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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 13 练 函数的应用和函数模型（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【答案】A
【分析】令 ，解对数方程，求出x＝10.
【详解】令 ，即 ，所以 ，因此x＝10，所以函数
的零点为10，
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.
【详解】由 在 上递减，
所以 在 上递减，
又 ， ，
所以零点所在区间为 .
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，
该产品每年的固定成本是25万元，每生产 万件该产品，需另投入成本 万元.其中，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业
每年利润的最大值为（ ）
A．720万元 B．800万元
C．875万元 D．900万元
【答案】C
【分析】先求得该企业每年利润的解析式，再利用分段函数求最值的方法即可求得该企业每年利润的最大
值.
【详解】该企业每年利润为
当 时，
在 时， 取得最大值 ；
当 时，
（当且仅当 时等号成立），即在 时， 取得最大值 ；
由 ，可得该企业每年利润的最大值为 .
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， 的零点分别
是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 ， ， 的零点看成函数 分别与 ， ， 的交点的横坐标，
分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解.
【详解】由已知条件得的零点可以看成 与 的交点的横坐标， 的零点可以看成 与 的交点的横
坐标， 的零点可以看成 与 的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出 ， ， ， 的函数图象，如下图所示,
可知 ，
故选： .
5．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其
中的核心零件是多层式结构的 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯），主要用于去除铁锈､泥沙､悬浮物等各种大
颗粒杂质.假设每一层 棉滤芯可以过滤掉 的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为 ，若
要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过 ，则 棉滤芯层数最少为（ ）（参考数据：
， ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数与对数的运算直接求解.
【详解】由题意得，经 层滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为 ， ，
则 ，得 ，所以 ，
即 ，所以 ，
解得 ， ，所以 的最小值为 ，
故选：C.
6．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）定义符号函数 ，则方程 的解是（ ）
A．2或 B．3或 C．2或3 D．2或3或
【答案】D
【分析】根据符号函数的意义，分段解方程作答.
【详解】依题意，当 时，方程 为： ，解得 或 ，因此 或 ，
当 时，方程 为： ，解得 ，于是无解，
当 时，方程 为： ，解得 或 ，因此 ，
所以方程 的解是 或 或 .
故选：D
7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数 ， ，，则函数 的
零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】先求 时，函数 的零点，再根据 为偶函数，可得 时，函数 还有一个零点
，由此可得答案.
【详解】当 时， ，所以 不是函数 的零点，
因为 ，所以 ，所以 为偶函数，
当 时， ， ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 时取得最大值 ，所以当 时， 有唯一零点 ，
又函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，所以 在 时，还有一个零点 ，
综上所述：函数 的零点个数为 .
故选：A
8．（2023·全国·高三专题练习）设 表示不超过 的最大整数，如 ，已知函数
，若方程 有且仅有 个实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 可得 ，则问题转化为 与 在 上恰有3个交点，数形结合即可
得解.
【详解】由 可得 ，依题意 与 在 上恰有3个交点，
如图所示，点 和点 为临界点，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：C
二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于x的方程 恰有两个
互异的实数解，则实数a的值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】BCD
【分析】首先根据题意画出函数 的图象，结合图象可知：当 时，直线 与
的图象有2个交点，当直线与曲线 相切在第一象限时，有2个交点，即可得到答案.
【详解】函数 的图象，如图所示：
由题意知，直线 与 的图象有2个交点．
当直线 过点 时， ，
当直线 过点 时， ．
结合图象如图可知，当 时，直线 与 的图象有2个交点，
如图所示：
又当直线 与曲线 相切在第一象限时，直线 与 的图象也有2个交点，如图所示：
，化简可得 ，由 ，得 ，
又由图可知 ，所以 ，此时切点的横坐标为2符合.
综上，实数a的取值范围是 .
故选：BCD．
10．（2023·全国·模拟预测）已知定义域为 的函数 满足 不恒为零，且 ，
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是奇函数
C． 的图像关于直线 对称 D． 在[0，10]上有6个零点
【答案】AB
【分析】通过给题中恒成立的等式赋值，求函数值，判断奇偶性、对称性和零点.
【详解】选项A：对于 ，令 ，得 ，对于 ，令 ，得
，所以 ，则 ，A正确；
选项B：由 得 ，由 得 ，所以
， 是奇函数，B正确；
选项C：由 ，得 ，所以12是 的一个周期，又 是奇函数，
所以 的图像关于点 对称，因为 不恒为零，所以 的图像不关于直线 对称，C错误；选项D：由A知 ，对于 ，令 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ， ，所以 ，所以 在 上的零点为
0，2，3，4，6，8，9，10，共8个，D错误．
故选：AB．
三、填空题
11．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）已知函数 ，则函数 的零点个数为
___________.
【答案】
【分析】当 时直接求解函数零点，当 时，转化为 与 的图象的交点个数求解即可.
【详解】解：当 时， ，解得 ；
当 时， 得 ，
易得 ，
作出函数 ， 的图象，如图，
所以，结合指数函数与幂函数性质，函数 ， 在 有两个交点，
所以当 时， 有两个实数根，所以，函数 的零点个数为
故答案为：
12．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时，
，则函数 的所有零点之和为______.
【答案】18
【分析】判断出 的对称性、周期性，画出 与 的图象，结合图象求得 的所有
零点之和.
【详解】∵ 满足 ，则 关于直线 对称，
又∵ 是定义在 上的奇函数，则 ，
即 ，则 ，
∴ 是以4为周期的周期函数，
对 ，可得 ，则 ，
∴ 关于点 对称，
令 ，则 ，
可知： 与 均关于点 对称，如图所示：
设 与 的交点横坐标依次为 ，
则 ，故函数 的所有零点之和为 .
故答案为：18.
13．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）已知函数 ，
若方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个不同的实数解a，b，c（a＜b＜c），则（a＋b）c的取值范围是
_____________．
【答案】
【分析】根据分段函数解析式画出图象，即可得出a＋b＝－2， ，进而可求（a＋b）c的范围.
【详解】依题意，
函数 的图象如图所示：
方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个不同的实数解a，b，c（a＜b＜c），
可得a＋b＝－2，f（0）＝1＝f（1）， ，
则 ，
故答案为： ．14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的两个零点一个大于2，一个小于2，且
，则 的取值范围为______
【答案】
【分析】由已知得出 ，即 ，设 ，利用待定系数法求解
得出结果.
【详解】由 的两个零点一个大于2，一个小于2可得 ，即 ，
又 ，
设 ，
则 ，解得 ，
即 ，且 ，
故3b－8a的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题
15．（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数 是偶函数.
当 时， .
(1)求函数 在 上的解析式；
(2)若函数 在区间 上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知 ，试讨论 的零点个数，并求对应的m的取值范围.【答案】(1)
(2) 或
(3)答案见解析
【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可.
（2）根据（1）做出 图像，数形结合.
（3）根据（1）做出 图像，数形结合.
【详解】（1）设 ，则
∴
∵ 为偶函数
∴
综上，有
（2）由（1）作出 的图像如图：
因为函数 在区间 上具有单调性，
由图可得 或 ，解得 或 ；
故实数 的取值范围是 或 .
（3）由（1）作出 的图像如图：由图像可知：
当 时， 有两个零点；
当 时， 有四个零点；
当 时， 有六个零点；
当 时， 有三个零点；
当 时， 没有零点.
16．（2023·全国·高三专题练习）某企业生产一种电子设备，通过市场分析，每台设备的成本与产量满足
一定的关系式.设年产量为 （ ， ）（单位：台），若年产量不超过70台，则每台设备的
成本为 （单位：万元）；若年产量超过70台不超过200台，则每台设备的成本为
（单位：万元），每台设备售价为100万元，假设该企业生产的电子设备能全部售
完.
(1)写出年利润 （万元）关于年产量 （台）的关系式；
(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少万元？
【答案】(1)
(2)当年产量80台时，年利润最大，最大值为1920万元
【分析】（1）分 ， 和 ， 两种情况分别求出函数解析式；
（2）根据二次函数与基本不等式求出各段函数的最大值，再比较即可得解.
【详解】（1）解：当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
所以 .（2）解：当 ， 时， ，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 .
当 ， 时， ，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值 ，
因为 ，所以当年产量 台时，年利润最大，最大值为 万元.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）“打水漂”是一种游戏,通过一定方式投掷石片,使石片在水面上
实现多次弹跳,弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时,将一石片按一定方式投掷出去,石片第一
次接触水面时的速度为 ,然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素,假设石片每一次接触
水面时的速度均为上一次的 ,若石片接触水面时的速度低于 ,石片就不再弹跳,沉入水底,则小赵同
学这次“打水漂”石片的弹跳次数为( )(参考数据: ).
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ,根据题意得 ,即 ,根据指数函数的单
调性和对数换底公式求解即可.
【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ,
由题意得 ,
即 ,
得 .
因为 ,
所以 ,即 .
故选：C.
2．（2023·四川成都·校考三模）已知函数 ， ，若 存在2个零点，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目转化为函数 的图像与直线 有2个交点，画出图像，根据图像知 ，解
得答案.
【详解】 存在2个零点，故函数 的图像与直线 有2个交点，
画出函数图像，如图，平移直线 ，可以看出当且仅当 ，即 时，
直线 与函数 的图像有2个交点.
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数 与函数 （ 且 ）
的图像有且仅有一个交点，则 的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，分 ， 分别做出分段函数的图像，结合图像即可得到结果.【详解】当 时，由 ，得当 时， 的周期 ．
设 ，则 ，
做出分段函数 的图像，如图
当 时，
由图可知， 显然成立．
当 时，则 ， ，即 ．
综上所述， 且 ．
故选:C．
4．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）定义在 上的奇函数 满足 ，且在
上单调递减，若方程 在 有实数根，则方程 在区间 上所有实数根之和是
（ ）
A．6 B．12 C．30 D．56
【答案】C
【分析】利用函数 是 上奇函数且满足 ，得出函数 是周期为4的周期函数，
且关于直线 对称，利用周期性和对称性，讨论出函数 在一个周期内的单调性，从而判断出方程
在一个周期内的根的个数，并利用对称性求出两根之和，从而求出方程 在区间上所有实数根之和.
【详解】因为函数 满足 ，所以函数 的图像关于直线 对称，故
，又 是 上奇函数，所以 ，所以 ，故函数
的周期为4，
考虑一个周期 ，由函数 在区间 上单调递减，又由 是 上奇函数，且关于直线 对
称，
知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
因为 ，
故当 时， ，当 ， ，
当 时， ，当 时， ，
因为方程 在区间 有实数根，则这实根是唯一的，
又因为函数 的图像关于直线 对称，则方程 在区间 有唯一实数根，方程
在区间 和区间 上没有实根，
所以方程 在一个周期内有且只有2个实数根，根据对称性，知这两根之和为2，
因为函数 在区间 上恰好3个周期，所以根据函数 周期性和对称性知，方程 在区
间 上所有实数根之和为 ,
故选：C.
二、多选题5．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知函数 ，对于任意的 ， ， ，关于
的方程 的解集可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】令 ，探讨一元二次方程 根的情况，再结合函数 的性质，即可判断作答.
【详解】令 ，则方程 化为 ，
由给定的选项知，方程 有实根，设其根为 ，
函数 定义域为R，
，在 上递减，在 上递增，
且 的图象关于直线 对称， ，
当 时，方程 无解，
当 时，方程 有一解 ，
当 时，方程 有两解且和为2，
对于A，当 时，方程 有两解且和为4，
与题意矛盾，故A不符合要求；
对于B，当 时，方程 有两解且和为2，又 关于 对称，故B符合
要求；
对于C，当 时，方程 有三个解，其中一个为1，另两个的和为2，故C
不符合要求；
对于D，当 时，方程 有四个解，必满足其中两根和与另两根和都为2，又关于 对称， 关于 对称，故D符合要求，
故选：BD.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 的零点分别为 ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由指数函数与对数函数、 的对称性知 与 关于直线 对称，
利用指数幂、对数运算的性质计算依次判断选项即可.
【详解】因为函数 与 的图象关于直线 对称， 图象也关于直线 对称，
设 与 图象的交点为A，
与 图象的交点为 ，
则 与 关于直线 对称，则 ， ．
因为 ，所以 ，则 ，即 ，
因为 的图象与直线 的交点为 ，
所以 ， ， ，则 ．
故选：ABD.
三、填空题
7．（2023·北京·高三专题练习）已知函数
①函数 的零点个数为__________．②若存在实数b，使得关于x的方程 有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．
【答案】 1
【分析】第一空，分类讨论 ，无论 ，函数都一个零点；
第二空，由第一空讨论 ， ， 值的情况，从而可得满足题意的 的范围.
【详解】第一空：当 时，可知 有一个零点 ；
当 时， 有一个零点 ；
当 时，可知 有一个零点 ；
综上函数 的零点个数为1个.
第二空：
如图所示，当 时，若要满足题意需 ，得 ；
当 时，不符题意；
如图所示，当 时，若要满足题意需 ，得 ；
综上m的取值范围是：
故答案为：1；
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数 在定义域内有两个零点，则实数a的取值范围
是______．【答案】
【分析】与函数零点有关的参数范围问题，往往需要对参数分类讨论，并利用导数研究函数的单调性和极
值情况，进而确定参数的取值范围；或通过变形转化为两个函数图象的交点问题．
【详解】解法一 第一步：求导
由 ，得 的定义域为 ， ．
第二步：对a分类，讨论函数 的零点情况
①当 时， ， 在 上单调递减，
不可能有两个零点，不符合题意．
②当 时，令 ，得 ，
则当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减．
要使 有两个零点，必有 ，得 ．
当 时， ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，所以 在 和 上各有一个零点，符合题意．
（注意： 与函数 有两个零点不等价，故求出a的取值范围后需要进一步检验
是否有两个零点）
第三步：整合结论
综上，实数a的取值范围为 ．解法二 显然 ，（点拨：当 时， ，分离参数后 会在分母上，
故需要单独讨论 的情况，要避免此种情况，也可将参数分离为 ）
当 时，由 ，得 ．
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，
当 且 时， ，
当 且 时， ，
当 时， ， ，
故可作出函数 的大致图象如图所示．
（点拔：作图时要研究当 ，1， 时函数图象的趋势，做到草图不草）
数形结合可知，当 时，直线 与函数 的图象有两个不同的交点，
即函数 有两个不同的零点，故实数a的取值范围为 ．四、解答题
9．（2023·全国·高三专题练习）某公园的赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为
30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数 与第 天近似地满足 （千人），游
客人均消费 与第 天近似地满足 （元）， 且 .
(1)求该园区第 天的旅游收入 （单位：千元）的函数关系式；
(2)记（1）中 的最小值为 （千元），若最终总利润为 （千元），试问该园区能否收回投资成本？
【答案】(1)
(2)能收回投资成本.
【分析】(1)根据 化简即可；
(2) 当 且 时，利用基本不等式求得最小值；当 且 时，利用单调性求得最小值，
最终得到 的最小值 千元，因此 万元即可判断.
【详解】（1）
；
（2）当 且 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 的最小值为1152千元；
当 且 时， 为单调递减函数，所以当 时取到最小值，最小值为1116千元.
综上， 的最小值 千元，因此 万元 万元，
能收回投资成本.
10．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）已知函数 在区间 上有最
大值2和最小值1.
(1)求 的值；
(2)不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 且方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）根据二次函数的性质，分类讨论函数的单调性，结合已知列出方程组，即可得出；
（2）由已知可转化为 在 上恒成立.根据基本不等式即可求出实数 的取值范围；
（3）由已知可推得 有三个不同的实数解.令 ，作出
的函数图象，可得 .结合函数图象，该方程一个根大于0小于1，一个根大于等于
1.令 ，根据二次函数的性质与图象，即可得出不等关系，进而求出实数 的取
值范围.
【详解】（1）由已知可得 .
当 时， 在 上为增函数，所以 ，解得 ；当 时， 在 上为减函数，所以 ，解得 .
由于 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 在 上恒成立，即 ，
因为 ，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
又 ，当且仅当 时取等号.
所以 ，即 .
所以求实数 的范围为 .
（3）方程 化为 ，
化为 ，且 .
令 ，则方程化为 .
作出 的函数图象因为方程 有三个不同的实数解，
所以 有两个根 ，
且一个根大于0小于1，一个根大于等于1.
设 ，
记 ，
根据二次函数的图象与性质可得
，或 ，
解得 .
所以实数 的取值范围为 .
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知 .若函数
的零点个数与方程 的不等实根个数相等，则 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分段函数 的解析式画出其图象，利用函数与方程的思想可知，函数 的图象与 有两个交点，即函数 有两个零点，利用对称性对函数 进行分类讨论即可求得 的取
值范围.
【详解】由题意可知，当 时， ，
所以函数 ；
当 时， ，则 ，
当 时， ，因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，函数 是开口向上且关于 对称的抛物线；
画出函数 的图象如下中图粗实线所示：
根据图象易知，函数 的图象与 有两个交点，
即方程 有两个不相等的实根，所以函数 有两个零点；
因此函数 与 的图象有两个交点；
易知 恒过坐标原点，且为偶函数，其图象关于 轴对称；
当 与 在 轴右侧相切时，即 与 相切；
不妨设切点为 ，由 可得，
切线斜率为 ，又因为 ，因此 ，即 ，
令 ，则 ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 时， ，由 可得 ，即 ，
此时切线方程为 ，如图中 所示；
当 与 在 轴左侧相切时，即 与 相切，
设切点为 ，联立方程得 ，
令 ，解得 ，此时切点
切线方程为 ，如图中 所示；
结合图象以及 对称性可知，当 时， 与 在 轴右侧无交点，在 轴左侧有两个
交点，满足题意，
解得 或 ，即 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将 时， 转化成 ，再利用导数研究其单调性
画出部分函数图象，根据函数与方程的思想将零点个数转化成函数图象交点个数问题，利用导数的几何意
义和对称性即可求得结果.
2．（2023·全国·高三校联考阶段练习）定义在 上的奇函数 满足 ，当 时，
，若 在 有2023个零点，则 的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】先由函数的奇偶性和周期性，判断其在区间 上的零点个数，再根据零点存在性定理判断区间
端点函数值的正负即可得到 的取值范围.
【详解】因为 是 上的奇函数，
所以 ，故 在 有2022个零点.
又满足 ，
所以 是周期为2的周期函数.
故 在每个周期上均有 个零点.
又因为 在 上图像关于原点对称，
所以 在 和 上有相同个数的零点，
也即 在 和 上有相同个数的零点，
又 在 上有4个零点，且 ，
故 在 上有1个零点，且 .
当 时，有
当 时，
则若要满足以上条件，需使 时， ，
即 .
满足 的取值范围条件的选项只有C.
故选：C.
二、多选题3．（2023·全国·模拟预测）已知函数 且 有三个不同的零点 ， ， ，若
，则（ ）
A．
B．当 为 ， 的等比中项时， 为 ， 的等差中项
C．当 为 ， 的等差中项时，
D．实数a的取值范围为
【答案】BCD
【分析】对于A：将函数的零点，转化为两个函数图象的交点，即可判断；
对于B：将方程 两边取对数，再结合等差中项和等比中项的定义，即可判断选项；
对于C：根据等差中项，和等比中项，转化为 ，即可求解；
对于D：当 时，构造函数 ，利用导数，判断函数的单调性和最值，结合零点存
在性定理，即可求解.
【详解】A： ，因为 ，所以 ，
根据函数 和 的图象及增长趋势，若满足 ，则 ，
又因为 ，所以 ，A错误．B： ， ， ，两边同时取对数，
， ， ，
， ，
因为 为 ， 的等比中项， ，所以 ，即 是 的等差中项，故B正确；
C： 为 ， 的等差中项，则 ，得 ，
得 ，
则 ，整理为 ，则 或 ，
由图象可知， ，所以 ，故C正确；
D：当 时，易知方程 有两个不同的解，等号两边同时取对数得，
，令 ，则 ，令 ，得
，
由A选项知 ，所以 ， ，又 ，所以当 时， ，当 时，
，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ．
，又当 无限趋近于负无穷大时， 为正数，无限趋近于正无穷大，当 无限趋近于0时，
也无限趋近于正无穷大，故要使 有两个零点，只需 ，即，
所以 ，解得 ，又 ，故实数a的取值范围为 ，故D正确．
故选：BCD
【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤
（1）常用方法：①直接法，先根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定
参数的取值范围；②分离参数法，将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法，先将问
题转化为两函数图象的交点问题，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
（2）一般步骤：先转化，把已知函数零点的存在情况转化为方程（组）的解、不等式（组）的解集或两
函数图象的交点的情况；再列式，根据零点存在定理或结合函数图象列式；最后得结论，求出参数的取值
范围或根据图象得出参数的取值范围．
三、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若方程 有且仅有三个实数
解，则实数 的取值范围为____________
【答案】
【分析】作出函数 的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求
解即可.
【详解】作出函数 的图象如图所示，
依题意方程 有且仅有三个实数解，
所以 与 有且仅有三个交点，
因为 必过点 ，且 ，若 时，方程 不可能有三个实数解，则必有 ，
当直线 与 在 时相切时，设切点坐标为 ，
由 ，得 ，
所以切线方程为 ，即 ，
因为切线方程为 ，
所以 ，且 ，
得 ， ，
即当 时， 与 在 上有且仅有一个交点，
要使方程 有且仅有三个的实数解，
则当 时， 与 有两个交点，
设直线 与 切于点 ，
此时 ，则 ，得 ，
所以 ，
即实数 的取值范围为
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，解题的关键是画出 的
图象，将问题转化为 与 有且仅有三个交点，然后结合图象求解即可，属于较难题.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，当关于 的方程 的不
同实数根的个数最多时，实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】借助导数求得 的取值范围，再换元，数形结合求 的取值范围.
【详解】 则 ，所以 ，当 时， ；当 时， ，
所以在 上单调递增，在 上单调递减，如图，
，
设 ，则 ，
，
即 ，
显然 不是方程 的解，
则 （ 且 ），
如下图所示，
（1）当 时，直线 与曲线 （ 且 ）无交点，则方程
无实数解，
（2）当 时，直线 与曲线 （ 且 ）有唯一交点，其横坐标为 ，此时直线 与曲线 有唯一交点，即方程 有唯一实数解
（3）当 时，直线 与曲线 （ 且 ）有唯一交点，其横坐标为 ，此时直
线 与曲线 有两个交点，即方程 有两个实数解，
（4）当 ，直线 与曲线 （ 且 ）有两个交点，设其横坐标分别为 ，
（ ），此时直线 和直线 与曲线 各有两个交点，即方程
有四个实数解，
（5）当 时，直线 与曲线 （ 且 ）有两个交点，设其横坐标分别为 （
）， ，此时直线 与曲线 各有两个交点，直线 与曲线 有
唯一的交点，即方程 有三个实数解，
（6）当 时，直线 与曲线 （ 且 ）有唯一个交点，设其横坐标分别为 （
），此时直线 与曲线 有唯一交点，即方程 有唯一
实数解，
（7）当 时，直线 与曲线有两个公共点，对应的t有两个负值，每一个t值对应的x值只
有一个，原方程有两个根，
综上，当 时，关于 的方程的不同实根最多.故答案为：
【点睛】策略点睛：复合方程解的个数问题的解题策略为：首先要能观察出复合的形式，分清内外层；其
次要能根据复合的特点进行分析，将方程问题转化为函数的交点问题；最后通过数形结合的方式解决问题
四、解答题
6．（2023·江苏·统考二模）已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 有且只有2个不同的零点，求 的取值范围.
【答案】(1)函数 的单调减区间是 ，单调增区间是
(2) .
【分析】（1）利用导数法求函数的单调性的步骤即可求解；（2）利用分类讨论及函数的零点与单调性的关系，再利用导数法求函数的单调性及最值，结合函数零点
的存在性定理即可求解.
【详解】（1） ， ，
， 恒成立，
所以 在 递增.
所以当 ， ；
，
所以函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 .
（2） ，
①当 时，由（1）知 有且只有一个零点.
②当 时， ，则 在区间 上单调递减，
所以 至多有一个零点.
③当 时， ， ，
又因为 的图象在区间 上连续不间断，
所以 ，使得 ，即 .
令 ， ，
所以 在区间 上单调递增，
所以当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增.
所以 ，
所以 无零点.
④令 ，当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，
所以 ，有 ，
所以 ，则 .
当 时， ， ，
又因为 的图象在区间 上连续不间断，
所以 ，使得 ，即 .
令 ， ，
所以 在区间 上单调递增，
所以当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增.
所以 .
令 .，
又因为函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且 的图象连续不间断，
， ，
所以 有且只有2个零点.
综上，若函数 有且只有2个零点，则实数 的取值范围是 .
【点睛】关键点睛：解决此题第一问是利用二阶导数及函数单调性与导数的正负的关系即可，第二问是利
用分类讨论的思想及导数法求函数的单调性和最值，结合函数单调性与函数零点的关系及零点的存在性定
理即可.
