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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 13 练 函数的应用和函数模型（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，
该产品每年的固定成本是25万元，每生产 万件该产品，需另投入成本 万元.其中
，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业
每年利润的最大值为（ ）
A．720万元 B．800万元
C．875万元 D．900万元
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， 的零点分别
是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其
中的核心零件是多层式结构的 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯），主要用于去除铁锈､泥沙､悬浮物等各种大
颗粒杂质.假设每一层 棉滤芯可以过滤掉 的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为 ，若
要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过 ，则 棉滤芯层数最少为（ ）（参考数据：， ）
A． B． C． D．
6．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）定义符号函数 ，则方程 的解是（ ）
A．2或 B．3或 C．2或3 D．2或3或
7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数 ， ，，则函数 的
零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2023·全国·高三专题练习）设 表示不超过 的最大整数，如 ，已知函数
，若方程 有且仅有 个实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于x的方程 恰有两个
互异的实数解，则实数a的值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
10．（2023·全国·模拟预测）已知定义域为 的函数 满足 不恒为零，且 ，
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是奇函数
C． 的图像关于直线 对称 D． 在[0，10]上有6个零点
三、填空题11．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）已知函数 ，则函数 的零点个数为
___________.
12．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时，
，则函数 的所有零点之和为______.
13．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）已知函数 ，
若方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个不同的实数解a，b，c（a＜b＜c），则（a＋b）c的取值范围是
_____________．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的两个零点一个大于2，一个小于2，且
，则 的取值范围为______
四、解答题
15．（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数 是偶函数.
当 时， .
(1)求函数 在 上的解析式；
(2)若函数 在区间 上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知 ，试讨论 的零点个数，并求对应的m的取值范围.
16．（2023·全国·高三专题练习）某企业生产一种电子设备，通过市场分析，每台设备的成本与产量满足
一定的关系式.设年产量为 （ ， ）（单位：台），若年产量不超过70台，则每台设备的
成本为 （单位：万元）；若年产量超过70台不超过200台，则每台设备的成本为
（单位：万元），每台设备售价为100万元，假设该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)写出年利润 （万元）关于年产量 （台）的关系式；
(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少万元？
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）“打水漂”是一种游戏,通过一定方式投掷石片,使石片在水面上
实现多次弹跳,弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时,将一石片按一定方式投掷出去,石片第一
次接触水面时的速度为 ,然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素,假设石片每一次接触
水面时的速度均为上一次的 ,若石片接触水面时的速度低于 ,石片就不再弹跳,沉入水底,则小赵同
学这次“打水漂”石片的弹跳次数为( )(参考数据: ).
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2023·四川成都·校考三模）已知函数 ， ，若 存在2个零点，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数 与函数 （ 且 ）
的图像有且仅有一个交点，则 的范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）定义在 上的奇函数 满足 ，且在
上单调递减，若方程 在 有实数根，则方程 在区间 上所有实数根之和是（ ）
A．6 B．12 C．30 D．56
二、多选题
5．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知函数 ，对于任意的 ， ， ，关于
的方程 的解集可能的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 的零点分别为 ，
，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
7．（2023·北京·高三专题练习）已知函数
①函数 的零点个数为__________．
②若存在实数b，使得关于x的方程 有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数 在定义域内有两个零点，则实数a的取值范围
是______．
四、解答题
9．（2023·全国·高三专题练习）某公园的赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为
30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数 与第 天近似地满足 （千人），游
客人均消费 与第 天近似地满足 （元）， 且 .
(1)求该园区第 天的旅游收入 （单位：千元）的函数关系式；(2)记（1）中 的最小值为 （千元），若最终总利润为 （千元），试问该园区能否收回投资成本？
10．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）已知函数 在区间 上有最
大值2和最小值1.
(1)求 的值；
(2)不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 且方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知 .若函数
的零点个数与方程 的不等实根个数相等，则 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国·高三校联考阶段练习）定义在 上的奇函数 满足 ，当 时，
，若 在 有2023个零点，则 的取值范围可以是（ ）A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数 且 有三个不同的零点 ， ， ，若
，则（ ）
A．
B．当 为 ， 的等比中项时， 为 ， 的等差中项
C．当 为 ， 的等差中项时，
D．实数a的取值范围为
三、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若方程 有且仅有三个实数
解，则实数 的取值范围为____________
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，当关于 的方程 的不
同实数根的个数最多时，实数 的取值范围是______．
四、解答题
6．（2023·江苏·统考二模）已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 有且只有2个不同的零点，求 的取值范围.
