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2025二轮复习专项精练2
不等式
【真题精练】
一、单选题
1．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·上海·高考真题） ，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·浙江·高考真题）已知 是互不相同的锐角，则在
三个值中，大于 的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
题号 1 2 3 4 5
答案 B B A C C
学科网（北京）股份有限公司1．B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即
可.
【详解】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ，
对于选项AB：可得 ，即 ，
根据函数 是增函数，所以 ，故B正确，A错误；
对于选项D：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故D错误；
对于选项C：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故C错误，
故选：B.
2．B
【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误.
【详解】对于A，若 ，则 ，选项不成立，故A错误；
对于B，因为 ，故 ，故B成立，
对于C、D，若 ，则选项不成立，故C、D错误；
故选：B.
3．A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不
等式，换底公式可得 ， ，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
学科网（北京）股份有限公司由 可得 ，而 ，所
以 ，即 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 .综上， .
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．
根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，
属于通性通法；
法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，
简单明了，是该题的最优解．
4．C
【分析】根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三
相等”，即可得出 不符合题意， 符合题意．
【详解】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值
为 ，A不符合题意；
学科网（北京）股份有限公司对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等
号取不到，所以其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当
，即 时取等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ，
，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，
再结合有关函数的性质即可解出．
5．C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得 ，从而可判
断三个代数式不可能均大于 ，再结合特例可得三式中大于 的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
学科网（北京）股份有限公司法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：
，
而 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍
雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
【模拟精练】
一、单选题
1．（2024·北京丰台·二模）若 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·北京西城·一模）设 ，其中 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·云南昆明·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足 ，且不等式
学科网（北京）股份有限公司有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
5．（23-24高一上·安徽淮北·阶段练习）下列条件中，为“关于x的不等式
对 恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知 ， ，
若 ，则实数m的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若命题“ ， ”是假命题，则实数
的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）若函数 既有极大
值也有极小值，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·甘肃陇南·一模）已知 ，关于x的不等式 的解集为
，则（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
10．（2023·山西·模拟预测）已知正实数a，b满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知正数 ， 满足 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
12．（2024·全国·模拟预测）已知 ， 且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最小值4 B． 有最小值
C． 有最小值 D． 的最小值为
13．（2023·广东汕头·三模）若 ，则下列不等式对一切满足条件 恒
成立的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024·浙江·二模）已知正实数 ，且 为自然数，则满足
恒成立的 可以是（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司15．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图像恒过定点
B．“ ”的必要不充分条件是“ ”
C．函数 的最小正周期为2
D．函数 的最小值为2
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B B B C A BCD ABC
题号 11 12 13 14 15
答案 ABD ABD ACD BC AB
1．D
【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D.
【详解】由于 ，取 ， ， ，无法得到
， ，故AB错误，
取 ,则 ，无法得到 ，C错误，
由于 ，则 ，所以 ，
故选：D
2．C
【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.
【详解】由 ，故 ，故 ，
由对勾函数性质可得 ，
，且 ，
综上所述，有 .
故选：C.
3．A
学科网（北京）股份有限公司【分析】构造函数 ，利用函数单调性确定 大小，通过作差 ，判断正负
即可确定 大小即可.
【详解】设 ，则令 ，得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
，则 ，
又 ，得 ，
所以 ，
故选：A
4．B
【分析】根据题意，利用基本不等式求得 的最小值，把不等式 有解，
转化为不等式 ，即可求解.
【详解】由两个正实数 满足 ，得 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
又由不等式 有解，可得 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 或 .
故选：B.
5．B
【分析】先求出关于x的不等式 对 恒成立的充要条件，然后根据充
分不必要条件的定义即可求解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】若关于x的不等式 对 恒成立，
当 时，不等式等价于 恒成立，故 满足要求，
当 时，原不等式恒成立当且仅当 ，解得 ，
综上所述，若关于x的不等式 对 恒成立，则当且仅当 ，
而选项中只有 是 的充分不必要条件.
故选：B.
6．B
【分析】解不等式可得集合A，根据 可得 在 上恒成立，结合二次函
数的单调性即可求得答案.
【详解】解不等式 ，即 ，
即 ，
又 ， ，
故 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，而 在 上单调递减，
故 ，故 ，
即实数m的取值范围为 ，
故选：B
7．C
【分析】根据特称命题与全称命题的真假性质，结合一元二次不等式的解集的性质进行求
解即可.
【详解】因为命题“ ， ”是假命题，
所以命题“ ， ”是真命题，
学科网（北京）股份有限公司因此有 ，所以实数 的最小值为 ，
故选：C
8．A
【分析】将函数既有极大值也有极小值转化为导函数对应的方程有两个不等正根即可解决
问题.
【详解】因为 ，所以函数 定义域为 ，
，
由题意，方程 ，即 有两个不相等的正根，设为 ，
则 ，解得 ，即 的取值范围为 ，
故选：A.
9．BCD
【分析】举特殊值可判断A；令 ，结合题意得 ，利用三角代换判断
B；将 转化为 ，令 ，继而转化为 ，
再结合换元，利用函数的单调性，可求得 的范围，即可判断C，D.
【详解】对于A，由题意知 ，关于x的不等式 的解集为
，
不妨取 ，则 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司其解集为 ，即 满足题意，故A错误；
对于B， 即 ，
令 ，由于不等式 的解集为 ，
故需满足 ，且 ，
令 ，则 ，
由于 ，则 ，即得 ，
又 ，故 ，B正确；
对于C，D， ， ，
故 ，
令 ， ，则 ，
则 ，
令 ，则
，
由于函数 在 上单调递增，
故 ，
则 ，即 ，
即 ， ，C，D正确，
故选：BCD
学科网（北京）股份有限公司【点睛】难点点睛：本题考查了由指数型不等式的解集求解参数范围问题，综合性较强，
难度较大，解答的难点在于C，D项的判断，解答时要利用三角代换以及换元法，将
等价转化，再结合函数的单调性进行判断.
10．ABC
【分析】利用基本不等式可得A,B,D正误，利用1的妙用可得C的正误.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，当且仅当 ，即
时，取到等号，故A正确；
对于B， ，当且仅当 ，即 时，取到等
号，故B正确；
对于C， ，当且仅当 ，
即 时，取到等号，故C正确；
对于D， ，所以 ，当且仅当 ，即
时，取到等号，故D错误．
故选：ABC.
11．ABD
【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.
【详解】对于A：∵ ， ， .
∴ ， .
当且仅当 ，即 ， ，取“ ”，∴A正确；
学科网（北京）股份有限公司对于B： ，由（1）知 ，∴ .
∴ .∴B正确；
对于C： .
∴ ，∴C错误；
对于D： ，
当且仅当 ，即 ，取“ ”，∴D正确.
故选：ABD.
12．ABD
【分析】利用基本不等式可判断各选项.
【详解】A选项：由 ，得 ，当且仅当 ，即 ， 时取
等号，故A选项正确；
B选项： ，当且仅当 ，
即 ， 时取等号，故B选项正确；
C选项：由 ，得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故C选项错误；
D选项：由A的分析知 且 ， 时取等号，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故D选项正确；
故选：ABD．
13．ACD
【分析】对于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；对于C，利用 ，求出
，结合 的范围，利用二次函数的性质即可求得.
【详解】对于A， ，即 ，当且仅当 时等号
成立，所以A正确；
对于B， ， ，
又 ，则 ，当且仅当 时等号成立，所以B错误；
对于C， ， ，所以 ，
则 ，并且 时等号成立.，所以C
正确；
对于D， ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立， 所以D正确.
故选：ACD.
14．BC
【分析】将 恒成立，转化为 恒成立，
学科网（北京）股份有限公司再利用基本不等式得到 ，转化为 恒
成立，逐项判断.
【详解】解：因为正实数 ，且 为自然数，
所以 ，
则 恒成立，即 恒成立，
两边同乘 ，则 ，
而 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
若 恒成立，则 恒成立，
A.当 时， ，不成立；
B.当 时， ，成立；
C.当 时， ，成立；
D.当 时， ，不成立，
故选：BC
15．AB
【分析】由指数函数的性质可判断A；由充分条件和必要条件的定义可判断B；求出函数
的最小正周期可判C；由双勾函数的性质可判断D.
学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，令 ，则 ，即 ，
所以函数 的图像恒过定点 ，故A正确；
对于B， 不能推出 ，而 能推出 ，
所以“ ”的必要不充分条件是“ ”，故B正确；
对于C，因为 ，令 等价于 ，
所以 ①，令 等价于 ，
所以 ②，由①②可得： ，
所以函数 的最小正周期为4，故C错误；
对于D，函数 ，令 ，
则 ，由双勾函数的性质知 在 上单调递增，
故 ，故函数 的最小值为2错误，故D错误.
故选：AB.
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