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对数与对数函数
2.7
1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数．
a
2.7 对数与对数函数..............................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：对数.............................................................2
考点2：对数函数.........................................................2
【常用结论归纳】.........................................................3
二、分类题型................................................................5
题型一 对数式的运算......................................................5
题型二 对数函数的图像及应用..............................................6
题型三 对数函数的性质及应用..............................................8
命题点1 比较指数式、对数式的大小....................................8
命题点2 解对数方程不等式............................................8
命题点3 对数性质的应用..............................................8
三、课堂总结：知识图谱.....................................................10
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................11一、主干知识
考点1：对数
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x ＝ log N，其中a 叫做对数的
a
底数，N 叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N .
以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N .
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：log 1＝0，log a＝1， ＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
a a
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①log (MN)＝log M＋log N；
a a a
②log ＝log M－log N；③log Mn＝nlog M (n∈R)．
a a a a a
(3)换底公式：log b＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
a
考点2：对数函数
3．对数函数的图象与性质
y＝logx a>1 0<a<1
a
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0； 当x>1时，y<0；
性质 当0<x<1时， 当0<x<1时，
y<0 y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
a【常用结论归纳】
1．log b·log a＝1， ＝log b.
a b a
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝log x(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
a
4.指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b⇔f（x）＝log
a
b；log
a
f（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）
（2）af（x）＝ag（x） f（x）＝g（x）；log f（x）＝log g（x） f（x）＝g（x）＞0（同底法）
a a
（3）af（x）＝bg（x） ⇔f（x）log a＝g（x）log b；（两边取对数⇔法）
m m
⇔
（4）log f（x）＝log g（x） log f（x）＝ ；（换底法）
a b a
⇔
（5）Alog x+Blog x+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝log x或t＝ax）（换元法）
a a
5.指数函数与对数函数的联系与区别：二、分类题型
题型一 对数式的运算
【例题精析1】 （2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知 ，且 ，则
（ ）.
A．3 B．6 C．12 D．18
【例题精析2】 （2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知 ，且 ，则
（ ）.
A．3 B．6 C．12 D．18
【例题精析3】 （2021秋·高一课时练习）计算:
(1) ；(2) .
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变
形应用．
【对点精练1】 （2023·山东青岛·统考模拟预测）已知实数a，b满足 ，则 的最小
值是__________.【对点精练2】 （2023·天津和平·统考二模）设 ， ， ，若 ， ，则
的最大值为__________．
【对点精练3】 已知 ，则 的值为_________．
【对点精练4】 已知 ，则 ______.
【对点精练5】 计算：
(1) ；(2)
题型二 对数函数的图像及应用
【例题精析1】 已知函数 （a，b为常数，其中 且 ）的图象如图所示，则下列结论正
确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【例题精析2】 若函数 的值域为 ，则函数 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【例题精析3】 函数 零点的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、
最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【对点精练1】 已知函数 （ 为常数，其中 ）的图象如图所示，则下列结论成立
的是（ ）
A． B．
C． D．
【对点精练2】 已知 ，且 ，则函数 与 的图象只可能是（ ）A． B． C． D．
【对点精练3】 在同一平面直角坐标系中，函数 ， 且 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【对点精练4】 函数 的图象恒过定点A，且点A在幂函数 的图象上，则 ＝
________.
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式、对数式的大小
【例题精析1】 （2021•新高考Ⅱ）已知 ， ， ，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
【例题精析2】 （2020•新课标Ⅲ）已知 ， ．设 ， ， ，则
A． B． C． D．
命题点2 解对数方程不等式
【例题精析3】 不等式 的解集是A． B． C． D． ， ，
【例题精析4】 方程 的解 ．
命题点3 对数性质的应用
【例题精析5】 （2023•宝鸡二模）已知函数 ，则
A． 在 单调递减，在 单调递增
B． 在 单调递减
C． 的图像关于直线 对称
D． 有最小值，但无最大值
【例题精析6】 （2023•五河县模拟）已知函数 ，则下列说法中正确的是
A．函数 的图象关于原点对称
B．函数 的图象关于 轴对称
C．函数 在 ， 上是减函数
D．函数 的值域为
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；
二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．【对点精练1】 （2021•天津）若 ，则
A． B． C．1 D．
【对点精练2】 （2021•全国）已知 ，则以下四个数中最大的是
A． B． C． D．
【对点精练3】 （福建高考真题）若函数 且 的值域是 ， ，则实数
的取值范围是 ．
【对点精练4】 （2022秋•锦州期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星
等与亮度满足关系式 ，其中星等为 的星的亮度为 ．已知牛郎星的星
等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为
A． B． C． D．
【对点精练5】 （2022秋•南山区校级期末）函数 的定义域是 ．
【对点精练6】 （2021秋•连云港期末）方程 的解是 ．
【对点精练7】 （2020秋•湘西州期末）函数 的定义域是 ．
【对点精练8】 （2023春•滁州期中）函数 的值域为 ．三、课堂总结：知识图谱四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•辽阳二模）若 ， ， ，则
A． B． C． D．
2．（2022•天津）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
3．（2022•新高考Ⅰ）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
4．（2020•新课标Ⅲ）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
5．（2021•天津）设 ， ， ，则三者大小关系为
A． B． C． D．
6．（2020•天津）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
7．（2019•新课标Ⅰ）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
8．（2019•天津）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
9．（2019•天津）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．10．（2018•天津）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
11．（2018•天津）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
12．（2022•浙江）已知 ， ，则
A．25 B．5 C． D．
1．（2023•河南模拟）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
2．（2022秋•天河区期末）已知实数 ， ． 满足 ， ， ，则 ， ，
的大小关系为
A． B． C． D．
3．（2022秋•鼓楼区校级期末）已知 ， ，则下列不等式正确的是
A． B． C． D．
4．（2022秋•东城区期末）记地球与太阳的平均距离为 ，地球公转周期为 ，万有引力常量为 ，根据
万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量 ．已知 ， ， ，
由上面的数据可以计算出太阳的质量约为
A． B． C． D．5．（2022•江西模拟）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
6．（2021秋•云南期末）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
7．（2021秋•赣州期末）若 ，且 ，则实数 的值为 ．
8．（2022春•天心区校级期末）若函数 在区间 ， 上是增函数，则 的取值
范围是 ．
9．（2021秋•平罗县校级期末）已知 ，则实数 的取值范围是 ．
1．已知两条直线 和 ， 与函数 的图象从左到右相交于 、 ，
与函数 的图象从左到右相交于 、 ，记线段 和 在 轴上的投影长度分别为 ， ，当
变化时， 的最小值为
A． B． C． D．
2．如图，已知过原点 的直线与函数 的图象交于 ， 两点，分别过 ， 作 轴的平行线与
函数 图象交于 ， 两点，若 轴，则四边形 的面积为 ．3．函数 满足 ，且 ， 均大于 ， ，则 的最小值为 ．
4．设 ，则 的定义域为 ．
