文档文本内容
专题 01 空间向量及其运算 9 大考点
考点 01 空间向量的线性运算
考点 02 空间向量的坐标运算
考点 03 由空间向量共线求参数或值
考点 04 空间向量共面求参数
考点 05 用空间基底表示向量
考点 06 求空间向量的数量积
考点 07 空间向量的垂直问题
考点 08 空间向量的模长问题
考点 09 由空间位置关系求参数
考点 01 空间向量的线性运算
1．在长方体
中，
等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
故选：A
2．点 在平行四边形
所在平面外，
与
交于点
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意点
是
的中点，
所以
.
故选：B.
3．（多选）如图，已知平行六面体
，点 是
的中点，下列结论中正确的是（
）．
1 / 29
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】对于 A， 四边形
是平行四边形，
，A 正确；
对于 B，
，B 错误；
对于 C，
，C 正确；
对于 D，
，D 正确．
故选：ACD．
4．已知四棱锥
的底面是平行四边形，
，
交于点 ，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
．
故选：D
5．如图，在正三棱柱
中，
是
的中点.
(1)化简
，并在图中标出化简后的结果所对应的向量；
(2)求
.
【答案】(1)
，如图所示
(2)
2 / 29
【分析】
【详解】（1）因为
是
的中点，所以
；
所以
；在图中标出，如图所示
（2）取
中点 ，连接
，所以
；
所以
；
因为在正三棱柱
中，所以
所以
.
考点 02 空间向量的坐标运算
6．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
故选：C
7．在空间直角坐标系
中，已知点
，若点 关于 轴对称的点为 ，点 关于平面
对称的点为 ，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可得
，则
.
故选：A.
8．在空间直角坐标系
中，已知
，
，若点
与点 关于平面
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
3 / 29
【详解】由点 与点 关于平面
对称，得
，所以
.
故选：A.
9．若
是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组
，使
得
，我们把有序实数组
叫做基底
下向量 的斜坐标．设向量 在基底
下的斜坐标为
，则向量 在基底
下的斜坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可得
，设
，
即有
，
则有
，解得
即
，
即向量 在基底
下的斜坐标为
．
故选：A.
10．已知点
，
，向量
，则点 的坐标为
.
【答案】
【详解】设
，
，
，
因为
，所以
，得
，
，
，
所以点 的坐标
.
故答案为：
考点 03 由空间向量共线求参数或值
11．已知非零空间向量
，且
，则一定共线的三点是（
）
A．
B．
C．
D．
4 / 29
【答案】C
【详解】对于 A，
，
，
不共线，即
三点不共线，故 A 错误；
对于 B，
，
，
不共线，即
三点不共线，故 B 错误；
对于 C，
，
，则
共线，即
三点共线，故 C 正确；
对于 D，
，
，
不共线，即
三点不共线，故 D 错误；
故选：C．
12．设向量 ，
，
不共面，已知
，
，
，若 ， ，
三点共线，则
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】因为
，
，
，
所以
，
因为
三点共线，所以存在唯一的实数 使得
，
所以
，解得
，
所以
.
故选：C.
13．已知向量
，
，且
，则
．
【答案】1
【详解】因为
，
，且
，
所以存在实数 ，使得
，即
，
所以
，解得
，所以
.
故答案为：1.
5 / 29
14．已知空间三点
共线，则
．
【答案】
【详解】
，
，
共线，
，
，
，
，
.
故答案为：
15．已知空间中三点
与
不重合，则使
三点共线一个点 的坐标
可以是
．
【答案】
（答案不唯一）
【详解】因为
所以
，
，
当
三点共线时，
（
）
所以
，即
，
因为 与
不重合，所以
且
，
假设
，则
，
所以使
三点共线一个点 的坐标可以是
.
故答案为：
（答案不唯一）.
考点 04 空间向量共面求参数
16．若
是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（
）
A．
，
，
B．
， ，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】A
【详解】选项 A，若
，
， 共面，则存在实数
使得
，即
，得到
共面，与已知矛盾，所以 A 正确；
6 / 29
选项 B，因为
，所以
， ，
共面，所以 B 错误；
选项 C，因为
，所以
，
， 共面，所以 C 错误；
选项 D，因为
，所以
，
， 共面，所以 D 错误.
故选：A.
17．已知空间四点
，
，
，
构成梯形，则实数
的值为
．
【答案】4
【详解】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面，
则
，即
，
，
当
时，
，所以
，
即
，且
，此时
为梯形，
所以
.
故答案为：4.
18．下列命题中正确的是（
）
①若
，则 ， ， 三点共线；
②若
，则 ， ， ，
四点共面；
③若
，则 ， ， ， 四点共面．
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】C
【详解】根据共线定理推论，系数
，所以 ， ， 三点共线，命题①正确；
，若
，
，
不共面，
则根据平行六面体法则，此时
四点不共面，命题②错误；
，
所以
，即 ， ， ， 四点共面，命题③正确．
故选：C.
19．已知
， ， ， 三点不共线， 为平面
外任意一点．若
．且 ，
， ， 四点共面，则实数
．
7 / 29
【答案】
【详解】由题知
，
即
又 ， ， ， 四点共面，
所以
，解得
.
故答案为：
.
20．已知点 为三棱锥
的底面
所在平面内的一点，且
，其中
，
，则
的最大值为
．
【答案】 /
/
【详解】由空间向量共面定理可得
，即
，
又
，解得
，
当且仅当
时等号成立，
即
的最大值为 .
故答案为： .
21．如图，在正四棱锥
中，E，F 分别为
的中点，
．
(1)证明：B，E，G，F 四点共面．
(2)记四棱锥
的体积为
，四棱锥
的体积为
，求
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
8 / 29
【详解】（1）证明：设
为空间的一组基底，因为 E，F 分别为 PA，PC 的中点，所以
，
．
又
，所以
．
故 B，E，G，F 四点共面．
（2）由正四棱锥的对称性知，
，
．
设点 E 到平面 PBG 的距离为
，点 A 到平面 PBD 的距离为
，由 E 是 PA 的中点得
．
由
，得
，则
．
考点 05 用空间基底表示向量
22．如图，空间四边形 OABC 中，
，
，
，点 M 在
上，且满足
，点 N 为
BC 的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
.
故选：B
23．四面体
中，
，点
为
的中点，则
（
）
9 / 29
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为点
为
的中点，所以
，
因为
，所以
.
故选：A
24．在四棱柱
中， ，
分别在棱
，
上，且
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
又在四棱柱
中，有
，
且
，所以
，即
，
10 / 29
所以 ，
， ，
四点共面，所以
，解得
.
故选：C.
25．如图，在四面体
中，E 为
的中点，G 为
的重心，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】如图，将
延长，与
交于点
，
由于 G 为
的重心，所以
，
则
.
故选：A.
26．如图，平行六面体
中，延长
至点 ，使
，则向量
可用向量
表示为
.
11 / 29
【答案】
【详解】由题意，由于平行六面体
中，
，
所以
.
故答案为：
.
27．（多选）在平行六面体
中，
是
的中点，
为平面
内一点，若
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】在平行六面体
中，
是
的中点，
对于 AB，
，
而
，
不共面，因此
，A 正确，B 错误；
，则
，
于是
，由
为平面
内一点，
得
共面，由共面向量定理得
，因此
，C 正确，D 错误.
12 / 29
故选：AC
考点 06 求空间向量的数量积
28．在棱长为 4 的正方体
中，点
在该正方体表面上运动，球 为该正方体的内切球，
为球 的一条直径，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为球 是棱长为 的正方体的内切球，
是球 的直径，
所以
，
，
，
因为
，
又因为点
是正方体表面上的一个动点，
所以当
为正方体顶点时，
有最大值为
；
当
为内切球与正方体的切点时，
有最小值为 ，
即
，
，所以
，
故选：B.
29．已知四面体
的各棱长均为 1，E、F、G 分别是
、
、
的中点，则
的值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】A
【详解】因为四面体
的各棱长均为 1，则该四面体为正四面体，
如图，设
，
，
，
13 / 29
则
，
又
，
，
∴
.
故选：A.
30．已知 为坐标原点，点
，点
，则
（ ）
A．13
B．15
C．17
D．19
【答案】B
【详解】已知 为坐标原点，点
，点
，
则
，
，
所以
.
故选：B
31．在平行六面体
中，各棱长均为 2，
，则
.
【答案】0
【详解】设向量
，则
，
所以
，
14 / 29
又由
，
，
所以
.
故答案为： .
32．已知正方体的棱长为 ，点 是正方体外接球的球面上一点，
为正方体内切球的球面上的两点，
若
，则
.
【答案】
【详解】因为正方体棱长为 ，所以外接球的半径为
，内切球的半径
，
因为
，所以
是内切球的直径，如图所示，设两个球心均为 ，
所以
，
所以
，
故答案为： .
33．如图，在正六棱柱
中，
为
的中点．设
.
(1)用
表示向量
；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
，
.
(2)2
【分析】
15 / 29
【详解】（1）因为
，
所以
，
.
（2）由题意易知
，
所以
，
，
则
.
考点 07 空间向量的垂直问题
34．已知
，
，且
，则 的值为（
）
A．
B．5
C．－6
D．10
【答案】A
【详解】因为
，
，且
，
所以
，解得
．
故选：A．
35．已知向量
，若
，则
．
【答案】3
【详解】由向量
，得
，
，
16 / 29
由
，得
，
所以
.
故答案为：3
36．已知空间三点
，
，
，设
，
.
(1)求
，
；
(2)若向量
与
互相垂直，求实数 k 的值.
【答案】(1)
，
(2)
或
【分析】
【详解】（1）由题意，
，
故
，
；
（2）因
与
互相垂直，则
，
其中
，
即
，
解得
或
37．如图，在平行六面体
中，
，
分别为
，
的中点，
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
，
，
，
为线段
的中点.求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）
17 / 29
取
，连接
，
因为
，由平行六面体的性质可得
，
取
中点 ，连接
，则由中位线的性质可得
，
又
为
中点，由平行六面体的性质可得
且相等，
所以四边形
为平行四边形，可得
，
所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理可得
平面
，
因为
，且
平面
，所以平面
平面
，
又
平面
，所以
平面
.
（2）设
，
，
，这三个向量不共面，
构成空间的一个基底，用它们表示
，
，则
，
，
所以
，
所以
．
38．如图，三棱柱
各棱的棱长都是 1，若
，点
，
分别是
的中点，记
．
18 / 29
(1)用向量
表示向量
，并求
的模长；
(2)用向量方法证明：
．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）由题意得
；
，
.
（2）由（1）得
，
，
，
．
考点 08 空间向量的模长问题
39．设 ，
，
，
，
且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】C
【详解】因为
，则
，解得
，则
因为
，则
，解得
，
则
，则
，则
.
故选：C.
40．如图，在平行六面体
中，
，
，
则
（
）
19 / 29
A．1
B．3
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可知：
，
，
则
，
因为
，
则
，
所以
.
故选：C.
41．如图，已知
是边长为 1 的小正方形网格上不共线的三个格点，点 为平面
外一点，且
，
，若
， 则
（ ）
A．
B．3
C．6
D．7
【答案】D
【详解】由图可知：
，且
，则
由题意可得：
，
因为
，
则
，
所以
.
故选：D.
20 / 29
42．已知四面体
中，
，
，
，
，空间一点 M 满足
，若
四点共面，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，得
，
所以
．
由
四点共面，知
，解得
．
又
，
，
∵
，
∴
．
故选：B．
43．如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，二面角
的大小
为
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
平方得：
，
因为
，
，所以
，
21 / 29
所以
，
故
.
故选：C
44．已知空间向量 ， 均为单位向量，向量 满足
，
，
.
(1)证明： 在 上的投影向量为
.
(2)求
.
【答案】(1)证明详见解析.
(2)
【分析】
【详解】（1）证明：因为
，
，空间向量 为单位向量，所以
.
.
所以 在 上的投影向量为
.
故 在 上的投影向量为
.
（2）因为空间向量 ， 均为单位向量，所以
，
，又
，
所以
，同理可得
，又
，
所以
.
故
.
45．如图所示，两条异面直线
所成的角为 ，在直线
上分别取点
和点
，使得
且
.已知
，则
.
22 / 29
【答案】 或
【详解】根据题意，可得
，所以
，
两边平方，得
，
又
，所以
，
又直线
上分别取点
和点
，使得
且
，
所以
，
，所以
，
又两条异面直线
所成的角为 ，所以
与
的夹角为 或
，
当
与
的夹角为 时，
，即
，
当
与
的夹角为
时，
，即
，
综上所述，
的模为 或
.
故答案为： 或
46．空间直角坐标系
中，已知
，且点 满足
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．3
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，可得
，即
，
又因为
，所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以
，
当
时，
的最小值为
.
故选：D.
23 / 29
考点 09 由空间位置关系求参数
47．如图，设动点 在棱长为 的正方体
的对角线
上（不含端点），
，当
为直角时， 的值是（
）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】D
【详解】由题设有
，
故
，
而
，
同理，
，
因为
为直角，故
，
故
，故
，
故
（舍）或
，
故选：D.
48．如图，在正三棱柱
中 ，若
，且
与
所成角的大小为
，则
的值为
.
【答案】
/
24 / 29
【详解】如图，分别作
、
中点
、
，
易知
平面
，
平面
，所以
，
又
为正三角形，所以
，
所以
、
、
两两垂直；建立如图所示的空间直角坐标系，
令
，则
，
于是得
，
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
解得：
,
故答案为：
49．如图，在长方体
中，
，
，点 满足
，当
时，
的值为
.
【答案】 /0.25
【详解】长方体
中，
，
25 / 29
，
，
，
故
，
解得
或 ，
因为
，所以
满足要求，
不合要求，舍去.
故答案为：
50．已知动点 在正方体
的对角线
（不含端点）上．设
，若
为钝角，
则实数 的值为
．
【答案】
【详解】以
为坐标原点，以
所在的直线分别为
和 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体
的棱长为 1，点
，
则
，
所以
，
因为
，可得
，可得
，
所以
，即
，
因为点 与点 不重合，所以
，所以
为钝角，等价于
，
所以
，
解得
，即实数 的取值范围为
.
故答案为：
.
26 / 29
51．如图所示，已知斜四棱柱
的底面
是菱形，且
，且
．
(1)求证：
；
(2)当
的值为多少时，能使
平面
？请给出证明．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】
【详解】（1）证明：设
，
，
，则
，
底面
是菱形，有
，
则
，
∴
，即
.
（2）要使
平面
，只需
且
.
欲使
，则可证明
，即
，
也就是
，
即
，
由于
，显然当
时，上式成立.
同理可得，当
时，
.
因此，当
时，能使
平面
.
52．如图，三棱锥
中，
，
分别是
，
上的点，且
，
，设
，
，
．
27 / 29
(1)试用 ， ， 表示向量
；
(2)已知
，
，且
，若
，求 的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】
【详解】（1）
．
（2）由
可得
，
即
，
即
，
即
，
即
，
．
53．如图，在矩形
和
中，
，
，
，
，
，
，记
.
(1)将
用 ， ， 表示出来，并求
的最小值；
(2)是否存在 使得
平面
？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
28 / 29
(2)存在，
【分析】
【详解】（1）因为
，
，
，
记
，所以
，且
，
，
由空间向量的线性运算法则，可得
，
所以
当
时，
的最小值为 ；
（2）假设存在 使得
平面
，故
，
，
由（1）知，
,
可得
由
，得
，
化简得
，解得
，满足条件.
故存在
，使得
平面
.
29 / 29
