ： ，显然两直线重合，故B错误；
对于C，若 ，当 时，显然不符合题意；
当 时可得 ，解得 ，即C正确；对于D，将 化简得 ，可知当 时，直线过 ，即不论 为何值时，直线 恒过定点
，即D错误；
故选：AC
15．已知直线 过直线 和 的交点，且原点到直线 的距离为3，则 的方程可以
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】先求得 和 的交点坐标，然后根据直线 的斜率是否存在进行分类讨论，结合原点到直线 的距
离确定正确答案.
【详解】由 解得 ，即交点为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
此时原点到直线 的距离为 ，符合题意，A选项正确.
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
即 ，
由 解得 ，
直线 的方程为 ，C选项正确.
故选：AC
16．下列结论错误的是（ ）
A．过点 ， 的直线的倾斜角为B．若直线 与直线 垂直，则
C．直线 与直线 之间的距离是
D．已知 ， ，点P在x轴上，则 的最小值是6
【答案】ACD
【分析】求出斜率判断A；利用两直线垂直关系求出a判断B；求出平行线间距离判断C；利用对称思想
求出最小值判断D作答.
【详解】对于A，直线 的斜率 ，其倾斜角小于 ，A错误；
对于B，由直线 与直线 垂直，得 ，解得 ，B正确；
对于C，直线 化为 ，因此两平行直线的距离 ，C错误；
对于D，点 关于x轴的对称点为 ，连接 交x轴于点 ，点 是x轴上任意一点，
连接 ，于是 ，
当且仅当点 与 重合时取等号，因此 ，D错误.故选：ACD
17．已知直线 ，则下列表述正确的是（ ）
A．当 时，直线的倾斜角为45°
B．当实数 变化时，直线 恒过点
C．当直线 与直线 平行时，则两条直线的距离为1D．原点到直线 的距离最大值为
【答案】ABD
【分析】A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；B选项，将直线方程整理为 ，
由此可得直线所过定点；C选项，由题可得 ，后由平行直线距离公式可判断选项；D选项，根据直
线 恒过点 判断即可.
【详解】A选项，当 时，直线方程为 ，可得直线斜率为1，则倾斜角为45°，故A正确；
B选项，由题可得 ，则直线过定点 ，故B正确；
C选项，因直线 与直线 平行，则 ，解得 ，则直线方程为：
，即 .
则 与直线 之间的距离为 ，故C错误；
D选项，因为直线 恒过点 ，故原点到直线 的距离 ，当且仅当
时取等号，故D正确.
故选：ABD
18．已知点 ， ，直线 上存在点P满足 ，则直线l的倾
斜角可能为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】BD
【分析】将 、 两点代入直线 的方程，可知点 、 不可能同时在直线 上，又 ，可判断出点的轨迹即为线段 ，把原问题转化为直线与线段恒有公共点问题，再求出两个临界值，即可判断.
【详解】将点 代入直线 得 ，再将点 代入直线
得 ，故点 、 不可能同时在直线 上，
又 ，且 ，
点 的轨迹为线段 ，即直线 与线段 恒有交点，
又 直线 ，
直线 恒过定点 ，作出示意图：
此时 ， ，
故直线 的斜率的取值范围为： ，且直线的斜率存在，
故直线 的倾斜角的取值范围为： ，
故选：BD.
三、填空题
19．设不同直线 ， ，则“ ”是“ ”的 条件.
【答案】充要【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行的判定推理作答.
【详解】当 时，两直线方程为 ， ，有 ，因此 ，
当直线 时，显然 ，于是 ，解得 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故答案为：充要
20．将一张坐标纸折叠一次，使得点 与点 重合，点 与点 重合，则
．
【答案】1
【分析】根据直线对称的性质，结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行
求解即可.
【详解】设点 为点 ，点 为点 ，所以线段 的中点为 .
设点 为点 ，设点 为点 ，所以线段 的中点为 ，
由题意可知 ，
于是有： ，
故答案为：1
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据直线对称，得到斜率之间的关系.
21．已知 的顶点 ， 边上的中线 所在的直线方程为 ， 的平分线
所在直线方程为 ，则直线 的方程为 .【答案】 .
【分析】由题意可知，点 在 上，可设点 的坐标是 ，则由 的中点在直线 上，可求出
，从而可得 ，然后设 关于直线 的对称点为 ，列方程组可求出 的坐标，
由题意可知 在直线 上，从而可求出直线 的方程.
【详解】由题意可知，点 在 上，可设点 的坐标是 ，
则 的中点 在直线 上，
所以 ，解得 ，所以 ，
设 关于直线 的对称点为 ，则有 ，解得 ，即 ，
则由 在直线 上，得直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
故答案为：
22．过直线 与 的交点，且垂直于直线 的直线方程是 .
【答案】
【分析】联立直线方程得交点坐标，再利用垂直关系及点斜式方程求解即可.
【详解】联立 ，解得 ，即交点坐标为 .
因为所求直线与直线 垂直，所以所求直线的斜率为 ，
所以所求的直线方程是： ，即 .
故答案为： .
23．已知点 、 ， 在直线 上，则 的最小值等于 .【答案】12
【分析】求出 关于 的对称点 的坐标，则 即为 的最小值.
【详解】设 关于 的对称点为
则 ，解得 ， ，
，则 ，所以 的最小值是12.故答案为： .
24．设 ，则直线 与 围成的三角形的面积的最大值为
．
【答案】2
【分析】由直线方程确定直线 ，且直线 过定点 ，直线 过定点 ，定点 都在直线 上，这样
设直线 交于 ，得出三条直线围成直角 ，利用基本不等式可得 的最大值，从而得三角形
面积最大值．
【详解】由题知直线 ，且直线 过定点 ，直线 过定点 ，点 在直线 上．
设直线 交于 ，则三条直线围成的三角形为 ，且 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，所以 ．
故答案为：2.
25．已知直线 过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别交于 ， 两点， 为坐标原点，则 的面
积取最小值时直线 的方程为 ．（答案写成一般式）
【答案】
【分析】把直线方程设出来，然后求出 两点的坐标，进而写出 的面积，然后通过基本不等式即
可求出面积的最小值,进而得到答案.
【详解】因为直线 与 轴、 轴的正半轴分别交于 两点，则可设直线 的斜率为 ，且 ，
所以直线 的方程为： 即 ，
令 ，得到 ，所以 ；令 ，得到 ，所以 .
由 ，则三角形AOB的面积为
,
当且仅当 ,即 ，因为 ，所以 ，
所以直线方程为 .
故答案为： .
26．已知直线 经过点 ，且点 ， 到直线 的距离相等，则直线 的方程为 .
【答案】 或
【分析】根据直线 与直线 的位置关系，分类讨论，可得其斜率之间的关系，求得斜率，可得答案.
【详解】设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
当直线 时，显然点 ， 到直线 的距离相等，如下图：则此时 ，由 ，且直线 过 ，
则直线 的方程为 ，整理可得 ；
当直线 与直线 相交时，作 于 ， 于 ，如下图：
若 ，由 ， ，则 ，
可得 ，即 为 的中点，其坐标为 ，
此时直线 的斜率 ，直线 的方程为 ，整理可得 .
故答案为： 或 .
27． 是直线 上的第一象限内的一点， 为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，当 面
积最小时，点 的坐标是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，设出点 的坐标，并表示出点 的横坐标，再列出三角形面积的关系式，利用均
值不等式求解作答.
【详解】依题意，设 ， ，则 ，而 ，则有 ，显然 ，于是 ，
由点 在x轴正半轴上，得 ， 面积
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 面积最小时，点 的坐标是 .
故答案为：
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知向量 满足 ，若 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用直角坐标系将向量转化为坐标，进而转化为点关于直线对称，从而求出结果.
【详解】建立如图所示直角坐标系，其中 ,
则令 ，
设 ，则 ，
， ，
，
问题等价于当点 在线段 上运动时，求 的最小值，
设点 关于 的对称点为 ，
则 ，解得 ，
,
当且仅当 为直线 与线段 的交点 时取得最小值.
这时由 ，得 ，符合题意.
故选：D.
2．若对一个角 ，存在角 满足 ，则称 为 的“伴随角”.有
以下两个命题：
①若 ，则必存在两个“伴随角” ；
②若 ，则必不存在“伴随角” ；
则下列判断正确的是（ ）
A．①正确②正确； B．①正确②错误；
C．①错误②正确； D．①错误②错误.
【答案】B【分析】将已知方程变形为 ，则 为直线
与单位圆 的交点.用圆心到直线的距离解决问题
【详解】将已知方程变形为 ，
则 为直线 与单位圆 的交点.
考虑圆心到直线的距离
，其中 .
对于①，若 ，则 ，于是 ，即 ，
直线与圆必有两个不同交点，
为直线 与单位圆 的交点，
故必存在两个“伴随角” ，即①正确；
对于②若 ，则 ，于是 ，
即直线与圆可能公共点，故可能存在“伴随角” ，即②错误；
综上，①正确②错误，
故选:B.
【点睛】关键点点睛: 把 转化为直线 与单位圆 的交点
是解题的关键点.
3．已知函数 ，给出下列四个结论：
①函数 的图像是轴对称图形； ②函数 在 上单调递减；③函数 的值域是 ； ④方程 有4个不同的实数解．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据函数解析式的几何意义，数形结合判断选项正误.
【详解】 表示x轴上的点 到 ，和 的距离之差的绝对值.
对于①，当点 在 左右对称位置时，到 ，和 的距离之差的绝对值相等，所以 的图
象是轴对称图形，①正确；
对于②， 时，点 从左向右靠近 ，到 ，和 的距离之差的绝对值变小，所以
在 上单调递减，②正确；
对于③，当点 在 时， ， 取最小值0，又因为 ，所以 值域为
，③正确；
对于④，由③得 ，当 时， ，所以 在 上有两个不同的解
， ， 和 各有两个解，故 有4个实数解，④正确.
故选：D.
【点睛】④中方程解的个数问题，注意 的值域为 ，所以 的解 需在 上， 才能
有两个解.4．已知 ，若过定点 的动直线 ： 和过定点 的动直线 ： 交于
点 （ 与 ， 不重合），则以下说法错误的是（ ）
A． 点的坐标为 B．
C． D． 的最大值为5
【答案】D
【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.
【详解】因为 可以转化为 ，
故直线恒过定点A ，故A选项正确；
又因为 ： 即 恒过定点B ，
由 和 , 满足 ，
所以 , 可得 , 故B选项正确；
所以 , 故C选项正确;
因为 , 设 为锐角,
则 ,
所以 , 所以当 时, 取最大值 ,
故选项D错误.
故选：D.
5． ， ， ， ， ，一束光线从点 出发射到 上的点 ，经 反射
后，再经 反射，落到线段 上（不含端点），则 的斜率的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意求得 关于直线 对称的点为 ，点 关于直线 的对称点为
，点 关于直线 的对称点为 ，再数形结合得到点 的变动范围，从而得到
，由此得解.
【详解】设直线 方程为 ，则 ，解得 ，即 ，即 ，
设 关于直线 对称的点为 ，则 ，解得 ，即 ， ，
同理可得：
点 关于直线 的对称点为 ，
点 关于直线 的对称点为 ，
如图所示：
利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点 时，则其先经过点 ；当这束光线反射后最终
经过点 时，则其先经过点 ；
所以点 之间为点 的变动范围，因为 ， ，所以直线 ，即直线 斜率不存在，而 ，
所以 ，即 .
故选：D
二、多选题
6．已知 为坐标原点， ， 为 轴上一动点， 为直线 ： 上一动点，则（ ）
A． 周长的最小值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为4
【答案】BCD
【分析】设 关于直线 ： 的对称点为 ， 关于 轴的对称点为 ，对于A：根据对称
性可得 ，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；
对于C：因为 ，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得
，结合点到直线的距离分析判断.
【详解】设 关于直线 ： 的对称点为 ， 关于 轴的对称点为 ，
可知 ，
对于选项A： 可得 周长 ，
当且仅当 四点共线时，等号成立，
所以 周长的最小值为 ，故A错误；对于选项B：设 到 轴，直线 ： 的距离分别为 ，
则 ，
可得 ，
所以 的最小值为 ，故B正确；
对于选项C：因为 ，
设 到直线 ： 的距离为 ，
可得 ，
所以 的最小值为 ，故C正确；对于选项D：作 ，垂足为 ，
因为直线 的斜率 ，则 ，可得 ，
则 ，
可得 ，
所以 的最小值为4，故D正确；
故选：BCD.
7． 的三个顶点到直线l的距离分别为 ，则该三角形的重心 到直线 的距离可能为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】ABC
【分析】建立平面直角坐标系，利用重心坐标、点到直线的距离公式求得三角形的重心 到直线 的距离
的范围，由此确定正确答案.
【详解】以平面 内一点 为原点，建立平面直角坐标系，
设 ，则 ，设直线 的方程为 （ 不同时为 ），
不妨设 ，
则
，
则当 同号时， 取得最大值为 ，
当 ，
或 时，
取得最小值为 ，也即 过重心 .
所以 ，所以ABC选项正确，D选项错误.
故选：ABC
三、填空题
8．若关于x的方程 ；在 上有实数根，则 的最小值是 .
【答案】
【分析】转化为点 到原点的距离平方后由点到直线的距离公式求解．【详解】由题意得存在 ，使得点 在直线 上
故点 到原点的距离最小值为 ，
当 时，取最小值 ，此时 的最小值为 ，
故答案为：
9．如图，在平面直角坐标系中，以点 为圆心作半径为1的圆，点 ， 为圆 上的动点，且
，点 为一定点，倍长 至 ，则线段 的最大值为 ．
【答案】
【分析】设 ，结合题目条件可表示D，C点坐标，后由两点间距离公式结合辅助角公式可
得答案.
【详解】设 ，因 ，倍长 至 ，则D，E中点为B，则
.
又 ，圆 半径为1，则 ，得 ，即 .
则 ，
其中 ，则当 时， .故答案为：
10．设 ，过定点A的动直线 和过定点B的动直线 交于点 ，则
的最大值 ．
【答案】9
【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可；
【详解】由题意，动直线 过定点 ，
直线 可化为 ，
令 ，可得 ，
又 ，所以两动直线互相垂直，且交点为P，
所以 ，
因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号．
【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点.
11．设x、 ，若向量 ， ， 满足 ， ， ，且向量 与 互相平行，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示可得 ，在坐标系中 ， ，将 按
向量 平移至 ，根据 轨迹为直线 ，将问题化为 最小，数形结合法求原
点到直线距离即可得结果.
【详解】由 ，又向量 与 互相平行，所以 ，故 ，
令 ， ，则 ，
所以 ，将 按向量 平移至 ，
所以 是直线 上的动点，如下图示，
所以 ，故 ，
由图知：要使 最小，只需 三点共线且 到直线 距离最短，
故 最小值为原点到直线 的距离，最小值为 ，此时题设中的x=2，
y=1.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：找到 的 ，并将其平移至 使 ，即有 ，
问题化为求点到直线距离.
12．已知点 ， 直线 ， 关于直线 的对称点为点 ， 则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用对称将向量相乘转化为求点的运动轨迹问题，做出图像即可得到 的取值范围.
【详解】解：由题意，在 中， ，
∴直线 过点
∵ 关于直线 的对称点为点
∴直线l为线段 的垂直平分线
∵直线 为过点 的任意直线，
∴ ，
∴点 和点 在以点 为圆心4为半径的圆上，
由图可知
当点 在 时， 最小，为：
当点 在 时， 最大，为：
∴ 的取值范围为
故答案为： .【点睛】本题考查数形结合的思想，考查学生的作图能力.
