4.7 指数函数对数函数常考习题综合应用
模块一：题型分类.........................................................................2
题型一：常见指数函数的定义域和值域问题................................................. 2
题型二：对数函数的定义域和值域问题.........................................................2
题型三：指数函数的图像................................................................................3
题型四：指数函数的单调性问题.................................................................... 4
题型五：指数函数比较指数幂大小.................................................................4
题型六：指数函数的最值问题........................................................................ 5
题型七：对数函数的图像问题........................................................................ 5
题型八：对数函数比较对数大小.................................................................... 6
题型九：对数函数的单调性问题.................................................................... 6
题型十：对数和指数函数的综合问题.............................................................7
模块二：综合巩固.........................................................................8
4.7 指数函数对数函数常考习题综合应用
模块一：题型分类
题型一：常见指数函数的定义域和值域问题
1.函数
1
1
2
4
1
x
y
x
的定义域为（
）
A．[ 2,1)
B．(
,1)
C．( 2,1)
D．(1,2)
2.已知函数
2
12
x
f
x
，则下列说法正确的是（
）
A．
f x 的值域为
,2
B．
f x 在
,0
上为减函数
C．
f x 的值域为
0,2
D．
f x 在
0,
上为增函数
3.已知不等式
1
9
6
4
0
x
x
x
m
对任意上恒成立，则实数m 的取值范围是（
）
A．(
,1]
B．(
,2]
C．(
,4]
D．(
,5]
题型二：对数函数的定义域和值域问题
1.已知
2
2
2
log 2
x
f x
x
，则不等式
2
2
2
4
f
x
f
x
的解集为（
）
A．
1 1
,
2 4
B．1 1
,
4 2
C．
1
0, 4
D．
1
1,
2
2.已知函数
2
2
log
log
8
8
x
f
x
x
，则函数
f x 的值域为（
）
A．
9,0
B．
9,
C．
, 9
D．
12,0
3.已知函数
2
1
lg
1 ,
2
x
f
x
x
g x
m
，若对于任意
1
0,3
x
，存在
2
1,2
x
，使得
1
2
f x
g x
，则
实数m 的取值范围为（
）
A．
1
,
2
B．
1
,
4
C．1 ,
2
D．1 ,
4
题型三：指数函数的图像
1.设a 与b 均为实数，
0
a
且
1
a ，已知函数
x
y
a
b
的图象如图所示，则不等式
2
1
0
x
a
x
b
的解
集为（
）
A．
1,2
B．
2, 1
C．
, 2
1,
D．
,1
2,
2.函数
2
1
3
3
x
x
x
f x
的大致图象为（
）
A．
B．
C．
D．
3.已知函数
2
1
0,
1
x
f
x
a
a
a
的图像恒过一点P，且点P 在直线
1
0
0
mx
ny
mn
的图像上，
则1
1
m
n
的最小值为（
）
A．4
B．6
C．7
D．8
题型四：指数函数的单调性问题
1.已知
2
2
,
0
4,
0
x
x
f x
x
，则关于a 的不等式
2
2
3
f
a
f a
的解集为（
）
A．
0,3
B．
1,3
C．
3,1
D．
0,1
2.设函数
2 2
1
2
x
mx
f x
在区间
1,2 上单调递增，则m 的取值范围为（
）
A．
, 2
B．
2, 1
C．
1,2
D．
2,
3.已知函数
1
,
2
1
2
1
,
2
x
a
x
f x
a
x x
在R 上单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．2
3 1
,
2
2
B．2
3 ,
2
C．2
3 ,1
2
D．
2
3
1,
2
题型五：指数函数比较指数幂大小
1.已知
0.9
1.2
0
1
3 ,
1.2 ,
3
a
b
c
，则, ,
a b c 的大小关系是（
）
A．a
c
b
B．c
b
a
C．c<a<b
D．b<c<a
2.设
0.7
0.6
0.6
1
2
,
,
log
2
2
a
b
c
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．c
b
a
D．b<c<a
3.设
0.8
0.7
a
，
0.7
0.8
b
，
0.8
log
0.7
c
，则a ，b ，c 的大小关系（
）
A．b
c
a
B．a
c
b
C．c
a
b
D．c
b
a
题型六：指数函数的最值问题
1.已知
2(
0
x
f x
a
a
且
1)
a
，且在区间
1 2
，上有
1
8
f
x
恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
3
4
2
,
B．
3
4
0,2
1,
C．
3
4
2
,1
1,
D．
3
4
0,2
1,
2.已知函数
3
2,
0
3
2,
0
x
x
x
f x
x
，
6
2
0
g x
kx
k k
，若对任意的
1
1,1
x
，总存在
2
1,1
x
使得
1
2
f x
g x
成立，则实数k 的取值范围为（
）
A．
0,2
B．
2
0, 3
C．
0,3
D．
1,2
3.设
( )
3x
f x
，( )
( )
( )
f x
g x
h x
，且
g x 为偶函数，
h x 为奇函数，若存在实数m ，使得当
1,1
x
时，
不等式
0
mg x
h x
恒成立，则m 的最小值为（
）
A．4
5
B．1
5
C．5
4
D．
4
5
题型七：对数函数的图像问题
1.已知函数
2
log
1
f x
x
，则（
）
A．
f x 在定义域上是增函数
B．
4
7
11
f
f
f
C．
f x 关于
1
x 对称
D．
f x 零点的个数为1
2.如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数
1
5
log
y
x
，
1
7
log
y
x
，
5
log
y
x
的一个是（
）
A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）
3.如图，已知函数
1
3x
f x
，则它的反函数
1
y
f
x
的大致图像是（
）
A．
B．
C．
D．
题型八：对数函数比较对数大小
1.已知
0.2
3
1
3
1
1
log
,
log
,
2
2
4
a
b
c
，则, ,
a b c 的大小关系是（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．b
c
a
D．c
a
b
2.三个实数
1
2
3
2
log 4,
log 5,
3
a
b
c
的大小关系为（
）
A．a
c
b
B．c
a
b
C．c
b
a
D．b
c
a
3.已知
1
a ，则（
）
A．
2
1
log
1
log
3
log
2
a
a
a
a
a
a
B．
1
2
log
1
log
2
log
3
a
a
a
a
a
a
C．
2
1
log
3
log
2
log
1
a
a
a
a
a
a
D．
2
1
log
3
log
1
log
2
a
a
a
a
a
a
题型九：对数函数的单调性问题
1.已知
2
2
2
3
1
a
ab
b
，且
2
1
log
1
a
b
≤
≤，则a
b
的取值范围是（
）
A．
5
1, 3
B．
5
1, 4
C．
,1
D．
7
1, 4
2.设函数
2
( )
ln(
1)
f x
x
x
，则使得
( )
(2
1)
f x
f
x
的x 的取值范围是（
）
A．
,1
B．1 ,
3
C．1 ,1
3
D．
1
,
1,
3
3.若函数
2
log
4
x
f x
a
在区间
1,0
上的最大值与最小值的差不小于3，则实数a 的取值范围是（
）
A．
4
1,
7
B．
2
1,
5
C．
2
4,
5
D．
4
,
7
题型十：对数和指数函数的综合问题
1.已知函数
4
1
4
x
x
f x
a
为奇函数．
(1)求a 的值
(2)解不等式
3
f x
(3)求
f x 的值域．
2.已知函数
log
1 (
0,
1)
x
a
f
x
a
a
a
(1)当
1
2
a
时，求函数
f x 的定义域；
(2)当
1
a 时，求关于x 的不等式
1
f x
f
的解集；
3.已知函数
2
2
x
x
a
f
x
b
.
(1)当
3,
1
a
b
时，解关于x 的方程
2x
f
x
；
(2)若函数
f
x 是定义在R 上的奇函数，求函数
f
x 的解析式；
(3)在（2）的前提下，函数
g x 满足
2
2
2
x
x
f x
g x
，若对任意xR 且
0
x
，不等式
2
18
g
x
m g x
恒成立，求实数m 的最大值.【讲过】
模块二：综合巩固
1.已知函效
2
2
2
2
,
4
( )
log
12 ,
4
xe
x
f x
x
x
则
( (4))
f f
（
）
A．1
B．2
C．e
D．2e
2.“
1
x ”是“2
1
x ”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3.若lg 2
,lg3
a
b
，则
45
log 12 等于（
）
A．
2
2
1
a
b
a
b
B．2
2
2
1
a
b
a
b
C．
2
2
1
a
b
a
b
D．
2
2
1
a
b
a
b
4.以下不等式正确的是（
）
A．
0.2
0.3
1
1
3
3
B．
0.2
0.2
3
2
C．
0.2
0.3
3
3
D．
0.3
2
log
5
log 1.1
5.已知
4.2
0.8
m
，
0.7
log
4.2
n
，
4.2
0.7
p
，则m、n、p 的大小关系为（
）
A．p
n
m
B．n
m
p
C．m
n
p
D．n
p
m
6.下列结论中是正确的有（
）
A．函数
2
3
4
y
x
x
的零点是
4,0 ,
1,0
B．已知幂函数
2
2
2
3
3
m
m
y
m
m
x
的图象不过原点，则实数m 的取值为1
C．函数
2
log
1
a
f
x
x
（其中
0
a
且
1
a ）的图象过定点
0,2
D．若
2
2
log
f x
x
ax
a
的值域为R ，则实数a 的取值范围是
, 4
0,
7.若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是（
）
①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；③loga(xy)＝logax＋logay；④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.
A．②④
B．①③
C．①④
D．②③
9.Logistic 模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺
炎累计确诊病例( )
I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：
1
48
4
( )
1 e
t
I t
K
，其中K 为最大确诊病例数．当
0
0.05
I t
K
时，标志着已初步遏制疫情，则0t 约为(ln19
3)
（
）
A．35
B．36
C．40
D．60
10.已知函数
2
e
e
( )
ln( 1
)
2
x
x
f x
x
x
，若不等式
(2
4 )
(
2
2)
0
x
x
x
f
f m
对
R
x
恒成立，则实
数m 的取值范围为（
）
A．(
,2 2
1)
B．( 2 2
1,
)
C．( 2 2
1,2 2
1)
D．(
,2 2
1)
11.(多选)已知函数
2
2
1,
0,
log
1,
0,
x
x
f
x
x
x
则下列选项正确的是（
）
A．函数
f
x 在区间
0,
上单调递增
B．函数
f
x 的值域为
1,
C．方程
1
8
f x
f
f
有两个不等的实数根
D．不等式
0
f
f x
解集为
1
2
,
2 2,8
8
4
12.(多选)下列运算中正确的是（
）
A．
3
8
3
log 8
log 5
log 5
B．
1
3
8
3
27
2
C．
2
(3
)
3
D．
2
log 7
1
ln ln e
7
2
13.(多选)下列各式正确的是（
）
A．设
0
a
，则
1
6
3
2
a
a
a
a
B．已知3
1
a
b
，则81 3
3
3
a
b
a
C．若log 2
,log 5
a
a
m
n
，则
2
20
m n
a
D．
1
1
4
5
1
1
lg3
1
1
log
log
9
3
14.(多选)已知函数
1
x
x
f
x
a
a
，其中
0
a
且
1
a ，则下列结论正确的是（
）
A．函数
f
x 是奇函数
B．函数
f
x 的图象过定点
0,1
C．函数
f
x
0
在其定义域上有解
D．当
1
a 时，函数
f
x 在其定义域上为单调递增函数
15.(多选)已知函数
2
( )
ln
1
2
f x
x
x
，则（
）
A．
( )
f x 的定义域为R
B．
( )
f x 在(0,
)
上是增函数
C．当
0
x
时，
( )
(0,2]
f x
D．
1
(lg3)
lg
4
3
f
f
16.(多选)已知函数
,
0
ln ,
0
x x
f x
x x
，则下列结论中正确的是（
）
A．函数
f
x 有且仅有一个零点0
B．
e
1
f
C．
f
x 在
,0
上单调递增
D．
f
x 在
0,
上单调递减
17.(多选)已知函数
0.5
log
,0
2
π
π
cos
,2
16
6
3
x
x
f x
x
x
，若存在实数a 使得方程
f x
a
有五个互不相等的实
数根分别为
1
x ，
2
x ，
3x ，
4x ，
5x ，且
1
2
3
4
5
x
x
x
x
x
，则下列说法正确的有（
）
A．0
1
a
B．
1
2
2
2 2
x
x
C．
9
2
f
a
D．
4
5
3
4
1
1
28
x
x
x
x
的取值范围为
2
3
,
3
7
18.已知
1
2
2 ,
0
log
,
0
x x
f x
x x
，则
[ (8)]
f f
．
19.已知函数
3
3
3
2022
3
2022
2
x
x
f
x
x
x
，则不等式
2
4
2
2
12
f
x
f
x
的解集为
.
20.已知直线
1
y 与函数
2x
f
x
x
，
2
log
g x
x
x
的图象交点的横坐标分别为
1
x ，
2
x ，则
1
2
x
x
.
21.若实数
1
2
,
x x 满足
1
1
e
2
0
x
x
，
2
2
2
ln
2
1
0
x
x
x
，则
2
1
2
x
x
.
22.已知函数
2
2
1
3,
2
2
log
,
2
x
x
f
x
x x
，若函数
2
2
1
2
g x
f
x
m
f x
m
有5 个零点，则实数m 的取
值范围是
.
23.设
R
a
，函数
2
2
x
x
a
f x
a
.
(1)若
1
a ，求证：函数
y
f x
是奇函数；
(2)若
0
a
，请判断函数
y
f x
的单调性，并用定义证明.
24.已知函数
2
( )
log
4
2 2
3
x
x
f x
.
(1)求方程
1
f x 的根；
(2)求
f
x 在
0,2 上的值域.
25.已知函数
1
e
1
x
a
f x
为奇函数.
(1)求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数
f
x 在R 上是增函数；
(2)求不等式
4
4
5 2
0
x
x
f
f
的解集.
26.已知函数
2
3
( )
log
(
0
2
3
a
x
f x
a
x
且
1)
a
.
(1)求
( )
f x 的定义域，判断
( )
f x 的奇偶性并给出证明；
(2)若
(2
1)
(3
2)
0
f
m
f
m
，求实数m 的取值范围.
【这道题也相当于是必考题，注意哦，之前马老师多次讲过】
27.已知函数
1
lg
1
x
f
x
x
.
(1)求不等式
lg2
0
f
f
x
f
的解集；
(2)函数
3
0,
1
x
g x
a
a
a
，若存在
1
2
,
0,1
x x
，使得
1
2
f x
g x
成立，求实数a 的取值范围.
【这道题和上道题类似】
28.已知函数
log
1
3
a
f
x
x
，（
0
a
且
1
a ）的图象经过点
2,4
P
，函数
2
3
1
x
g x
b
为奇函数.
(1)求函数
f
x 的解析式；
(2)求函数
3
2
x
F x
g x
的零点；
(3)若关于x 的不等式
3
1
log
1
x
m
f x
x
在区间
1,0
上恒成立，求正实数m 的取值范围.
