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第四章 指数函数与对数函数 综合培优提升卷
一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。
1．设函数 ，则满足 的x的取值范围是
A． B． C． D．
2．已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
3．已知函数 ，若函数 在 上有两个零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
4．设a，b，k是实数，二次函数f(x)＝x2＋ax＋b满足：f(k－1)与f(k)异号，f(k＋1)与f(k)异号．在以下关
于f(x)的零点的说法中，正确的是 ( )
A．该二次函数的零点都小于k
B．该二次函数的零点都大于k
C．该二次函数的两个零点之间差一定大于2
D．该二次函数的零点均在区间(k－1，k＋1)内
5．已知函数 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
6．设定义在区间 上的函数 是奇函数 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
7．已知函数f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R），若函数f（x）是偶函数，记a=m，若函数f（x）为奇函数，
记a=n，则m+2n的值为A．0 B．1 C．2 D．﹣1
8．设函数 ，则满足 的 的取值范围是
A． B．
C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知定义在R上的偶函数满足 ，且当 时，f（x）是减函数，则下列四
个命题中正确的是（ ）
A．
B．直线 为函数 图象的一条对称轴
C．函数f(x)在区间[-2，7]上存在2个零点
D．若 在区间[－4，0]上的根为 ， ，则
10．已知函数 ，若方程 有三个实数根 ， ， ，且 ，则（
）
A． B．实数a的取值范围为
C． 的取值范围为 D． 的解集为
11．已知函数 ，若方程 有四个不同的实数解 且 ，
则下列结论正确的是（ ）A． B． 为定值
C． D． 的最小值为
12．对于函数 的定义域中任意的 ，有如下结论:当 时，上述结论正确的是（
）
A． B．
C． D．
三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是______．
14．若函数 不存在零点，则 的取值范围是______．
15．计算 ________.
16．如图，矩形 的三个顶点 分别在函数 ， ， 的图像上，且矩形
的边分别平行于两坐标轴.若点 的纵坐标为2，则点 的坐标为______.
四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知函数 为奇函数， 为偶函数．
（1）求 的值．
（2）设 ，若 对于 恒成立，求实数 的取值范围．18．已知指数函数 满足 ，定义域为 的函数 ，且 图像过点
.
（1）求函数 、 的解析式；
（2）求证： 是单调增函数；
（3）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
19．设函数 定义在 上，当 时， ，且对任意 、 ，有 ，当
时 ．
（1）证明： ；
（2）求 的值并判断 的单调性．
20．已知函数 （其中 均为常数， ）的图象经过点 与点
（1）求 的值；（2）设函数 ，若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求
实数 的取值范围.
21．已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)，函数g(x)与f(x)的图像关于y=x对称，ℎ(x)=x2−2x+1.
f(x)−f(−x)
(1)若a>1，F(x)= ，证明：F(x)为R上的增函数；
f(x)+f(−x)
1
(2)若a=2，G(x)= ℎ(x)− f(x)，判断G(x)的零点个数（直接给出结论，不必说明理由或证明）；
2
(3)若x∈(1,2)时，ℎ(x)
即函数 3 17 与 没有交点，
1 4 1 4
> >
由3 17 ， ，将 3 17 两边同时平方可得，
且
，
1 4
即函数 3 > 17 的值域为 ，所以
故答案为：
15．
【解析】 ， ，， ，
， ，
原式 ．
故答案为 ．
16．
【解析】由图像可知，点 在函数 的图像上，所以 ，即 .
因为点 在函数 的图像上，所以 ， .
因为点 在函数 的图像上，所以 .
又因为 ， ，
所以点 的坐标为 .
故答案为
17．（1） ；（2）
【解析】解：（1）因为 定义域为 ，且为奇函数，所以 ，解得 ，所
以 ，则 ，所以 为奇函数，故 满足条件；
又 为偶函数，所以 ，即 ，即
，即 ，所以 ，解得，所以
（2）由（1） ，所以 ，
又因为 在区间 上是增函数，所以当 时， ，所以由题意，
得 ，
因此，实数 的取值范围是：
18．（1） ， ；（2）见解析；（3）
【解析】（1）设 ，由 得 ，解得 ，故 .所以 ，将
代入得 ，解得 ，故 .
（2）由（1）知 ，其定义域为 ，任取 ，
，由于 ，所以 ，即 ，所
以 是 上的单调递增函数.
（3）由（2）知 是 上的单调递增函数，所以由 得 ，所以
，当 时， 取得最小值为 ，所以 .19．（1）证明见解析；（2） ， 在 上是增函数．
【解析】（1） ， ，
，
所以 ，当 时取等号，
即 ；
（2）令 ，得 ，解得 或 ，
若 ，当 时，有 ，与已知矛盾， ．
设 ，则 ，由已知得 ，
，
所以，函数 在 上是增函数．
20．（1） ；（2）
【解析】（1）由已知得 ，
消去 得 ，即 ，又 ， ，
解得 .
（2）由（1）知函数 的解析式为 . .
当 时，函数 单调递增，其值域为 ；
令 ，当 时， ，于是 .
设函数 ，则函数 的值域为 ，
根据条件知 ，于是 ，解得 .
所以实数 的取值范围为 .
21．(1)见证明；(2)见解析；(3)(1，2]
f (x)−f (−x) ax−a−x 2
【解析】（1）F（x）= = =1−
f (x)+f (−x) ax+a−x a2x+1
任取x ,x ∈R,且x 1,∴a2x 2>a2x 1,(a2x 1+1)(a2x 2+1)>0∴F(x )1时，解得，ℎ(2)=g(2),，即(2−1) 2=log 2,∴a=2
a
由图像可知，1
