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2024 灌南高中协作体高一月考联考
数学试题
（12．1）
一、单选题
1. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合 ，再根据交集概念计算即可.
【详解】先求出集合 ，得到 ，则 .
故选：C.
2. 函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由偶次根式的被开方数大于等于零，分母不为零求解即可.
【详解】由 解得 或 ．
故选:D．
3. 命题“ ， ”的否定为（ ）
A. ， B. ，
.
C ， D. ，
【答案】A【解析】
【分析】根据全称命题的否定得解.
【详解】根据全称命题的否定可知，
， 的否定为 ， ，
故选：A
4. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数的定义,结合对数函数、指数函数、二次函数以及幂函数的单调性便可判断每个选项
的正误，从而找出正确选项.
【详解】对于 ， 是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，故正确.
对于 ， 是偶函数，且在区间(0,+∞)上是单调递增，故错误.
对于 , 是奇函数，不满足题意，故错误.
对于 ， 的图象不关于 轴对称,不是偶函数，故错误，故选A.
【点睛】本题主要考查偶函数的定义，对数函数、指数函数的图象、二次函以及幂函数的单调性，意在考
查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
5. 已知定义在 上的函数 满足 ，且 在 上单调递减，则 ，
的大小顺序是（ ）
A. B.C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件可得 ，再利用单调性比较大小即得.
【详解】依题意， ，由 在 上单调递减， ，得 ，
所以 .
故选：C
6. 若函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 单调性可确定每一段函数的单调性及分段处函数值的大小关系，由此构造不等式组求
得结果.
【详解】 是 上的减函数， ，解得： ，
实数 的取值范围为 .
故选：D.7. 设奇函数 的定义域为 ，对任意的 、 ，且 ，都有不等式
，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令 ，分析函数 的奇偶性与单调性，计算可得出 ，然后分
、 两种情况解不等式 ，即可得出原不等式的解集.
【详解】对任意的 、 ，且 ，都有不等式 ，
不妨设 ，则 ，
令 ，则 ，即函数 在(0,+∞)上为增函数，
因为函数 为R上的奇函数，即f (−x)=−f (x)，
则 ，所以函数 为偶函数，
所以函数 在(0,+∞)上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，则 ，
当 时，即当 时，
由 可得 ，则 ，解得 ；
当 时，即当 时，
由 可得 ，
则 ，解得 .
综上所述，不等式 的解集为 .
故选：D.
【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：
（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；
（3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.
8. 若关于 的不等式 恰有3个整数解，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简 为 ，再对 分类讨论分别求出原不等式的解集，
然后根据其解集中恰有3个整数解求出实数 的取值范围.
【详解】不等式 可化为 ，
当 时，原不等式等价于 ，其解集为 ，不满足题意；
当 时，原不等式等价于 ，其解集为 ，不满足题意；当 时，原不等式等价于 ，其解集为 ，
其解集中恰有3个整数解，所以 ，解得 ；
当 时，原不等式等价于 ，
其解集为 ，不满足题意；
当 时，原不等式等价于 ，其解集为 ，
其解集中恰有3个整数解，所以 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍．
二、多选题
9. 下列几个命题中正确的是（ ）
A. 函数 的最小值为4
B. 集合 ， ，满足条件的集合 的个数为7个
C. 已知 ， ，且 ，则 的最小值为
D. 一元二次不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为【答案】CD
【解析】
【分析】令 ，由对勾函数的性质求解可判断A；根据并集的概念写出满足条件的集合 即
可判断B；由条件得 ，利用基本不等式中1的妙用求解可判断C；由条件可知2，3是
方程 的两根，且 ，由韦达定理可得 ，代入不等式求解即可判断D.
【详解】函数 ，令 ，
由对勾函数的性质可知， 在 单调递增，
∴当 时， 取最小值5，
∴函数 的最小值为5，故A错误；
集合 ， ，满足条件的集合 有：
，
共8个，故B错误；
已知 ， ，且 ，则 ，且 ，
∴
，
当且仅当 ，即 时取等号，∴ 的最小值为 ，故C正确；
一元二次不等式 的解集为 ，
则2，3是方程 的两根，且 ，
∴ ，得 ，
∴不等式 可化为 ，即 ，
即 ，解得 ，
则不等式 的解集为 ，故D正确.
故选：CD.
10. 设 ， 为正数，且 且 ，则（ ）
A. 的最小值是2 B. 的最大值是
C. 的最大值是 D. 的最大值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据基本不等式判断A，利用基本不等式建立不等式，换元后解不等式判断 BC，根据条件转化
为求 的最大值，换元后利用二次函数最值得解判断D.
【详解】由 ，所以 ，对A， ，当且仅当 ，即 时等号成立，故A正确；
对B，由 可得 ，
当且仅当下 时取等号，令 ，则 ，解得 ，
即 ， ，当且仅当 时取等号，故B错误；
对C，由 ，令 ，
则 ，解得 ，即 ，当且仅当 时等号成立，故C正确；
对D，由 可得 ，
所以 ，令 ，由B知 ，
则由 可知当 时， ，故当 时， 有最大值 ，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛： 通过对已知条件 恰当变形后，利用基本不等式，换元法解不等式
是解题的关键所在，对变形化简能力要求很高.
11. 已知函数 若方程 有4个不同的零点 ， ， ， ，且
，则（ ）A. B.
C. D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数图象可得 ，即可结合图象，根据选项即可求解.
【详解】作出 的图象如下：令 ，则 ，
故 ， ，A错误，BC正确，
令 ，则 或
，结合图象可知 ，D正确.
故选：BCD
三、填空题
12. 已知函数 的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】由解析式列出不等式求解即可.
【详解】由题意得 ，即 ，
即 ，解得 ，∴函数 的定义域为 .
故答案为： .
13. 已知 ， ，用含a、b的式子表示 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知条件求出 和 ，然后再将 进行分解，用求出的 和 来表示，最后转
化为用 、 表示.
【详解】因为 ，
.
由 ,可得 ，将其代入 中，
得到 .
对 进行化简，所以 . .
因为 .
把 代入可得：
.
故答案为： .
14. 已知函数 ，若关于x的方程 恰有两个不同的实数根，则a的值是__________.
【答案】 或
【解析】
【分析】根据分段函数作出图象，结合图象性质分析即可得结论.
【详解】因为 ，
作出函数的图象，如图所示：
由此可知函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，
的
又因为关于 方程 恰有两个不同的实数根，
结合图象可得 或 .
故答案为： 或 .
四、解答题
15. （1）已知 ，求 的值；
（2）计算 的值．
【答案】（1） ；（2）1.
【解析】
【分析】（1）利用指数运算化简求出给定式子的值.
（2）利用对数运算法则计算得解.【详解】（1）由 ，得 ，则 ，两边平方得 ，
所以 .
（2）
.
16. 已知函数 是定义在 上的奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）判断 的单调性并证明；
（3）对任意实数 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） 在 上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）结合奇函数的性质可知 代入即可求解 ，
（2）结合函数单调性的定义，结合指数函数的单调性即可判断，
（3）结合（2）的单调性和奇偶性将问题转化为 对任意实数 恒成立，分离参数，利
用对勾函数的单调性求解最值即可求解.
【小问1详解】
由于 是R上的奇函数，，即 ，所以， ，
又 ，所以 ，解得 ，
经检验符合题意.
【小问2详解】
在R上单调递增，证明如下：
由于 ，可得 ，
设
则 ，
由于 ，故 因此
，
故 在R上单调递增，
【小问3详解】
由于 为奇函数，故由 可得 ，
又 在R上单调递增，因此 对任意实数 恒成立，
故 ，
由于对勾函数 在 单调递减，故当 取最小值 ，因此 ，故
17. 某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．
已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车 万台
（ ）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为
（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本）
（1）写出年利润 （亿元）关于年产量 （万台）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；
（3）若该企业当年不亏本，求年产量 （万台）的取值范围．
【答案】（1）
（2）当年产量为 万台时，该企业获利最大，最大年利润为 亿元
（3）
【解析】
【分析】（1）根据利润的计算公式，分别对不同的产量范围求出利润函数的表达式.（2）在每个分段上分
别求函数的最大值，比较得出整个定义域上的最大利润.（3）对于不亏本的情况，即利润大于等于 ，分
别在不同分段上求解不等式得出产量的取值范围.
【小问1详解】
当 时，销售收入为 亿元（每台售价 万元， 万台），总成本为固定研发成本 亿元加上
其他成本 亿元.根据利润=销售收入-总成本，可 .
当 时，销售收入为 亿元，总成本为 亿元.
则 .
所以 .
【小问2详解】
当 时， ，图象开口向下，对称轴为 .
但 ，所以在这个区间上函数单调递增，所以 亿元.
当 时，根据基本不等式，有 .
所以 亿元，当且仅当 ，即 取等号.
因为 ，所以当年产量为 万台时，该企业获利最大，最大年利润为 亿元.
【小问3详解】
.
当 时， ，即 ，解得
结合 ，知道此时 满足题意.
当 时， ，即 ，
即 ，令 ，对称轴 ，
当 时， 单调递减，且 时, .则当 ， 恒成立，即 恒成立.
综上所得，该企业当年不亏本，则年产量 （万台）的取值范围为 .
18. 已知函数 ， .
（1）当 时，若 ，求 的最大值；
（2）若 ，求 的最小值；
（3）若 ，使得 成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）利用换元法结合二次函数的性质计算即可；
（2）分类讨论a的范围结合二次函数的性质计算即可；
（3）令 并分离参数将不等式转化为 ，利用对勾函数的性质计算即可.
【小问1详解】
当 ，
令 ，即 ，由 ，则 ；
【小问2详解】
易知 ，对称轴为 ，
若 ，即 时， 在 上单调递增，则 ；
若 ，即 时， 在 上单调递减，则 ；
若 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ；
综上 ；
【小问3详解】
由 在 上恒成立，
令 ，由对勾函数的性质知t在 时单调递减， 上单调递增，
易得 ，
则 ，
分离参数得 在 上恒成立，即 ，令 ， ，
由对勾函数的性质知 在 上单调递增，即 ，所以 ，
即 的取值范围 .
【点睛】方法点睛：对于复杂结构的函数形式，需多注意式子结构，常用换元法及整体思想转化为常见函
数进行计算，换元需注意所换元的范围即可.
19. 我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，有同学
发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是 为
奇函数.若定义在 上函数 的图象关于点 对称，且当 时， .
（1）求 的值；
（2）设函数 .
（ⅰ）函数 的图像关于点 对称，求m的值.
（ⅱ）若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）4 （2）（ⅰ） （ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根据所给函数的性质，赋值即可得解；
（1）（ⅰ）由题意由 为奇函数即可得解；
（ⅱ）证明 的单调性，求出值域，由题意转化为 ，再由
的对称性转化为 ，分类讨论求 的值域，满足上述条件建立不等式求解即可.【小问1详解】
因为定义在 上函数 的图象关于点 对称，
所以 为奇函数，
∴ ，得 ，
则令 ，得 .
【小问2详解】
（ⅰ）因为函数 的图象关于点 对称，
所以 为奇函数，
所以
为奇函数，
所以 ，解得 .
（ⅱ）先证明 在 上单调递增，
设任意的 ，且 ，
则
，由 可知， ， ，
所以 ，即 在 上单调递增；
∴ 在区间 上的值域为 ，记 在区间 上的值域为 ，
对任意 ，总存在 ，使得 成立知 ，
由 的图象关于点 对称，所以只需
①当 时， 在 上单调递增，由对称性知，
在 上单调递增，∴ 在 上单调递增，
只需 即可，得 ，∴ 满足题意；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
由对称性知， 在上单调递增，在 上单调递减，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 或 ，
当 时， ， ，
即 ， ，
∴ 满足题意；③当 时， 在 上单调递减，由对称性知， 在 上单调递减，
∴ 在 上单调递减，
只需 即可，得 ，∴ 满足题意.
综上所述， 的取值范围为 .
