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指数与指数函数
2.6
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
2.6 指数与指数函数..............................................................1
一、主干知识................................................................2
考点1：根式.............................................................3
考点2：分数指数幂.......................................................3
考点3：指数幂的运算性质.................................................3
考点4：指数函数及其性质.................................................3
【常用结论归纳】.........................................................4
二、分类题型................................................................6
题型一 指数幂的运算......................................................6
题型二 指数函数的图象及应用..............................................8
题型三 指数函数的性质及应用.............................................12
命题点1 比较指数式的大小...........................................12
命题点2 解简单的指数方程或不等式...................................14
命题点3 指数函数性质的综合应用.....................................16
三、课堂总结：知识图谱.....................................................19
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................20一、主干知识
考点1：根式
(1)如果xn＝a，那么x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
考点2：分数指数幂
正数的正分数指数幂， ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂， ＝ ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
考点3：指数幂的运算性质
aras＝ a r ＋ s；(ar)s＝ a r s；(ab)r＝ a r b r(a>0，b>0，r，s∈R)．考点4：指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
定义域 R
值域 (0 ，＋ ∞ )
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时， y >1 ； 当x<0时， y >1 ；
当x<0时， 当x>0时，
性质
0< y <1 0< y <1
在(－∞，＋∞)上是减函
在(－∞，＋∞)上是增函数
数
【常用结论归纳】
1、指数函数单调性的讨论：一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论 a的取值范围即a
＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判
断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量 X的增大，内层函数的Y值就在不断的减
小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数
的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复
合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则
若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，
又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．二、分类题型
题型一 指数幂的运算
【例题精析1】 （2023·全国·模拟预测） （ ）
A． B． C． D．3
【解答】 ．故选：A．
【例题精析2】 已知 ，则 的值是（ ）
A．15 B．12 C．16 D．25
【解答】因为 ，所以 ，
又由立方差公式， ，故选：A．
【例题精析3】 化简 ____________.
【解答】原式＝ ＋2－3－2＋1＝214.故答案为：214.
（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注
意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
（2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
【对点精练1】 化简 的结果是______．
【解答】由题意得 .故答案为： .
【对点精练2】 用分数指数幂表示下列各式：
(1) ＝____; (2) ＝____；(3) ＝____; (4) ＝____；(5) ＝____.
【解答】（1） ；（2） = ；（3） = ；（4） ；（5）
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .
【对点精练3】 计算： 的值．
【解答】
.题型二 指数函数的图象及应用
【例题精析4】 （2020·山东·统考高考真题）已知函数 是偶函数，当 时， ，
则该函数在 上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】当 时， ，所以 在 上递减，
是偶函数，所以 在 上递增.注意到 ，所以B选项符合.故选：B【例题精析5】 （2023·广西南宁·统考二模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．.
【解答】 ，函数定义域为 ，
，函数为奇函数，排除BD；
， ，故 ，排除A.
故选：C
（1）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、
伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
（2）有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
【对点精练4】 指数函数 与 的图象如图所示，则（ ）A． B．
C． D．
【解答】解：因为函数 的图象是下降的，所以 ；
又因为函数 的图象是上升的，所以 .故选：C.
【对点精练5】 已知函数 ，若 的值域是 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数 和 的图象如下图所示：
由图可知，当 或 时，两图象相交，
若 的值域是 ，以实数 为分界点，可进行如下分类讨论：
当 时，显然两图象之间不连续，即值域不为 ；
同理当 ,值域也不是 ；
当 时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是 ；
综上可知，实数 的取值范围是 .
故选：B
【对点精练6】 已知函数 （其中 ）的图象如图所示，则函数 的图象大
致是（ ）A． B．
C． D．
【解答】 的函数图象与 轴的交点的横坐标为 的两个根，
由 可得两根为a，b，
观察 的图象，可得其与轴的两个交点分别在区间 与 上，
又∵ ，∴ ， ，
由可知，
当 时， 为增函数，
又由 得 的图象与y轴的交点在x轴上方，
分析选项可得C符合这两点．
故选：C．题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式的大小
【例题精析6】 （2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所以 ，
即 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 .综上， .
［方法二］：【最优解】（构造函数）由 ，可得 ．根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以
，即 ， 又因为 ，所以 .故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
【例题精析7】 函数 （其中 ， ）的图象恒过的定点是（ ）
A． B． C． D．
【解答】令 ，即 ，得 ，
函数 （其中 ， ）的图象恒过的定点是 .故选：B.
【对点精练7】 （2023·江西南昌·统考二模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】因为 ，
，
，
所以 .
故选：C.
【对点精练8】 （2020·全国·统考高考真题）若 ，则（ ）A． B． C． D．
【解答】由 得： ，
令 ， 为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数， ，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得
到 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
命题点2 解简单的指数方程或不等式
【例题精析8】 （2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合
题意；对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取
等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不
符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数
的性质即可解出．
【例题精析9】 已知函数 ，则函数 零点的个数是__________．
【解答】解：令 ，即 ，解得 或 ，
作出函数 的图象如图，
由图可知，方程 有 个实数解， 有 个实数解，且均互不相同，
所以， 的实数解有 个，
所以，函数 零点的个数是 个.
故答案为：【例题精析10】 （2023·山东青岛·统考模拟预测）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】不等式 等价于 ，
由 可推出 ，
由 不一定能推出 ，例如 时， ，但 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
【对点精练9】 （2023·全国·高三专题练习）设函数 则满足 的x的取值范围
是______．
【解答】函数 的图象如图所示，
满足 可得 或 .
解得 .故答案为： .
【对点精练10】 “ ”是“ 的一个（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】因为 在 上为增函数，故 ，所以“ ”是“ 的充分必要条件.
故选：C
命题点3 指数函数性质的综合应用
【例题精析11】 写出一个同时具有下列性质①②的函数 ______．
① ；② 在R上为增函数．
【解答】指数函数满足 ，且 ， 时，函数单调递增，
所以满足条件的一个函数 .
故答案为： （答案不唯一）
【例题精析12】 已知函数 是增函数，则实数 的取值范围是_____________．
【解答】由于 在 上递增，
所以 ，即 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
【例题精析13】 已知不等式 对于 恒成立，则实数 的取值范围是__．【解答】设 ，因为 ，则 ，
不等式 对于 恒成立，
等价于 ，即 在 恒成立，
设 ， ，令 ， （负舍），
则根据对勾函数的性质可知：
在 上为单调减函数，则 ，
所以 ，故实数 的取值范围是 ，
故答案为： .
【例题精析14】 若函数f (x)＝ 有最大值3，则a＝________.
【解答】令 ，则 .
因为 有最大值 ，所以 应有最小值 .
由此 ，解得
故答案为：
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还
可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最
值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【对点精练11】 已知函数 ，则函数 的值域为___．
【解答】设 ，则 ，此时 ，
当 时，即 ，函数取得最小值，此时最小值为 ；
当 时，即 ，函数取得最大值，此时最大值为 ．
故答案为： .
【对点精练12】 已知函数 (其中 是常数)．若当 时，恒有 成立，则实数 的
取值范围为_______．
【解答】 ，令 ，由于 ，根据指数函数性质， ，
于是问题转化为： 时， 恒成立，下只需求 时 的最大值.
根据二次函数性质可知，当 时递减， 上递增，而端点 和 相比距离对称轴 更
远，
故 ，于是 .
故答案为：三、课堂总结：知识图谱四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•沭阳县校级模拟）设 ，那么
A． B． C． D．
【解答】解： 且 在 上是减函数．
指数函数 在 上是减函数
幂函数 在 上是增函数
故选： ．
2．（2022秋•甘肃期末）下列等式一定成立的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ，同底幂相乘，指数相加，故 错．
、同底幂相乘，指数相加，故 错．
、因为 ， ，故 错．
、同底幂相除，指数相减．故 对，
故选： ．3．（2022•甲卷）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
， ，
构造函数 ，
，
， ， ，
在 单调递增，
（8），又因为 ，
故 ，
故选： ．
4．（2021•山东模拟）已知函数 的图象恒过定点 ，则点 的坐标是
A． B． C． D．
【解答】解：依题意知，当 ，即 时，函数 的图象恒过定点 ，即
．
故定点 的坐标是 ．
故选： ．
5．（2021•山东模拟）函数 的图象一定经过的点是A． B． C． D．
【解答】解：令 ，求得 ，且 ，
故函数 且 恒过定点 ，
故选： ．
6．（2021•未央区校级模拟）设 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，且
，因此 ，排除 、 两项
又 函数 是 上的增函数
，可得
故选： ．
7．（2020•新课标Ⅲ） 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据
建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 的单位：天）的 模型： ，其中 为
最大确诊病例数．当 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为
A．60 B．63 C．66 D．69
【解答】解：由已知可得 ，解得 ，
两边取对数有 ，
解得 ，
故选： ．8．（2020•新课标Ⅰ）若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ；
因为 ，
所以 ，
令 ，由指对数函数的单调性可得 在 内单调递增；
且 （a） ；
故选： ．
9．（2020•九江二模）已知 ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：对于选项 ：由指数函数 为减函数，且 ，所以 ，故选项 错误；
对于选项 ：由幂函数 在 上为增函数，且 ，所以 ，故选项 正确；
对于选项 ：由指数函数 为减函数，且 ，所以 ，故选项 错误；
对于选项 ：由幂函数 在 上为增函数，且 ，所以 ，故选项 错误；
故选： ．
10．（2020秋•徐汇区校级期中）若 ，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解：故选： ．
11．（2018春•上杭县校级月考）已知向量 满足 ．
【解答】解：根据条件： ；
．
故答案为： ．
1．（2022秋•甘肃期末）下列等式一定成立的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ，同底幂相乘，指数相加，故 错．
、同底幂相乘，指数相加，故 错．
、因为 ， ，故 错．
、同底幂相除，指数相减．故 对，
故选： ．
2．（2021•南昌模拟）定义在 上的函数 为偶函数， ， ，
，则
A． B． C． D．
【解答】解：定义在 上的函数 为偶函数，
则 ，即 ；所以 ，
所以 ，且在 ， 上是单调减函数；
又 ， ；
所以 （1） ，
即 ．
故选： ．
3．（2021•未央区校级模拟）已知函数 ， ， 的图象如图所示，则
A． B． C． D．
【解答】解：根据函数的图象知，
函数 是指数函数，且 时， ；
函数 是幂函数，且 时， ， ；
函数 是对数函数，且 时， ， ；
综上， 、 、 的大小是 ．
故选： ．
4．（2020秋•玉林期中）已知 ， 则化简的结果是
A． B． C． D．
【解答】解：．
故选： ．
5．（2019春•玉林期末）若函数 ，满足 （1） ，则 的单调递减区间是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：由 （1） ，得 ，于是 ，因此 ．
因为 在 ， 上单调递增，
所以 的单调递减区间是 ， ．
故选： ．
6．（2017•徐汇区校级模拟）已知函数 ，在同一坐标系中， 与
的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解： ，在 轴上的截距为1，排除 ；又因为 ，排除 ；、 中由直线可知 ， ，当 时变为 ，在 ， 上为增函数，
故选： ．
1．（2017•徐汇区校级模拟）已知函数 ，在同一坐标系中， 与
的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解： ，在 轴上的截距为1，排除 ；又因为 ，排除 ；
、 中由直线可知 ， ，当 时变为 ，在 ， 上为增函数，
故选： ．
2．（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象
称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量 （单位：太贝克）与时间 （单位：年）
满足函数关系： ，其中 为 时铯137的含量．已知 时，铯137含量的变化率是
（太贝克 年），则A．5太贝克 B． 太贝克 C． 太贝克 D．150太贝克
【解答】解： ，
，
．
．
故选： ．
3．（2021秋•宛城区校级期中）已知 且 ， ，当 时均有 ，则实数
的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：由题意可知， 在 上恒成立，令 ， ，
由图象知： 时 ，即 ；
当 时， ，可得
．
或 ．
故选： ．
