4.7 指数函数对数函数常考习题综合应用
模块一：题型分类.........................................................................2
题型一：常见指数函数的定义域和值域问题................................................. 2
题型二：对数函数的定义域和值域问题.........................................................3
题型三：指数函数的图像................................................................................4
题型四：指数函数的单调性问题.................................................................... 6
题型五：指数函数比较指数幂大小.................................................................7
题型六：指数函数的最值问题........................................................................ 8
题型七：对数函数的图像问题...................................................................... 10
题型八：对数函数比较对数大小...................................................................12
题型九：对数函数的单调性问题...................................................................13
题型十：对数和指数函数的综合问题...........................................................15
模块二：综合巩固....................................................................... 19
4.7 指数函数对数函数常考习题综合应用
模块一：题型分类
题型一：常见指数函数的定义域和值域问题
1.函数
1
1
2
4
1
x
y
x
的定义域为（
）
A．[ 2,1)
B．(
,1)
C．( 2,1)
D．(1,2)
【答案】A
【分析】根据函数的定义域列不等式组求解.
【详解】由题意，
1
2
0
4
1
0
x
x
，得
2
1
x
x
，所以
2
1
x
- £
< .
故选：A
2.已知函数
2
12
x
f
x
，则下列说法正确的是（
）
A．
f x 的值域为
,2
B．
f x 在
,0
上为减函数
C．
f x 的值域为
0,2
D．
f x 在
0,
上为增函数
【答案】C
【分析】由函数定义域求函数值域即可得A，C 选项，根据复合函数增减性质可以判断BD.
【详解】
R
x
，
2
2
2
0
0
1
1
x
x
x
，
由函数
2x
y
在R 上单调递增，所以
2
1
1
2
2
2
x
y
，又
2
1
0
2
x
y
，所以
f x 的值域为
0,2 ，
故C 正确，A 错误，
令
2
1
g x
x
，由
g x 在
,0
单调递增，函数
2x
y
在R 上单调递增，
所以
f x 在
,0
单调递增，由
g x 在
0,
单调递减，函数
2x
y
在R 上单调递增，
所以
f x 在
0,
单调递减，故B，D 错误，
故选：C.
3.已知不等式
1
9
6
4
0
x
x
x
m
对任意上恒成立，则实数m 的取值范围是（
）
A．(
,1]
B．(
,2]
C．(
,4]
D．(
,5]
【答案】C
【分析】变形给定的不等式，构造函数，结合指数函数的单调性及基本不等式求解作答.
【详解】
(0,
)
x
，
1
2
2
3
2
9
6
4
0
3
3
4 2
0
(
2
)
4 ( )
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
m
m
m
，
令
3
( )
1
2
x
t
，
4
4
( )
2
4
f t
t
t
t
t
，当且仅当
4
t
t
，即
3
2
2,
log 2
t
x
时取等号，
因此当
3
2
log 2
x
时，3
2
( )
4 ( )
2
3
x
x
取得最小值4，则
4
m
，
所以实数m 的取值范围是(
,4]
.
故选：C
题型二：对数函数的定义域和值域问题
1.已知
2
2
2
log 2
x
f x
x
，则不等式
2
2
2
4
f
x
f
x
的解集为（
）
A．
1 1
,
2 4
B．1 1
,
4 2
C．
1
0, 4
D．
1
1,
2
【答案】D
【分析】根据对数函数的定义域可得1
0
x
，将
2
2
2
log 2
x
f x
x
代入
2
2
2
4
f
x
f
x
，结
合对数函数单调性运算求解.
【详解】令2
0
2
x
x
，解得2
2
x
，可知
f x 的定义域为
2,2
，
可得
2
2
2
2
2
2
2
x
x
，解得1
0
x
，
关于不等式
2
2
2
4
f
x
f
x
，即
2
2
2
2
2
2
2
2
log
2
log
4
2
2
2
2
2
x
x
x
x
，
整理得
2
2
1
log
0
1
x
x
x x
，且
2
log
y
x
在定义域内单调递增，
则
2
1
0
1
1
x
x
x x
，结合1
0
x
，解得
1
1
2
x
，
所以不等式
2
2
2
4
f
x
f
x
的解集为
1
1,
2
.
故选：D.
2.已知函数
2
2
log
log
8
8
x
f
x
x
，则函数
f x 的值域为（
）
A．
9,0
B．
9,
C．
, 9
D．
12,0
【答案】B
【分析】根据对数的运算性质化简
2
2
log
9
f x
x
，从而得出值域．
【详解】
2
2
2
2
log
3
log
3
log
9
f
x
x
x
x
．故
f x 的值域为
9,
．
故选：B．
3.已知函数
2
1
lg
1 ,
2
x
f
x
x
g x
m
，若对于任意
1
0,3
x
，存在
2
1,2
x
，使得
1
2
f x
g x
，则
实数m 的取值范围为（
）
A．
1
,
2
B．
1
,
4
C．1 ,
2
D．1 ,
4
【答案】A
【分析】根据对数函数、指数函数的性质求出
f
x 、
g x 的值域，依题意可得
1
2
max
max
f
x
g x
，即可
得到不等式，解得即可.
【详解】解：因为
0,3
x
，所以
2
1
1,10
x
，所以
2
lg
1
0,1
x
，即
0,1
f x
，
由
1,2
x
，则1
1
1
,
2
4
2
x
m
m
m
，即
1
1
,
4
2
g x
m
m
，
因为对于任意
1
0,3
x
，存在
2
1,2
x
，使得
1
2
f x
g x
，
所以
1
2
max
max
f
x
g x
，则1
1
2
m
，解得
1
2
m
，即
1
,
2
m
.
故选：A
题型三：指数函数的图像
1.设a 与b 均为实数，
0
a
且
1
a ，已知函数
x
y
a
b
的图象如图所示，则不等式
2
1
0
x
a
x
b
的解
集为（
）
A．
1,2
B．
2, 1
C．
, 2
1,
D．
,1
2,
【答案】B
【分析】由函数图象可知函数过点
0, 1
与
1,0 ，即可得到方程组求出a 、b 的值，再解一元二次不等式
即可.
【详解】解：由函数图象可知函数过点
0, 1
与
1,0 ，
所以
0
1
0
a
b
a
b
，解得
2
2
a
b
，
所以不等式
2
1
0
x
a
x
b
，即
2
3
2
0
x
x
，即
1
2
0
x
x
，解得2< < 1
x
，
即不等式
2
1
0
x
a
x
b
的解集为
2, 1
.
故选：B
2.函数
2
1
3
3
x
x
x
f x
的大致图象为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性，取值情况即可判断图象.
【详解】因为函数定义域为
,0
0,
U
，则
2
2
1
1
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
f
x
f x
，所以
f
x 为奇函数，
图象关于原点对称，排除C,D ；
又当
0
x
时，3
3
x
x
，所以
0
f x
，排除B .
故选：A .
3.已知函数
2
1
0,
1
x
f
x
a
a
a
的图像恒过一点P，且点P 在直线
1
0
0
mx
ny
mn
的图像上，
则1
1
m
n
的最小值为（
）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【分析】求出函数
f
x 的图象所过的定点坐标，由此建立
,
m n 的关系，再利用均值不等式“1”的妙用求解
作答.
【详解】函数
2
1
0,
1
x
f
x
a
a
a
中，当
2
0
x
，即
2
x
时，恒有
2
f
x
，则点
(2,2)
P
，
依题意，2
2
1
0
m
n
，即
1
2
m
n
，又
0
mn
，因此
0,
0
m
n
，
1
1
1
1
2(
)(
)
2(2
)
2(2
2
)
8
n
m
n m
m
n
m
n
m
n
m
n
m n
，当且仅当n
m
m
n
，即
4
1
m
n
时取等号，
所以1
1
m
n
的最小值为8.
故选：D
题型四：指数函数的单调性问题
1.已知
2
2
,
0
4,
0
x
x
f x
x
，则关于a 的不等式
2
2
3
f
a
f a
的解集为（
）
A．
0,3
B．
1,3
C．
3,1
D．
0,1
【答案】A
【分析】先画出函数的图象，然后根据图象列不等式组，从而求得正确答案.
【详解】画出
f x 的图象如下图所示，
所以
2
2
2
3
2
3
2
0
a
a
f
a
f a
a
，
解得0
3
a
，所以不等式的解集为
0,3 .
故选：A
2.设函数
2 2
1
2
x
mx
f x
在区间
1,2 上单调递增，则m 的取值范围为（
）
A．
, 2
B．
2, 1
C．
1,2
D．
2,
【答案】D
【分析】令
2
2
u
x
mx
，根据复合函数的单调性可知，内层函数
2
2
u
x
mx
在
1,2 上为减函数，结合二
次函数的单调性可得出实数m 的取值范围.
【详解】令
2
2
u
x
mx
，则二次函数
2
2
u
x
mx
的图象开口向上，对称轴为直线x
m
，
因为外层函数
1
2
u
y
在R 上为减函数，函数
2 2
1
2
x
mx
f x
在区间
1,2 上为增函数，
所以，内层函数
2
2
u
x
mx
在
1,2 上为减函数，故
2
m
.
故选：D.
3.已知函数
1
,
2
1
2
1
,
2
x
a
x
f x
a
x x
在R 上单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．2
3 1
,
2
2
B．2
3 ,
2
C．2
3 ,1
2
D．
2
3
1,
2
【答案】B
【分析】先利用指数函数与一次函数的单调性，分段讨论
f
x 的单调性，从而得到
1
a ，再由
f
x 在R
上的单调性得
1
2
x
处有
1
2
1 2
1
2
a
a
，从而得到
2
3
2
a
，由此得解.
【详解】因为
f
x 在R 上单调递增，
当
1
2
x
时，
x
f x
a
在
1
, 2
上单调递增，所以
1
a ；
当
1
2
x
时，
2
1
f x
a
x
在1 ,
2
上单调递增，所以2
1
0
a
，即
1
2
a
；
同时，在
1
2
x
处，
2
1
x
a
x
a
，即
1
2
1 2
1
2
a
a
，即
1
2
1
2
a
a
，
因为
1
a ，所以
2
1
4
a
a
a
，即
2
4
8
1
0
a
a
，
解得
2
3
2
a
或
2
3
2
a
（舍去），
综上：
2
3
2
a
，即
2
3 ,
2
a
.
故选：B.
题型五：指数函数比较指数幂大小
1.已知
0.9
1.2
0
1
3 ,
1.2 ,
3
a
b
c
，则, ,
a b c 的大小关系是（
）
A．a
c
b
B．c
b
a
C．c<a<b
D．b<c<a
【答案】D
【分析】运用介值法及指数函数单调性比较大小即可.
【详解】因为
0
1.2
1
b
，
0.9
0.9
1
3
3
c
，
又因为
3x
y
在R 上单调递增，1.2
0.9
0
，
所以
1.2
0.9
0
3
3
3
1
，即a
c
b
.
故选：D.
2.设
0.7
0.6
0.6
1
2
,
,
log
2
2
a
b
c
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．c
b
a
D．b<c<a
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质得到
0
a
b
，根据对数函数的性质得到
0
c
，即可得到答案.
【详解】因为
0.6
0
2
a
，
0
0.7
.7
2
0
1
2
b
，所以
0
a
b
.
又因为
0.6
0.6
log
2
log
1
0
c
，所以c
b
a
.
故选：C
3.设
0.8
0.7
a
，
0.7
0.8
b
，
0.8
log
0.7
c
，则a ，b ，c 的大小关系（
）
A．b
c
a
B．a
c
b
C．c
a
b
D．c
b
a
【答案】D
【分析】根据指数函数与幂函数的性质，得到1
b
a
，由对数函数的性质得到
1
c ，即可求解.
【详解】由对数函数的性质，可得
0.8
0.8
log
0.7
log
0.8
1
c
，
又由指数函数的性质，可得
0.7
0.8
1
0.8
0.8
b
，
由幂函数
0.8
y
x
在(0,
)
为单调递增函数，可得
0.8
0.8
0.8
0.7
a
，所以1
b
a
，
所以
0.8
0.7
0.8
0.8
0.
log
.7
7
0
，即c
b
a
.
故选：D.
题型六：指数函数的最值问题
1.已知
2(
0
x
f x
a
a
且
1)
a
，且在区间
1 2
，上有
1
8
f
x
恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
3
4
2
,
B．
3
4
0,2
1,
C．
3
4
2
,1
1,
D．
3
4
0,2
1,
【答案】C
【分析】“在区间
1 2
，上，
1
8
f
x
恒成立”等价于“在区间
1 2
，上，min
1
8
f
x
”，分别讨论
1
a 和0
1
a
，
得到关于a 的不等式，即可求解出结果．
【详解】“在区间
1 2
，上，
1
8
f
x
恒成立”等价于“在区间
1 2
，上，
min
1
8
f
x
”.
①当
1
a 时，( )
f x 在
1 2
，上单调递增，此时
2
3
4
( )
x
f x
a
a
a
，
，( )
f x 在
1
x 处取得最小值
3
a ，即
3
1
8
a
，
解得
1
2
a
，故
1
a ；
②当0
1
a
时，
2
4
3
x
f
x
a
a
a
，
，即
4
1
8
a
，解得
3
4
2
a
，故
3
4
2
1
a
．
综上，实数a 的取值范围是
3
4
2
,1
1,
．
故选：C
2.已知函数
3
2,
0
3
2,
0
x
x
x
f x
x
，
6
2
0
g x
kx
k k
，若对任意的
1
1,1
x
，总存在
2
1,1
x
使得
1
2
f x
g x
成立，则实数k 的取值范围为（
）
A．
0,2
B．
2
0, 3
C．
0,3
D．
1,2
【答案】C
【分析】根据函数的单调性求出两函数的最大值，然后由题意可知
max
max
( )
( )
f x
g x
，再解关于k 的不等式
可求得结果.
【详解】当1
0
x
时，
3
( )
2
x
f
x
单调递减，则2
( )
3
f x
，
当0
1
x
时，
( )
3
2
x
f x
单调递减，则7
( )
3
3
f x
，
所以当
[ 1,1]
x
时，
( )
[2,3]
f x
，所以
max
3
f x
，
因为
6
2
0
g x
kx
k k
在
[ 1,1]
x
上单调递增，
所以max
6
2
6
g x
k
k
k
，
因为对任意的
1
1,1
x
，总存在
2
1,1
x
使得
1
2
f x
g x
成立，
所以
max
max
( )
( )
f x
g x
，
所以3
6
k
，解得0
3
k
，
故选：C
3.设
( )
3x
f x
，( )
( )
( )
f x
g x
h x
，且
g x 为偶函数，
h x 为奇函数，若存在实数m ，使得当
1,1
x
时，
不等式
0
mg x
h x
恒成立，则m 的最小值为（
）
A．4
5
B．1
5
C．5
4
D．
4
5
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性得
3
3
( )
2
x
x
g x
，
3
3
( )
2
x
x
h x
，进而将问题转化为当
1,1
x
时，
3
3
3
3
x
x
x
x
m
恒成立，再结合指数型复合函数的单调性求解最值即可得答案.
【详解】解：因为
( )
3x
f x
，
( )
( )
( )
f x
g x
h x
，且
g x 为偶函数，
h x 为奇函数
所以
(
)
, (
)
g
x
g x
h
x
h x
所以(
)
(
)
3
x
g
x
h
x
，即( )
( )
3 x
g x
h x
因为( )
( )
3x
g x
h x
，
所以
3
3
( )
2
x
x
g x
，
3
3
( )
2
x
x
h x
.
因为当
1,1
x
时，
3
3
( )
0
2
x
x
g x
所以当
1,1
x
时，不等式
0
mg x
h x
恒成立等价于当
1,1
x
时，
h x
m
g x
恒成立，即当
1,1
x
时，
3
3
3
3
x
x
x
x
m
恒成立，
令
3
3
9
1
2
3
1
1
3
9
1 9
x
x
x
x
x
x
x
y
，由于函数
1
9x
y
在
1,1
单调递增，
所以根据复合函数单调性得
2
1
1
9x
y
在
1,1
单调递增，
所以
max
2
9
4
1
5
1
y
，
所以当
1,1
x
时，
3
3
3
3
x
x
x
x
m
恒成立时，
4
5
m
.
所以m 的最小值为4
5 .
故选：A
题型七：对数函数的图像问题
1.已知函数
2
log
1
f
x
x
，则（
）
A．
f
x 在定义域上是增函数
B．
4
7
11
f
f
f
C．
f
x 关于
1
x 对称
D．
f
x 零点的个数为1
【答案】C
【分析】对于A ，可以利用复合函数的单调性的性质进行判断；对于B ，可直接计算进行比较大小即可；
对于C ，可利用偶函数的图象关于y 轴对称，及函数图象之间的位置关系判定；对于D ，令
0,
f x
解出
方程即可.
【详解】对于A ，当
1
x 时，易得
1
u
x
单调递减，而
2
log
y
u
，单调递增，
根据复合函数的单调性判定规则可知，
2
log
1
f
x
x
在(
,1)
上单调递减，故A 错误；
对于B,
2
2
2
2
2
(4)
(7)
log 4 1
log 7 1
log 3
log 6
log 18,
f
f
而
2
(11)
log 10
f
，
4
7
11 ,
f
f
f
故B 错误；
对于C ，
2
log
f x
x
为偶函数，其对称轴为
0,
x
又
2
log
1
f
x
x
的图象是由
2
log
f x
x
的图象向右平移1个单位得到，
故
2
log
1
f
x
x
的对称轴为
1
x ，故C 正确；
对于D ，令
2
log
1
0,
f x
x
则
1
1,
x
所以
0
x
或
2
x
，所以
f
x 有两个零点,故D 错误.
故选：C .
2.如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数
1
5
log
y
x
，
1
7
log
y
x
，
5
log
y
x
的一个是（
）
A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质判断即可.
【详解】因为
1
1
1
7
7
5
1
1
1
log
log
log
5
7
5
，
（3）是
1
7
log
y
x
，（4）是
1
5
log
y
x
，又
1
5
5
log
log
x
x
y
与
5
log
y
x
关于x 轴对称，
（1）是
5
log
y
x
．
故选：B．
3.如图，已知函数
1
3x
f x
，则它的反函数
1
y
f
x
的大致图像是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接利用反函数的性质写出解析式，得
1
3
log
1
y
f
x
x
，再由解析式选择图像即可.
【详解】由题意得，函数
1
3x
f x
的反函数是
1
3
log
1
y
f
x
x
，
这是一个在
0,
上的单调递增函数，且
1
3
1
1
log
1
0
3
3
y
f
，所以只有选项C 的图像符合.
故选：C.
题型八：对数函数比较对数大小
1.已知
0.2
3
1
3
1
1
log
,
log
,
2
2
4
a
b
c
，则, ,
a b c 的大小关系是（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．b
c
a
D．c
a
b
【答案】C
【分析】根据指对数的性质判断, ,
a b c 的大小关系.
【详解】由
0.2
3
3
1
1
3
3
1
1
1
log
log 1
0
2
1
log
log
2
3
4
a
c
b
，
.
b
c
a
故选：C
2.三个实数
1
2
3
2
log 4,
log 5,
3
a
b
c
的大小关系为（
）
A．a
c
b
B．c
a
b
C．c
b
a
D．b
c
a
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质判断
3
2
log 4,
log 5
a
b
的范围，根据分数指数幂运算化简
1
2
3
c
，判断c 的
范围，即可得答案.
【详解】由于
3
3
3
2
2
1
log 3
log 4
log 9
2,log 5
log 4
2
，
1
2
3
(0,1)
3
3
c
，
故
1
2
3
2
3
log 4
log 5
c
a
b
，
故选：B
3.已知
1
a ，则（
）
A．
2
1
log
1
log
3
log
2
a
a
a
a
a
a
B．
1
2
log
1
log
2
log
3
a
a
a
a
a
a
C．
2
1
log
3
log
2
log
1
a
a
a
a
a
a
D．
2
1
log
3
log
1
log
2
a
a
a
a
a
a
【答案】B
【分析】首先证明对于
1
n ，均有
1
log
1
log
2
n
n
n
n
，即可判断.
【详解】对于
1
n ，均有
1
log
1
log
2
n
n
n
n
证明如下：
因为
1
n ，所以
log
1
0
n n
，
1
log
2
0
n
n
，
所以
1
1
1
log
2
log
2
log
log
1
n
n
n
n
n
n
n
n
2
2
1
1
1
log
2
log
log
2
2
2
n
n
n
n
n
n n
2
2
1
log
2
2
n
n
n
2
2
1
log
1
1
2
n
n
，
所以
1
log
1
log
2
n
n
n
n
，
1
n
，
又
1
a ，所以
1
2
log
1
log
2
log
3
a
a
a
a
a
a
.
故选：B
题型九：对数函数的单调性问题
1.已知
2
2
2
3
1
a
ab
b
，且
2
1
log
1
a
b
≤
≤，则a
b
的取值范围是（
）
A．
5
1, 3
B．
5
1, 4
C．
,1
D．
7
1, 4
【答案】B
【分析】可得出
2
2
2
3
3
1
a
ab
b
a
b
a
b
，根据条件得出1
2
2
a
b
≤
≤，设
,
3
a
b
m a
b
n
，
则
1
mn ，从而得出
1
1
2
a
b
m
m
，
1 ,2
2
m
，然后根据函数
1
y
m
m
的单调性可得出y 的取值范围，
进而得出a
b
的取值范围．
【详解】
2
2
2
3
3
1
a
ab
b
a
b
a
b
，
∵
2
1
log
1
a
b
≤
≤，
∴1
2
2
a
b
≤
≤，所以
3
0
a
b
，
设
,
3
a
b
m a
b
n
，则
1
mn ，
则
1
1
1
1
3
2
2
2
a
b
a
b
a
b
m
n
m
m
，
1 ,2
2
m
，
由双钩函数的性质可得∵
1
y
m
m
在1 ,1
2
单调递减，在
1,2 上单调递增，
∴
min
1 1
2
y
，
1
2
m
时，
5
2
y
；m＝2 时，
5
2
y
，
∴a
b
的取值范围为：
5
1, 4
．
故选：B．
2.设函数
2
( )
ln(
1)
f x
x
x
，则使得
( )
(2
1)
f x
f
x
的x 的取值范围是（
）
A．
,1
B．1 ,
3
C．1 ,1
3
D．
1
,
1,
3
【答案】C
【分析】根据函数解析式判断函数单调性和奇偶性，将外函数大小比较转换为内函数的大小比较，由此得
出答案.
【详解】函数
2
( )
ln(
1)
f x
x
x
的定义域为R ，且
2
ln
1
f
x
x
x
f
x
所以函数
( )
f x 为偶函数，
又因为当
0
x
时，函数
2
y
x
=
，
ln
1
y
x
单调递增，
所以
( )
f x 在
,0
上单调递减，在(0,
)
上单调递增，
因为偶函数有
f
x
f
x
，
所以由
2
1
f
x
f
x
可得
2
1
f
x
f
x
，
所以
2
1
x
x
，即
2
2
(2
1)
x
x
，整理得：
2
3
4
1
0
x
x
，
解得：1
1
3
x
，
所以x 的取值范围为
,
1
3
（
1）.
故选：C.
3.若函数
2
log
4
x
f x
a
在区间
1,0
上的最大值与最小值的差不小于3，则实数a 的取值范围是（
）
A．
4
1,
7
B．
2
1,
5
C．
2
4,
5
D．
4
,
7
【答案】A
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得函数
f
x 的单调性，从而可求出函数
f
x 在
1,0
上的
最值，再列出不等式，即可得解，注意对数的真数大于零.
【详解】令
4 x
a
，则函数
4 x
a
为减函数，
又函数
2
log
y
为增函数，
所以函数
f
x 是减函数，
故
f
x 在区间
1,0
上的最大值是
2
1
log
4
f
a
，最小值是
2
0
log
1
f
a
，
由题设得
2
2
log
4
log
1
3
a
a
，则
2
2
log
4
log
8
8
a
a
，
所以
4
0
1
0
4
8
8
a
a
a
a
，解得
4
1
7
a
，
故实数a 的取值范围是
4
1,
7
.
故选：A.
题型十：对数和指数函数的综合问题
1.已知函数
4
1
4
x
x
f x
a
为奇函数．
(1)求a 的值
(2)解不等式
3
f x
(3)求
f x 的值域．
【答案】(1)
1
a
(2)
1
0, 2
(3)
, 1
1,
【分析】（1）利用奇函数的定义待定系数法计算即可；
（2）结合（1），解不等式即可；
（3）转换自变量与因变量，利用y 表示x ，结合指数函数的性质解不等式即可.
【详解】（1）由题意可得：
4
1
1 4
4
1
4
1
4
4
x
x
x
x
x
x
f
x
f x
a
a
a
，
所以
1
1
1
4
4
4
x
x
x
a
a
a
a
，
因为4
0
x
，所以
1
a ．
（2）不等式等价于4
1
3
4
1
x
x
，则4
1
3
0
4
1
x
x
，化简得
4
2 4
0
2
4
4
1
0
4
1
x
x
x
x
，
所以1
4
2
x
，所以
1
0
2
x
，
所以不等式的解集为
1
0, 2
．
（3）令
4
1
4
1
x
x
y
，则
4
1
4
1
x
x
y
，整理得
1
4
1
x
y
y
，
即
1
4
1
x
y
y
，
又4
0
x ，所以
1
0
1
y
y
，解之得：
1
y 或
1
y ，
所以
f
x 的值域为
, 1
1,
.
2.已知函数
log
1 (
0,
1)
x
a
f
x
a
a
a
(1)当
1
2
a
时，求函数
f
x 的定义域；
(2)当
1
a 时，求关于x 的不等式
1
f x
f
的解集；
【答案】(1) (
,0)
；
(2)(0,1).
【分析】（1）由1
1
0
2x
可求得函数的定义域；
（2）求出函数的定义域，再判断出函数的单调性，然后利用函数的单调性解不等式.
【详解】（1）当
1
2
a
时，
1
2
1
log
1
2x
f x
，故1
1
0
2x
，解得
0
x
，
故函数
f
x 的定义域为
,0
；
（2）
( )
log (
1)(
1)
x
a
f x
a
a
，由
1
0(
1)
x
a
a
，得
0
x
，
所以
f
x 的定义域为
0,
，
任取
1
2
,
(0,
)
x x
，且
1
2
x
x
，则
2
1
2
1
(
)
(
)
log (
1)
log (
1)
x
x
a
a
f x
f x
a
a
，
因为
2
1
0,
1
x
x
a
，所以
2
1
1
x
x
a
a
，
所以
2
1
1
1
0
x
x
a
a
，
因为
1
a ，所以
2
1
log (
1)
log (
1)
x
x
a
a
a
a
，
所以
2
1
(
)
( )
0
f x
f x
，所以
f
x 在
0,
上的单调递增，
所以由
1
f x
f
，得
0
1
x
x
，
解得0
1
x
，所以
1
f x
f
的解集为(0,1).
3.已知函数
2
2
x
x
a
f
x
b
.
(1)当
3,
1
a
b
时，解关于x 的方程
2x
f
x
；
(2)若函数
f
x 是定义在R 上的奇函数，求函数
f
x 的解析式；
(3)在（2）的前提下，函数
g x 满足
2
2
2
x
x
f x
g x
，若对任意xR 且
0
x
，不等式
2
18
g
x
m g x
恒成立，求实数m 的最大值.
【这道大题之前也是各种变化着考，但总体基本没有变】
【答案】(1)
2
log 3
x
(2)
2
1
2
1
x
x
f x
(3)8
【分析】（1）根据题意代入求解即可；
（2）根据奇函数的定义运算求解；
（3）根据题意整理得
2
2
0
x
x
g x
x
，令
2
2
x
x
t
，利用换元法可得
16
m
t
t
在
2
t
时恒成立，
根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）因为
3,
1
a
b
，则
2
3
2
2
1
x
x
x
f x
，
整理得
2
2
2
2
3
0
x
x
，解得2
1
x （舍去）或2
3
x ，
所以
2
log 3
x
.
（2）因为
f
x 是奇函数，则
2
2
0
2
2
x
x
x
x
a
a
b
f x
f
b
x
，
整理得形得：
2
2
2
2
0
x
x
a
b
ab
，
要使上式对任意的x 成立，则
0
2
2
0
a
b
ab
，解得
1
1
a
b
或
1
1
a
b
，
又因为
f
x 的定义域是R ，
当
1
1
a
b
，则
2
1
2
1
x
x
f x
的定义域为
|
0
x x
，不合题意；
当
1
1
a
b
，则
2
1
2
1
x
x
f x
的定义域为R ，符合题意；
所以
2
1
2
1
x
x
f x
.
（3）因为
2
2
2
x
x
f
x
g x
，则
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
g x
，
又因为xR 且
0
x
，则2
1
0
x
，可得
2
2
1
2
1
2
x
x
x
g x
，
可得
2
2
1
2
2
2
2
2
x
x
x
x
g x
，即
2
2
0
x
x
g x
x
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
g
x
.
不等式
2
18
g
x
m g x
恒成立，即
2
2
2
2
2
2
18
x
x
x
x
m
恒成立，
令
2
2
x
x
t
，则
2
2
2 2
2
2
x
x
x
x
t
，
则
2
2
18
t
mt
，可得
16
m
t
t
在
2
t
时恒成立，
因为
2
t
，由基本不等式可得：
16
8
t
t
，当且仅当
4
t
时，等号成立，
所以
8
m
，即实数m 的最大值为8.
模块二：综合巩固
1.已知函效
2
2
2
2
,
4
( )
log
12 ,
4
xe
x
f x
x
x
则
( (4))
f f
（
）
A．1
B．2
C．e
D．2e
【答案】B
【分析】根据题意给的函数解析式先求出
(4)
2
f
，再求
(2)
f
即可.
【详解】由题意知，
2
2
2
(4)
log (4
12)
log 4
2
f
，
2 2
( (4))
(2)
2
2
f f
f
e
.
故选：B
2.“
1
x ”是“2
1
x ”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据不等式的关系，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】因为2
1
x ，此时当且仅当
0
x
，
又因为“
1
x ”是“
0
x
”的充分不必要条件，
所以“
1
x ”是“ 2
1
x ”的充分不必要条件.
故选：A.
3.若lg 2
,lg3
a
b
，则
45
log 12 等于（
）
A．
2
2
1
a
b
a
b
B．2
2
2
1
a
b
a
b
C．
2
2
1
a
b
a
b
D．
2
2
1
a
b
a
b
【答案】D
【分析】由换底公式得
45
lg12
log 12
lg 45
，再根据运算律求解即可.
【详解】解：由换底公式得
45
lg12
lg 4
lg3
2lg 2
lg3
2
log 12
lg 45
lg9
lg5
2lg3 1 lg 2
2
1
a
b
a
b
故选：D
4.以下不等式正确的是（
）
A．
0.2
0.3
1
1
3
3
B．
0.2
0.2
3
2
C．
0.2
0.3
3
3
D．
0.3
2
log
5
log 1.1
【答案】C
【分析】由指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小.
【详解】函数
1
3
x
y
在R 上单调递减，0.2
0.3
，则
0.2
0.3
1
1
3
3
，A 选项错误；
函数
0.2
y
x
在R 上单调递增，3
2
，则
0.2
0.2
3
2
，B 选项错误；
函数
3x
y
在R 上单调递增，0.2
0.3
，则
0.2
0.3
3
3
，C 选项正确；
函数
0.3
log
y
x
在
0,
上单调递减，
0.3
0.3
log
5
log
1
0
，
函数
2
log
y
x
在
0,
上单调递增，则
2
2
log 1.1
log 1
0
，
故
0.3
2
log
5
log 1.1
，D 选项错误.
故选：C
5.已知
4.2
0.8
m
，
0.7
log
4.2
n
，
4.2
0.7
p
，则m、n、p 的大小关系为（
）
A．p
n
m
B．n
m
p
C．m
n
p
D．n
p
m
【答案】D
【分析】根据题意，由指数函数与对数函数的单调性，即可判断大小关系.
【详解】因为
0
4.2
4.2
0.8
0.8
0.7
，所以1
0
m
p
，
因为
0.7
0.7
log
4.2
log
1
0
n
，所以n
p
m
.
故选：D
6.下列结论中是正确的有（
）
A．函数
2
3
4
y
x
x
的零点是
4,0 ,
1,0
B．已知幂函数
2
2
2
3
3
m
m
y
m
m
x
的图象不过原点，则实数m 的取值为1
C．函数
2
log
1
a
f
x
x
（其中
0
a
且
1
a ）的图象过定点
0,2
D．若
2
2
log
f x
x
ax
a
的值域为R ，则实数a 的取值范围是
, 4
0,
【答案】C
【分析】对于A：根据零点的定义运算求解即可；对于B：根据幂函数的定义与性质列式求解；对于C：
根据对数函数的零点分析求解；对于D：根据对数函数的性质结合二次函数运算求解.
【详解】对于选项A：令
2
3
4
0
y
x
x
，解得= 1
x 或
4
x
，
所以函数
2
3
4
y
x
x
的零点是1,4
，故A 错误；
对于选项B：由题意可得：
2
2
3
3
1
2
0
m
m
m
m
，解得
1
m 或
2
m
，故B 错误；
对于选项C：令
1
1
x ，解得
0
x
，则
0
2
log 1
2
a
f
，
所以函数
2
log
1
a
f
x
x
（其中
0
a
且
1
a ）的图象过定点
0,2 ，故C 正确；
对于选项D：若
2
2
log
f x
x
ax
a
的值域为R ，则
2
4
0
a
a
，
解得
0
a
或
4
a ，实数a 的取值范围是
, 4
0,
U
，故D 错误.
故选：C.
7.若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是（
）
①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；③loga(xy)＝logax＋logay；④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.
A．②④
B．①③
C．①④
D．②③
【答案】B
【分析】对于①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0 也不成立，②④根据运算性质可得均正确.
【详解】∵xy>0，∴①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0 也不成立，
②logax2＝2loga|x|，④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|，根据对数运算性质得两个都正确；
故选：B.
8.已知函数
1
0 ,
1
log
(
0)
k
x
f x
x
x
k
x
在定义域上是单调函数，则实数k 的取值范围是（
）
A．
0,1
B．
1,
C．
1,3
D．
1,3
【答案】B
【分析】由分段函数单调性的特征，求实数k 的取值范围.
【详解】当
0
x
时，
1
1
f x
x
单调递增且
0
1
f
，
所以当
0
x
时，
logk
f x
x
k
也单调递增，
则
1
log
0
,
1,
k
k
k
解得
1
k ，所以
1,
k
.
故选：B.
9.Logistic 模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺
炎累计确诊病例( )
I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：
1
48
4
( )
1 e
t
I t
K
，其中K 为最大确诊病例数．当
0
0.05
I t
K
时，标志着已初步遏制疫情，则0t 约为(ln19
3)
（
）
A．35
B．36
C．40
D．60
【答案】B
【分析】得到方程，整理后两边取对数，求出0
6
4ln19
48
48 12
3
t
.
【详解】
0
1
48
4
0
( )
1 e
0.05
t
K
I t
K
，故
0
48
4
19
e
t
，
两边取对数，
0
9
4
n1
8
4
l
t
，解得0
6
4ln19
48
48 12
3
t
，
故0t 约为36.
故选：B
10.已知函数
2
e
e
( )
ln( 1
)
2
x
x
f x
x
x
，若不等式
(2
4 )
(
2
2)
0
x
x
x
f
f m
对
R
x
恒成立，则实
数m 的取值范围为（
）
A．(
,2 2
1)
B．( 2 2
1,
)
C．( 2 2
1,2 2
1)
D．(
,2 2
1)
【答案】D
【分析】先求出函数
( )
f x 的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，
2
2
2
+
1
x
x
m
，最后结
合基本不等式计算求解即可
【详解】
2
e
e
( )
ln( 1
)
2
x
x
f x
x
x
,
2
e
e
(
)
ln( 1
),
2
x
x
f
x
x
x
2
2
e
e
e
e
(
)
( )
ln( 1
)
ln( 1
)
0
ln1
0
2
2
x
x
x
x
f
x
f x
x
x
x
x
,
所以
2
e
e
( )
ln( 1
)
2
x
x
f x
x
x
为奇函数,
2
e
e
( )
ln( 1
)
2
x
x
f x
x
x
为单调增函数,
(2
4 )
(
2
2)
0
(2
4 )
(
2
2)
(2
2 )
x
x
x
x
x
x
x
f
f m
f
f m
f
m
，
,
2
4
2
2
x
x
x
m
,
2
+
2
+
+
2
4
2
2
2
4
=2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
m
m
，
R
x
恒成立,
2
2
0,
+
1
2
1
2
2
2 2
2
2
2
1
x
x
x
x
x
,
2 2
1
m
.
故选：D.
11.(多选)已知函数
2
2
1,
0,
log
1,
0,
x
x
f
x
x
x
则下列选项正确的是（
）
A．函数
f
x 在区间
0,
上单调递增
B．函数
f
x 的值域为
1,
C．方程
1
8
f x
f
f
有两个不等的实数根
D．不等式
0
f
f x
解集为
1
2
,
2 2,8
8
4
【答案】BC
【分析】画出
2
2
1,
0
log
1,
0
x
x
f
x
x
x
的图象，结合图象即可判断各选项.
【详解】
画出
2
2
1,
0
log
1,
0
x
x
f
x
x
x
的图象，如上图所示.
令
2
2
log
1
0, log
1
x
x
，解得
1
2
x
或
2
x
，
所以
f
x 的图象与x 轴交于
1 ,0 , 2,0
2
.
对于A，由图象可知，函数
f
x 在区间
0,
上不单调，A 错；
对于B，由图象可知，函数
f
x 的值域为
1,
，B 对；
对于C，
2
1
1
log
1
2
8
8
f
，
2
2
2
1
5
f
，
由图象可知，方程
1
8
f x
f
f
，即
5
f x
有两个不等的实数根，C 对；
对于D，由图象可知，当1
2
2
x
时，
0
f x
，
所以，由
0
f
f x
可得
1
2
2
f x
.
令
2
1
log
1
2
x
，解得
2
4
x
或
2 2
x
；
令
2
log
1
2
x
，解得
1
8
x =
或
8
x
，
所以，由图象可知，不等式
0
f
f x
解集为
1
2
,0
,
2 2,8
8
4
，D 错.
故选：BC
12.(多选)下列运算中正确的是（
）
A．
3
8
3
log 8
log 5
log 5
B．
1
3
8
3
27
2
C．
2
(3
)
3
D．
2
log 7
1
ln ln e
7
2
【答案】BD
【分析】利用指数、对数、根式的运算法则化简即可.
【详解】因为
3
5
8
3
log 8
log 8
log 5
log 5
，所以A 错误；
因为
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
8
27
3
3
3
27
8
2
2
2
，所以B 正确；
因为
2
(3
)
| 3
|
3
3
，所以C 错误；
因为
2
2
log 7
log 7
1
ln ln e
2
ln1
7
0
7
2
，所以D 正确.
故选：BD.
13.(多选)下列各式正确的是（
）
A．设
0
a
，则
1
6
3
2
a
a
a
a
B．已知3
1
a
b
，则81 3
3
3
a
b
a
C．若log 2
,log 5
a
a
m
n
，则
2
20
m n
a
D．
1
1
4
5
1
1
lg3
1
1
log
log
9
3
【答案】ABC
【分析】根据指数运算法则和对数运算法则即可判断答案.
【详解】对于A，
1
6
5
2
5
3
2
6
3
3
a
a
a
a
a
a
a
a
a a
a
，故A 对；
对于B，
4
3
81 3
3
3
3
3
3
3
a
b
a
b
a b
a
a
，故B 对；
对于C，
2
m
a
，
5
n
a
，
2
2
20
m n
m
n
a
a
a
，故C 对；
对于D，
9
3
3
3
3
4
5
1
1
4
5
1
1
1
1
log
log
log
log
log
1
1
log
log
log
log
4
5
2
5
10
9
9
3
3
，故D 错．
故选：ABC．
14.(多选)已知函数
1
x
x
f
x
a
a
，其中
0
a
且
1
a ，则下列结论正确的是（
）
A．函数
f
x 是奇函数
B．函数
f
x 的图象过定点
0,1
C．函数
f
x
0
在其定义域上有解
D．当
1
a 时，函数
f
x 在其定义域上为单调递增函数
【答案】ACD
【分析】对选项A，利用奇函数的定义即可判断A 正确，对选项B，根据
0
0
f
即可判断B 错误，对选
项C，令
0
x
x
f x
a
a
求解即可判断C 正确，对选项D，根据指数函数单调性即可判断D 正确.
【详解】函数
1
x
x
x
x
f
x
a
a
a
a
，
对选项A，
x
x
f x
a
a
，定义域为R，
x
x
f
x
a
a
f x
，
所以函数
f
x 是奇函数，故A 正确.
对选项B，
0
0
0
0
f
a
a
，故B 错误.
对选项C，
x
x
f x
a
a
，定义域为R，令
0
x
x
f x
a
a
，解得
0
x
，
故C 正确.
对选项D，当
1
a 时，
1
0
1
a
，所以
x
y
a
和
1
x
y
a
在R 上为增函数，
所以函数
1
x
x
f x
a
a
在R 上为单调递增函数，故D 正确.
故选：ACD
15.(多选)已知函数
2
( )
ln
1
2
f x
x
x
，则（
）
A．
( )
f x 的定义域为R
B．
( )
f x 在(0,
)
上是增函数
C．当
0
x
时，
( )
(0,2]
f x
D．
1
(lg3)
lg
4
3
f
f
【答案】AD
【分析】对于A 选项，证明对数中的真数大于0 即可；
对于B 选项，利用复合函数单调性即可判断；
对应C 选项：由函数单调性即可判断；
对于D 选项：注意到lg3 与
1
lg 3 互为相反数，验证
4
f
x
f
x
即可.
【详解】对于A 选项：由
2
2
1
0
x
x
x
x
x
x
，所以
( )
f x 的定义域为R ；因此A 选项表述正确.
对于B 选项：注意到当
0
x
时，有
2
2
1
( )
ln
1
2
ln
2
1
f x
x
x
x
x
，
令
2
1
u
x
x
，
1
t
u
，
ln
2
f
x
s
t
，显然u 关于x 递增，t 关于u 递减，s 关于t 递增，
由复合函数单调性法则“同增异减”得
( )
f x 在(0,
)
上是减函数；因此B 选项表述错误.
对于C 选项：由B 选项分析可知
( )
f x 在
0,2 上是减函数，并且注意到
2
ln
1
2
ln1
2
0
2
2
f
x
x
x
，
即当
0
x
时，
( )
2,
f x
；因此C 选项表述错误.
对于D 选项：注意到
1
lg3
lg 3
，即lg3 与
1
lg 3 互为相反数，
又
2
2
ln
1
2
ln
1
2
f x
f
x
x
x
x
x
2
2
ln
1
1
4
x
x
x
x
ln1
4
0
4
4
；
因此D 选项表述正确.
故选：AD.
16.(多选)已知函数
,
0
ln ,
0
x x
f x
x x
，则下列结论中正确的是（
）
A．函数
f
x 有且仅有一个零点0
B．
e
1
f
C．
f
x 在
,0
上单调递增
D．
f
x 在
0,
上单调递减
【答案】BC
【分析】根据分段函数解析式，结合对数函数性质判断单调性和零点．
【详解】由函数
,
0
ln ,
0
x x
f x
x x
，可得
f
x 有两个零点0、1，故A 错误；
由于
e
| ln e | 1
f
，故B 正确；
当
0
x
时
f x
x
，所以
f
x 在
,0
上单调递增，故C 正确；
当
0
x
时
ln ,
1
ln ,
1
x x
f x
x x
，所以
f
x 在
0,1 上单调递减，
1,上单调递增，故D 错误．
故选：BC．
17.(多选)已知函数
0.5
log
,0
2
π
π
cos
,2
16
6
3
x
x
f x
x
x
，若存在实数a 使得方程
f x
a
有五个互不相等的实
数根分别为
1
x ，
2
x ，
3x ，
4x ，
5x ，且
1
2
3
4
5
x
x
x
x
x
，则下列说法正确的有（
）
A．0
1
a
B．
1
2
2
2 2
x
x
C．
9
2
f
a
D．
4
5
3
4
1
1
28
x
x
x
x
的取值范围为
2
3
,
3
7
【答案】BCD
【分析】作出
( )
f x 在(0,16]上的图象，由方程
( )
f x
a
有五个互不相等的实数根，结合图象可得1
1
2
a
，
从而判断A；由对数的性质可得
1
2
1
x
x
，从而有
1
2
2
2
2
2x
x
x
x
，结合基本不等式即可判断B；由题意可
得
9
5π
π
1
cos
cos
2
12
3
2
f
，结合1
1
2
a
，即可判断C；由余弦函数的对称性可得
3
4
16
x
x
，4
5
28
x
x
，
代入得
4
5
3
4
3
4
1
1
16
1
28
x
x
x
x
x x
，利用二次函数的性质及不等式的性质可求得
4
5
3
4
1
1
28
x
x
x
x
的范围，从
而判断D.
【详解】
作出
f
x 在
0,16 上的图象，如图所示：
对于A，因为
2
1
( 2)
(4)
(12)
(16)
2
2
f
f
f
f
f
，
又因为方程
f x
a
有五个互不相等的实数根，所以1
1
2
a
，故A 错误；
对于B，由题意可得
1
1
1
2
2
2
log
log
x
x
，且有
1
2
2
0
,
2
2,
2
x
x
所以
1
2
1
x
x
，所以
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
x
x
x
x
x
x
，
当且仅当
2
2
2
x
x
，即
2
2
x
时，等号成立，故B 正确；
对于C，由题意可得
9
π
9
π
5π
π
1
cos
cos
cos
2
6
2
3
12
3
2
f
，
由A 可知1
1
2
a
，所以
9
2
f
a
，故C 正确；
对于D，由图可知：
3x 与
4x 关于
8
x
对称，
4x 与
5x 关于
14
x
对称，
且
3
2
4
x
，
4
5
12
14
16
x
x
，所以
3
4
4
5
16,
28
x
x
x
x
，
所以
4
5
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
1
1
1
1
16
1
1
1
28
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
因为
3
4
16
x
x
，所以
3
4
16
x
x
，
所以
2
2
3
4
4
4
4
4
4
16
16
64
8
x
x
x
x
x
x
x
，
又因为
4
12
14
x
，
所以
2
4
28
64
8
48
x
，
所以
3
4
3
4
1
1
1
1
16
4
,
48
28 3
7
x x
x x
，
所以
3
4
2
16
3
1
3
7
x x
，即
4
5
3
4
2
1
1
3
3
28
7
x
x
x
x
，故D 正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：
这道题的关键是能够准确作出
f
x 在
0,16 上的图象，再结合对数函数的性质和余弦函数的对称性，即可
求解问题.
18.已知
1
2
2 ,
0
log
,
0
x x
f x
x x
，则
[ (8)]
f f
．
【答案】1
8 /0.125
【分析】根据分段函数的函数值求解方法直接计算即可.
【详解】由题意得，
1
2
2
8
log 8
log 8
3
f
，
所以
3
1
[ (8)]
3
2
8
f f
f
.
故答案为：1
8
19.已知函数
3
3
3
2022
3
2022
2
x
x
f
x
x
x
，则不等式
2
4
2
2
12
f
x
f
x
的解集为
.
【这道题之前的专辑有出现过哦！】
【答案】
2,4
【分析】令
3
2022
2022
2
x
x
g x
x
x
，分析函数
g x 的定义域、奇偶性与单调性，将所求不等式变
形为
2
7
2
1
g x
g
x
，结合函数
g x 的单调性可得出关于x 的不等式，解之即可.
【详解】设
3
2022
2022
2
x
x
g x
x
x
，则函数
g x 定义域为R ，
因为
3
3
2022
2022
2
2022
2022
2
x
x
x
x
g
x
x
x
x
x
g x
，
故函数
g x 为奇函数，
因为函数
2022x
y
、
2022 x
y
、
3
y
x
、
2
y
x
均为R 上的增函数，
故函数
g x 为R 上的增函数，
因为
3
3
3
2022
2022
3
2
3
6
3
6
x
x
f
x
x
x
g x
，
由
2
4
(2
2 )
12
f x
f
x
可得
2
4
3
2
2
3
12
12
g x
g
x
，
可得
2
7
1
2
2
1
g x
g
x
g
x
，
所以，
2
7
2
1
x
x
，即
2
2
8
0
x
x
，解得2
4
x
.
因此，不等式
2
4
2
2
12
f
x
f
x
的解集为
2,4
.
故答案为：
2,4
.
20.已知直线
1
y 与函数
2x
f
x
x
，
2
log
g x
x
x
的图象交点的横坐标分别为
1
x ，
2
x ，则
1
2
x
x
.
【答案】1
【分析】根据函数图象对称性求得正确答案.
【详解】由
2
=1
x
f x
x
得2 =1
x
x
；
由
2
log
=1
g x
x
x
得
2
log
=1
x
x
；
画出
2
2 ,
log
,
,
1
x
y
y
x y
x y
x
的图象如下图所示，
2x
y
与
2
log
y
x
的图象关于直线y
x
对称，
由
1
y
x
y
x
解得
1
= 2
x
y
，
所以
1
2
1
2
=1
2
x
x
.
故答案为：1
21.若实数
1
2
,
x x 满足
1
1
e
2
0
x
x
，
2
2
2
ln
2
1
0
x
x
x
，则
2
1
2
x
x
.
【答案】1
【分析】令
e
2
x
f x
x
，易知
f
x 为单调递增函数，函数边形同构可得
1
2
e x
x
，进而求解即可.
【详解】令
e
2
x
f x
x
，易知
f
x 为单调递增函数，
1
0
f x
，
即
f
x 有且仅有一个零点，
又由题可知
2
2
1
ln
2
0
x
x
，即
2
ln
2
e
ln
2
0
x
x
，
所以
2
ln
0
f
x
，
所以
1
2
ln
x
x
，即
1
2
e x
x
，
又
1
1
e
2
0
x
x
，得
1
1
2
ex
x
，
所以
1
1
2
1
1
2
e
e
x
x
x
x
.
故答案为：1.
22.已知函数
2
2
1
3,
2
2
log
,
2
x
x
f
x
x x
，若函数
2
2
1
2
g x
f
x
m
f x
m
有5 个零点，则实数m 的取
值范围是
.
【答案】1 3
,
2 2
【分析】首先根据方程
0
g x
，求得
1
f x 或
2
f x
m
，再画出函数
f
x 的图象，结合函数零点的
个数，利用数形结合求m 的取值范围.
【详解】
f
x 的大致图象如图，
函数
g x 有5 个零点等价于方程
2
2
1
2
0
f
x
m
f x
m
有5 个不同的根，
解关于
f
x 的二次方程得：
1
f x 或
2
f x
m
；
由
f
x 的图象可知
1
f x 有两个根，则
2
f x
m
需有3 个根，
所以1
2
3
m
，则实数m 的取值范围为1 3
,
2 2
.
故答案为：1 3
,
2 2
23.设
R
a
，函数
2
2
x
x
a
f x
a
.
(1)若
1
a ，求证：函数
y
f x
是奇函数；
(2)若
0
a
，请判断函数
y
f x
的单调性，并用定义证明.
【答案】(1)证明见解析；
(2) R 上的增函数，证明见解析.
【分析】（1）利用奇函数的定义可证得结论成立；
（2）任取
1
2
,
R
x x
，且
1
2
x
x
，作差
1
2
f x
f x
，因式分解并判断差值的符号，由此可证得函数
y
f x
为R 上的增函数.
【详解】（1）当
1
a 时，函数
2
1
2
1
x
x
f x
的定义域为R ，
由于
2
2
1
2
1
1 2
2
1
1
2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f x
，
所以函数
y
f x
是奇函数.
（2）当
0
a
时，函数
f
x 为R 上的增函数.
当
0
a
时，
2
2
2
2
1
2
2
2
x
x
x
x
x
a
a
a
a
f x
a
a
a
，
任取
1
2
,
R
x x
，且
1
2
x
x
，则
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2 (2
2 )
(1
)
(1
)
2
2
2
2
(2
)(2
)
x
x
x
x
x
x
x
x
a
a
a
a
a
f x
f x
a
a
a
a
a
a
，
由
1
2
x
x
，得
1
2
2
2
0
x
x
，则
1
2
0
f x
f x
，即
1
2
f x
f x
，
所以函数
y
f x
为R 上的增函数.
24.已知函数
2
( )
log
4
2 2
3
x
x
f x
.
(1)求方程
1
f x 的根；
(2)求
f
x 在
0,2 上的值域.
【答案】(1)
0
x
(2)
2
1,log 11
【分析】（1）由题得到方程4
2 2
1
0
x
x
，求出方程的根；
（2）换元后得到
2
2
3
h t
t
t
的单调性，结合复合函数的单调性得到
f
x 单调递增，求出值域.
【详解】（1）
2
log
4
2 2
3
1
x
x
，故4
2 2
1
0
x
x
，
2
2
1
0
x
，
所以2
1
x ，解得
0
x
；
（2）令
2x
t
，当
0,2
x
时，
2
1,4
x
t
，
故
2
2
log
2
3
y
t
t
，由于
2
2
3
h t
t
t
在
1,4
t
上单调递增，
故
2,11
h t
，
由复合函数单调性可知，
2
2
log
2
3
y
t
t
在
1,4
t
上单调递增，
故
2
2
2
log
2
3
1,log 11
y
t
t
.
25.已知函数
1
e
1
x
a
f x
为奇函数.
(1)求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数
f
x 在R 上是增函数；
(2)求不等式
4
4
5 2
0
x
x
f
f
的解集.
【答案】(1)
2
a ；函数
f
x 在R 上是增函数证明见解析
(2)
2
0
x
x
【分析】（1）根据奇函数的性质
0
0
f
代入可求a ，然后结合函数单调性的定义即可证明；
（2）根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式转化为
2
3
2
t
t
，解之即可得结论.
【详解】（1）∵
1
e
1
x
a
f x
是奇函数，定义域为R ，
∴
0
1
0
2
a
f
，则
2
a ，
1
e
2
1
x
f x
，
所以
2 1
e
2
2
2e
2
1
1
1
1
e
1
1
e
1
e
1
e
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
，符合
f
x 为奇函数，
证明：任取
1
2
,
R
x x
，且
1
2
x
x
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
2 e
e
2
2
1
1
e
1
e
1
e
1 e
1
x
x
x
x
x
x
f x
f x
，
由
1
2
x
x
，可得
1
2
e
e
x
x
，则
1
2
e
e
0
x
x
，
1
1
0
xe
，
2
e
1
0
x
∴
1
2
0
f x
f x
，即
1
2
f
x
f
x
，
∴函数
f
x 在R 上是增函数.
（2）∵函数
f
x 在R 上是奇函数
∴
4
4
5 2
5 2
4
x
x
x
f
f
f
又函数
f
x 在R 上是增函数
∴4
5 2
4
x
x
令2 x
为t ，则
2
5
4
0
t
t
解得1
4
t
即2
0
x
∴不等式的解集为
2
0
x
x
26.已知函数
2
3
( )
log
(
0
2
3
a
x
f x
a
x
且
1)
a
.
(1)求
( )
f x 的定义域，判断
( )
f x 的奇偶性并给出证明；
(2)若
(2
1)
(3
2)
0
f
m
f
m
，求实数m 的取值范围.
【这道题也相当于是必考题，注意哦，之前马老师多次讲过】
【答案】(1)定义域为
2 2
,
3 3
，奇函数，证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据对数的真数为正数列式可解得定义域；根据函数奇偶性的定义判断并证明
( )
f x 的奇偶性；
（2）不等式化简后，分类讨论底数a ，根据对数函数的单调性可解得结果.
【详解】（1）令2
3
0
2
3
x
x
，解得
2
2
3
3
x
，则
f
x 的定义域为
2 2
,
3 3
.
因为
1
2
3
2
3
2
3
2
3
log
log
log
log
2
3
2
3
2
3
2
3
a
a
a
a
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
，
所以
f
x 为奇函数；
（2）
2
1
3
2
0
f
m
f
m
，即
2
1
3
2
2
3
f
m
f
m
f
m
.
因为
2
3
4
log
log
1
2
3
2
3
a
a
x
f
x
x
x
.
令
4
1
2
3
u
x
，易得
4
1
2
3
u
x
在
2 2
,
3 3
上单调递增.
当0
1
a
时，
f
x 在
2 2
,
3 3
上单调递减，则
2
2
2
3
2
1
3
3
m
m
，解得3
5 ;
5
6
m
当
1
a 时，
f
x 在
2 2
,
3 3
上单调递增，则
2
2
2
1
2
3
3
3
m
m
，解得4
3
9
5
m
.
综上，当0
1
a
时，实数m 的取值范围是3 5
,
5 6
；当
1
a 时，实数m 的取值范围是4 3
,
9 5
.
27.已知函数
1
lg
1
x
f
x
x
.
(1)求不等式
lg2
0
f
f
x
f
的解集；
(2)函数
3
0,
1
x
g x
a
a
a
，若存在
1
2
,
0,1
x x
，使得
1
2
f x
g x
成立，求实数a 的取值范围.
【这道题和上道题类似】
【答案】(1) 1 9
,
3 11
(2)
3,
【分析】（1）求得
( )
f x 的定义域和值域及函数的单调性，得1
1
1
10
1
2
x
x
，解不等式即可得到所求范围；
（2）求得当0
1
x
时，
( )
f x 的值域；以及讨论
1
a ，0
1
a
时( )
g x 的值域，由题意可得
( )
f x 和( )
g x 的
值域存在交集，即可得到所求范围；
【详解】（1）由1
0
1
x
x
，可得1
1
x
，故函数定义域为
1,1
，关于原点对称，
又
1
1
lg
lg
1
1
x
x
f
x
f
x
x
x
，即
f
x 为奇函数.
又
1
2
1
2
lg
lg
lg
1
1
1
1
x
x
f x
x
x
x
，
函数
2
1
1
y
x
在
1,1
上单调递减，值域为
0,
.
由复合函数的单调性质知
f
x 在
1,1
上单调递减，且
f
x 的值域为R，
不等式
lg2
0
f
f
x
f
，转化为
lg2
f
f
x
f
，
因为
f
x 为奇函数，所以
lg2
lg2
f
f
x
f
f
，
因为
f
x 在
1,1
上单调递减，所以
1
lg2
f x
，
即
1
1
lg
lg2
1
x
x
，即1
1
1
10
1
2
x
x
，
即
1
1
1
10
2
x
x
x
，解得1
9
3
11
x
，
则原不等式的解集为1 9
,
3 11
.
（2）因为存在
1
2
,
0,1
x x
，使得
1
2
f x
g x
成立，
所以
0,1
x
时，
f
x 的值域与
g x 的值域有交集.
因为
2
lg
1
1
f x
x
在
0,1 上是减函数，
0
1
f
，
所以
f
x 的值域为
,0
，
当
1
a 时，
3
x
g x
a
在
0,1 上单调递减，故
g x 的值域为
3
,2
a
，
所以3
0
a
即
3
a
，
当0
1
a
时，
3
x
g x
a
在
0,1 上单调递增，故
g x 的值域为
2,3
a
，不符.
综上所述，实数a 的取值范围为
3,.
28.已知函数
log
1
3
a
f
x
x
，（
0
a
且
1
a ）的图象经过点
2,4
P
，函数
2
3
1
x
g x
b
为奇函数.
(1)求函数
f
x 的解析式；
(2)求函数
3
2
x
F x
g x
的零点；
(3)若关于x 的不等式
3
1
log
1
x
m
f x
x
在区间
1,0
上恒成立，求正实数m 的取值范围.
【答案】(1)
3
( )
log (1
)
3
f x
x
，
(
1)
x，
(2) 1
2
(3) (0,3]
【分析】（1）将
2,4
P
代入即可得到解析式；
（2）利用
0
2
(0)
0
3
1
g
b
，求出
1
b ，从而得到
( )
F x 的解析式，令其为0，解出即可；
（3）分离参数得
2
3
(1
)
3
log
1
x
m
x
，令
1
0,1
t
x t
，
，则
3
4
3
log
4
m
t
t
，设
3
4
3
log
4 ,
(01)
y
t
t
t
, ，
根据复合函数单调性即可得到其值域，则得到m 的范围.
【详解】（1）由题意，
( )
f x 过点( 2 4)
，，即
( 2)
3
log 3
4
a
f
，解得
3
a
所以
3
( )
log (1
)
3
f x
x
，
,1
x
.
（2）
( )
g x 为R 上的奇函数，
∴
0
2
(0)
0
3
1
g
b
，解得
1
b ，即
2
( )
1
3
1
x
g x
，其定义域为R ，关于原点对称，
且
3
1
2
2
2
3
1
3
2
2
(
)
1
1
1
1
3
1
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
g
x
g x
，
故此时
g x 为奇函数，
又
( )
( )
3
2
x
F x
g x
，
令
( )
0
F x
，则
2
3
1
0
3
1
x
x
，即(3
1)(3
1)
2
x
x
．即9
3
x =
，解得
1
2
x
．
（3）由
3
1
log
( )
1
x
m
f x
x
在区间( 1 0)
，上恒成立．
得
3
3
1
3
log (1
)
log 1
x
m
x
x
，即
2
3
(1
)
3
log
1
x
m
x
，
令
1
(0 1)
t
x t
，
，，则
3
4
3
log
4
m
t
t
，
令
3
4
3
log
4 ,
(01)
y
t
t
t
, ，
设
4
4
n
t
t
，
(0,1)
t
，根据对勾函数单调性知
4
4
n
t
t
在(0,1)上单调递减，
而
3
3
log
y
n
为单调增函数，则根据复合函数单调性知：
3
4
3
log
4
y
t
t
在
(0,1)
t
上单调递减，
∴
3
3
4
4
3
log
4
3
log
1
4
3
1
y
t
t
，
若关于x 的不等式
3
1
log
( )
1
x
m
f x
x
在区间( 1,0)
上恒成立，则
3
m
，
又m 为正实数．∴
(0,3]
m
．
