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第四章 指数函数与对数函数 综合培优提升卷
一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。
1．设函数 ，则满足 的x的取值范围是
A． B． C． D．
2．已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
3．已知函数 ，若函数 在 上有两个零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
4．设a，b，k是实数，二次函数f(x)＝x2＋ax＋b满足：f(k－1)与f(k)异号，f(k＋1)与f(k)异号．在以下关
于f(x)的零点的说法中，正确的是 ( )
A．该二次函数的零点都小于k
B．该二次函数的零点都大于k
C．该二次函数的两个零点之间差一定大于2
D．该二次函数的零点均在区间(k－1，k＋1)内
5．已知函数 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
6．设定义在区间 上的函数 是奇函数 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
7．已知函数f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R），若函数f（x）是偶函数，记a=m，若函数f（x）为奇函数，
记a=n，则m+2n的值为A．0 B．1 C．2 D．﹣1
8．设函数 ，则满足 的 的取值范围是
A． B．
C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知定义在R上的偶函数满足 ，且当 时，f（x）是减函数，则下列四
个命题中正确的是（ ）
A．
B．直线 为函数 图象的一条对称轴
C．函数f(x)在区间[-2，7]上存在2个零点
D．若 在区间[－4，0]上的根为 ， ，则
10．已知函数 ，若方程 有三个实数根 ， ， ，且 ，则（
）
A． B．实数a的取值范围为
C． 的取值范围为 D． 的解集为
11．已知函数 ，若方程 有四个不同的实数解 且 ，
则下列结论正确的是（ ）A． B． 为定值
C． D． 的最小值为
12．对于函数 的定义域中任意的 ，有如下结论:当 时，上述结论正确的是（
）
A． B．
C． D．
三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是______．
14．若函数 不存在零点，则 的取值范围是______．
15．计算 ________.
16．如图，矩形 的三个顶点 分别在函数 ， ， 的图像上，且矩形
的边分别平行于两坐标轴.若点 的纵坐标为2，则点 的坐标为______.
四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知函数 为奇函数， 为偶函数．
（1）求 的值．
（2）设 ，若 对于 恒成立，求实数 的取值范围．18．已知指数函数 满足 ，定义域为 的函数 ，且 图像过点
.
（1）求函数 、 的解析式；
（2）求证： 是单调增函数；
（3）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
19．设函数 定义在 上，当 时， ，且对任意 、 ，有 ，当
时 ．
（1）证明： ；
（2）求 的值并判断 的单调性．
20．已知函数 （其中 均为常数， ）的图象经过点 与点
（1）求 的值；（2）设函数 ，若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求
实数 的取值范围.
21．已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)，函数g(x)与f(x)的图像关于y=x对称，ℎ(x)=x2−2x+1.
f(x)−f(−x)
(1)若a>1，F(x)= ，证明：F(x)为R上的增函数；
f(x)+f(−x)
1
(2)若a=2，G(x)= ℎ(x)− f(x)，判断G(x)的零点个数（直接给出结论，不必说明理由或证明）；
2
(3)若x∈(1,2)时，ℎ(x)<g(x)恒成立，求a的取值范围.
22．2012年9月19日凌晨3时10分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，以“一箭双
星”方式，成功将第14和第15颗北斗导航卫星发射升空并送入预定转移轨道.标志着中国北斗卫星导航
系统快速组网技术已日臻成熟.若已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量
x之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：
(其中k≠0)．当燃料重量为 吨(e为自然对数的底数， )时，
该火箭的最大速度为5km／s．
(1)求火箭的最大速度y(千米／秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式 .
(2)已知该火箭的起飞重量是816吨，则应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到10千米
／秒，顺利地把卫星发送到预定的轨道?参考答案
1．D将函数 的图像画出来，观察图像可知会有 ，解得 ，所以满足
的x的取值范围是 ，故选D.2．C
【解析】画出函数 的图像， 在y轴右侧的去掉，
再画出直线 ，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程 有两个解，
也就是函数 有两个零点，
此时满足 ，即 ，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路
是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出
函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
3．A
【解析】由题意可得：
解得
故选
4．D【解析】
由题意二次函数 满足 与 异号， 与 异号
∴函数在 与（ 内各有一个零点
即二次函数的二个零点都在区间 内
故选D
5．C
【解析】依题意可得， 为偶函数，且在 是增函数，
∴ ，∴ ， ，∴ .选C.
6．A
【解析】试题分析： 定义在区间 上的函数 是奇函数， ；
∴ ； ， ； ，
，令 ，可得 ， ， 的取值范围是
；故选A.
7．B
【解析】设g（x）=ex+ae﹣x，因为函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是偶函数，所以g（x）=ex+ae﹣x为奇函数．
又因为函数f（x）的定义域为R，所以g（0）=0，
即g（0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．
因为函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=ex+ae﹣x为偶函数
所以（e﹣x+aex）=ex+ae﹣x即（1﹣a）（e﹣x﹣ex）=0对任意的x都成立
所以a=1，所以n=1，
所以m+2n=1
故选B．
8．C
【解析】令 ，则 ，当 时， ，由 的导数为，当 时， 在 递增，即有 ，则方程无解；当
时， 成立，由 ，即 ，解得 且 ；或 解得 ，即为 ，综
上所述实数 的取值范围是 ，故选C.
9．AB
【解析】在R上的偶函数满足 ，
令 ，则 ，即 ，A正确；
因 ，则有 ，即 ，
于是得直线 是函数 图象的一条对称轴，B正确；
因 ，则当 时， ，而 ，
则函数f(x)在区间[-2，7]上至少存在3个零点，C不正确；
由于函数f(x)的图象关于直线 对称，则 ，即 ，D不正确.
故选：AB
10．ACD
【解析】由题意方程 有三个实数根 ， ， ，
则函数 的图像与直线 有三个交点,且横坐标分别为 ， ， .
作出函数 的图像和直线 如图所示：由图可知 ， ，所以 ，故A正确；
由于 ，所以 ，故B错误；
由 ，得 ，所以 ，所以 ，故C正确；
当 时，由 ，即 ，得 ，
当 时，由 ，即 ，得 ，
故 的解集为 ，故D正确．
故选：ACD．
11．AB
【解析】画出函数 的图象，方程 有四个不同的实数解， 和 有4个不同的交点，则观察图象可得 ，
故A正确，
则 ，即 ，则 ，即 ， ，又 和 关于 对
称， ， 为定值，故B正确；
，且 ， 在 单调递减，在 单调递增， ，即
，故C错误；
在 单调递增， ，故D错误.
故选：AB.
12．ACD
【解析】对于A， ， ， ，正确；
对于B， ， ， ，错误；
对于C， 在定义域中单调递增， ，正确；
对于D， ，又 ，则
，正确；
故选：ACD
13．
【解析】由题设，令 ，而 为增函数，
∴要使 在 上是增函数，即 在 上为增函数，∴ 或 ，可得 或 ，
∴ 的取值范围是 .
故答案为：
14．
【解析】解：因为函数 不存在零点，
即方程 没有实数根，
1 4
>
即函数 3 17 与 没有交点，
1 4 1 4
> >
由3 17 ， ，将 3 17 两边同时平方可得，
且
，
1 4
即函数 3 > 17 的值域为 ，所以
故答案为：
15．
【解析】 ， ，， ，
， ，
原式 ．
故答案为 ．
16．
【解析】由图像可知，点 在函数 的图像上，所以 ，即 .
因为点 在函数 的图像上，所以 ， .
因为点 在函数 的图像上，所以 .
又因为 ， ，
所以点 的坐标为 .
故答案为
17．（1） ；（2）
【解析】解：（1）因为 定义域为 ，且为奇函数，所以 ，解得 ，所
以 ，则 ，所以 为奇函数，故 满足条件；
又 为偶函数，所以 ，即 ，即
，即 ，所以 ，解得，所以
（2）由（1） ，所以 ，
又因为 在区间 上是增函数，所以当 时， ，所以由题意，
得 ，
因此，实数 的取值范围是：
18．（1） ， ；（2）见解析；（3）
【解析】（1）设 ，由 得 ，解得 ，故 .所以 ，将
代入得 ，解得 ，故 .
（2）由（1）知 ，其定义域为 ，任取 ，
，由于 ，所以 ，即 ，所
以 是 上的单调递增函数.
（3）由（2）知 是 上的单调递增函数，所以由 得 ，所以
，当 时， 取得最小值为 ，所以 .19．（1）证明见解析；（2） ， 在 上是增函数．
【解析】（1） ， ，
，
所以 ，当 时取等号，
即 ；
（2）令 ，得 ，解得 或 ，
若 ，当 时，有 ，与已知矛盾， ．
设 ，则 ，由已知得 ，
，
所以，函数 在 上是增函数．
20．（1） ；（2）
【解析】（1）由已知得 ，
消去 得 ，即 ，又 ， ，
解得 .
（2）由（1）知函数 的解析式为 . .
当 时，函数 单调递增，其值域为 ；
令 ，当 时， ，于是 .
设函数 ，则函数 的值域为 ，
根据条件知 ，于是 ，解得 .
所以实数 的取值范围为 .
21．(1)见证明；(2)见解析；(3)(1，2]
f (x)−f (−x) ax−a−x 2
【解析】（1）F（x）= = =1−
f (x)+f (−x) ax+a−x a2x+1
任取x ,x ∈R,且x <x ，
1 2 1 2
F(x )−F(x )=1−
2
−（1−
2
）=
2（a2x 1−a2x 2）
∵a>1,∴a2x 2>a2x 1,(a2x 1+1)(a2x 2+1)>0∴F(x )<F(x )
1 2 a2x 1+1 a2x 2+1 （a2x 1+1）⋅（a2x 2+1） 1 2
∴F(x)为R上的增函数；
（2）3个交点（理由略）
（3）∵函数g(x)与f(x)的图像关于y=x对称，所以g(x)与f(x)互为反函数，∴g(x)=log x
a
当0<a<1时，x∈(1,2),ℎ(x)<g(x)不恒成立；
当a>1时，解得，ℎ(2)=g(2),，即(2−1) 2=log 2,∴a=2
a
由图像可知，1<a≤2
所以，a的取值范围是(1，2]．
22．(1) (2) 应装载516吨
【解析】(1)依题意，把 代入函数关系 ，解得k=10，所以所求的函数关系式为
(2)设应装载x吨燃料方能满足题意， 此时 ，代入函数关系式 ，得
，解得 吨，故应装载516吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道．
