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2023-2024 学年高二数学上学期期末模拟考试
全解全析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．已知数列 的前 项和 ，则 的值为（ ）
A．125 B．135 C．145 D．155
【答案】D
【分析】根据 与 之间的关系分析求解即可.
【详解】由题意可得： ，
所以 .
故选：D.
2．若 是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【分析】根据共面向量定理逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为 ，所以 ， ， 三个向量共面，所以A错误，
对于B，因为 ，所以 ， ， 三个向量共面，所以B错误，
对于C，假设 ， ， 三个向量共面，则存在实数 ，使 ，
所以 三个向量共面，
因为 是空间的一个基底，所以 三个向量不共面，
所以假设错误，所以 ， ， 三个向量不共面，所以C正确，
对于D，因为 ，所以 ， ， 三个向量共面，所以D错误，
故选：C
3．直线 ， ，若 ，则这两条平行直线间的距离为（ ）
1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． 或0 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】由两直线平行，得到 或 ，再分别验证一下，最后结合两平行线间的距离公式得到即可.
【详解】因为直线 ， 平行，
所以 ，解得 或 ，
当 时，两条直线重合是一条直线，不符合题意；
当 时，直线 ， ，两直线平行，
所以这两条平行直线间的距离为 ，
故选：C
4．已知焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，且它的长轴长等于圆 的半径，则椭圆的
标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出圆 的半径，可得出 的值，结合离心率可得出 的值，进而可求出 ，结合椭圆焦点的位置
可得出椭圆的标准方程.
【详解】圆 的标准方程为 ，圆 的半径为 ，则 ，即 ，
又因为 ，则 ，所以， ，
因为椭圆的焦点在 轴上，因此，该椭圆的标准方程是 .
故选：A.
5．设等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，都有 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的性质与前 项和公式即可得解.
2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】因为 ，
所以 .
故选：B.
6．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，O为坐标原点，倾斜角为 的直线l
过右焦点 且与双曲线的左支交于M点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的运算将 转化为 ，利用几何性质求得点 ，代入
双曲线方程得 的等量关系，求解离心率即可.
【详解】因为
，
所以 ，则 ，
过 作 轴，垂足为 ，
由题意知 ，则 ，
故 ，
在 中， ，
故 ，又点 在双曲线 上，
则 ，将 代入整理得 ，
则 ，解得 ，且 ，
解得 ，
3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故双曲线的离心率为 .
故选：A.
7．设数列 的前 项和为 ，且 ，记 为数列 中能使 成立的最小项，
则数列 的前2023项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据 与 的关系，得到数列 的通项公式，再根据规律找到满足条件能使
成立的最小项，并对于不同的 值，计算满足条件的个数，从而求和得解.
【详解】因为 ，则 ，
两式相减，得 ，
又当 时， ，故 ，
所以 是以 ， 的等比数列，则 ，
显然 递减，要使得 最小，即要使得 最大，
令 ，得 .
若 ，则 ;
若 ，则 ;
若 ，则
若 ，则 ;
若 ，则 ，
4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则
，
，
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得 ，从而分类讨论 的取值范围，求得对应 的值，
从而得解.
8．已知抛物线C： 的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点， 的中垂线分别
交l与x轴于D，E两点（D，E在 的两侧）.若四边形 为菱形，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】由题设及抛物线性质求出直线 的倾斜角 ，由 即可求弦长.
【详解】由四边形 为菱形，如下图示， ， ，
由抛物线性质知： ，则 ，故 ，
又 ，故 ，
所以 .
公式 ，证明如下：
令直线 （斜率存在）为 ，代入 ，则 ，
整理得 ，若 ，
而 ，若直线倾斜角为 （不为直角），则 ，
所以 .
5
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在空间直角坐标系 中，以下结论正确的是（ ）
A．点 关于原点O的对称点的坐标为
B．点 关于y轴的对称点的坐标为
C．点 关于 平面对称的点的坐标是
D．点 到 平面的距离为1
【答案】ABD
【分析】由点关于原点、坐标轴、坐标平面对称点的坐标变换特征以及点到坐标平面距离的定义逐一判断
即可得解.
【详解】对于A，点 关于原点O的对称点的坐标为 ，故A正确；
对于B，点 关于y轴的对称点的坐标为 ，故B正确；
对于C，点 关于 平面对称的点的坐标是 ，故C错误；
对于D，点 到 平面的距离为 ，故D正确.
故选：ABD.
10．设数列 的前n项和为 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是等差数列
B． 成等差数列，公差为
C．当 或 时， 取得最大值
6
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D． 时，n的最大值为33
【答案】ACD
【分析】根据已知得出数列 是一个等差数列，求出 .根据 的关系求出 的表达式，
根据定义即可判断等差数列；求出公差 ，进而根据等差数列的性质，即可判断B；由已知列出
，求解即可得出 的值，判断C项；根据 的表达式，求解不等式，即可判断D项.
【详解】对于A项，由已知 可得，
数列 是一个等差数列，首项 ，公差为 ，
所以， ，
所以， .
当 时， ；
当 时， .
时， ，满足.
综上所述， .
所以， ，
所以， 是等差数列，故A项正确；
对于B项，设 的公差为 ，
由A知， ， ，
根据等差数列的性质可知， ，故B项错误；
对于C项，因为 ， ，
要使 取得最大值，则应有 ，
7
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司即 ，解得 .
又 ，所以当 或 时， 取得最大值.故C正确；
对于D项，由A知， ，
解 ，可得 .
所以， 时，n的最大值为33.故D正确.
故选：ACD.
11．已知圆 ，点 的坐标为 ，过点 作直线 交圆 于 、 两点，则
的可能取值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】BCD
【分析】 中点为 ，连接 ， ，确定点 的轨迹为以 为直径的圆，根据
得到答案.
【详解】如图所示： 中点为 ，连接 ， ，故 ， ， ，
故点 的轨迹为以 为直径的圆，圆心为 ，半径为 ，
， ，即 ，
则 .
故选：BCD
12．已知双曲线 （ ， ）的右焦点为F，过点F且斜率为k（ ）的直线l交双曲线
于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若 ，则双曲线的离心率的值可能是
（ ）
8
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】设直线l： ，联立直线l与双曲线方程，结合韦达定理和弦长公式，表示出 ，再求
出线段AB中垂线方程，结合两点距离公式，表示出 ，再由双曲线的离心率 即可求解.
【详解】设双曲线的右焦点为 ， ， ，则直线l： ，
联立方程 ，消去y得： ，
则可得 ， ， ， ，
则 ，
设线段AB的中点 ，
则 ， ，
即 ，
且 ，线段AB的中垂线的斜率为 ，
则线段AB的中垂线所在直线方程为 ，
令 ，则 ，解得 ，
即 ，则 ，
由题意可得： ，即 ，
整理得 ，则 ，
又双曲线的离心率 ，所以双曲线的离心率取值范围是 ．
9
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知 ，则 在 上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【分析】利用投影向量的定义，结合空间向量数量积的坐标运算，可得 在 上的投影向量的坐标.
【详解】已知空间向量 和 ，
则 在 上的投影向量为
.
故答案为： .
14．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的通项公式为
.
【答案】
【分析】先求出 ，将所给表达式变形为 ，可以判断数列为等差数列，根据等差数列的
通项与和的公式即可求得.
【详解】方法一：当 时， ，解得 .又 ，
所以 ，所以数列 为等差数列.又 ，所以 ，
解得 ，所以数列 的公差 ，所以数列 的通项公式为 .
方法二： 恒成立，当 时， ，解得 .
10
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当 时， ，且 ，解得 .
当 时， ①，又 ②，
①-②，得 ③，所以 ④.
④-③，得 .
因为 ，所以 ，即 .又 ，
所以数列 是首项为-2，公差为-5的等差数列，所以数列 的通项公式为 .
故答案为： .
15．已知在圆 内，过点 的最长弦和最短弦分别是 和 ，则四边形
的面积为 .
【答案】12
【分析】结合图形分析，最长弦 为过点 的直径，最短弦 为过点 且与 垂直的弦，
分别求弦长，则可由对角线互相垂直求得四边形的面积.
【详解】圆 ，
由题意可得 ，圆心为 ，半径 ，
最长弦为过点 的直径 ，且 ，
设过点 的任意一条弦 ，过点 作 ，
由图可知圆心到直线的距离 ，
则弦长为 ，
即最短的弦为过 ，且与 垂直的弦 ，
11
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司最短弦长 ，
如图，四边形 对角线 ，
则其面积 .
故答案为： .
16．已知 为椭圆 的右焦点，过点 的直线 与椭圆 交于 两点， 为
的中点， 为坐标原点.若 是以 为底边的等腰三角形，且 外接圆的面积为 ，则椭圆
的长轴长为 .
△ △
【答案】6
【分析】通过△ 外接圆的面积为 ，求出外接圆半径为，设设 ，则 ，利用
正弦定理求解求出 的值，求出 ，利用点差法求出 ，然后求解 的值.
【详解】
因为△ 外接圆的面积为 ，所以其外接圆半径为 ，
又△ 是以 为底边的等腰三角形，
设 ，则 ，
所以 ，
所以 ，所以 或 ，
不妨设点 在 轴下方，
12
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 或 .
设 ， ，
则
作差得 ，
即 ，
所以 或 （此时焦点在 轴上，舍去），
因为 为椭圆 的右焦点， ，
所以 ，长轴长为6，
故答案为：6.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）记数列 的前 项和为 ，若 ，且 .
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 的表达式.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）左右同时加 得出 与 的关系，借助等比数列的判定方法即可
得；
（2）由（1）问计算出 的通项公式，再应用公式法分组求和即可得.
【详解】（1）由 ，
则 ，
则 ，
，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故 ，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列
（2）由（1）可知， ，故 ，
故
．
18．（12分）已知圆 ，点 ．
(1)过点 作直线 与圆 交于 ， 两点，若 ，求直线 的方程；
(2)若圆 经过点 ，且与圆 相切于点 ，求圆 的方程．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，分直线的斜率存在与不存在两种
情况讨论，若直线 的斜率存在，设 的方程为 ，利用圆心到直线的距离为 ，求出 ，即可
得解；
（2）设圆 的方程为 ，依题意圆心在直线 上，
从而得到方程组，解得即可.
【详解】（1）圆 即 ，
圆心为 ，半径 ，
若直线 的斜率不存在，则 的方程为 ，
将 代入圆 的方程，解得 或 ，
所以 ，符合条件；
若直线 的斜率存在，设 的方程为 ，
即 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为 ，所以圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ， 解得 ，所以直线 的方程为 ，
综上，直线 的方程为 或 .
（2）设圆 的方程为 ．
因为圆 经过点 ，且与圆 相切于点 ，
所以圆心 在直线 上，
所以 ，解得 ，
所以圆 的方程为 ．
19．（12分）如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是菱形， ， ，点
E是棱 上的一点．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）记 ，利用图形性质先证 ，再证 平面 即可证面面垂直；
（2）根据 得出 ，建立合适的空间直角坐标系，根据空间向量研究线面角计算可得点E位
置.
【详解】（1）连接 ，记 ，再连接 ，如图所示．
因为四边形 是菱形， ， ，
所以O是 的中点， ， ， ．
在 中， ，O是 的中点， ，所以 ， ，
又 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）若 ， ， ，
所以 ，所以 ．
以O为坐标原点OA，OB，OP，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．所
以 ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面PAD的一个法向量 ，所以
令 ，解得 ， ，
所以平面 的一个法向量 ．
16
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司设 ，
所以 ，
设直线BE与平面PAD所成角的大小为θ，
所以 ，
解得 ，所以 ．
20．（12分）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若等差数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 ，可知数列 为2为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列
通项公式计算即可；
（2）求数列 的前n项和为 ，根据等差数列及等比数列的性质可求出c．
【详解】（1）因为 ，当 时，
两式相减得
化简得 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司， ，
当 时， ，解得 或 （舍去）
故数列 是以2为首项，2为公差的等差数列．
．
（2）由（1）知， ， ，
， ， ，
， ， 成等比数列， ，
即 ，整理得： ，
或 ．
①当 时， ，所以 （定值），满足 为等差数列，
②当 时， ，
， ， ，
不满足 ，故此时数列 不为等差数列（舍去）．
综上可得 ．
21．（12分）已知双曲线 ，四点 ， ， ，
中恰有三点在双曲线 上.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设双曲线 上任意一点 ，且过点 的直线 与双曲线 的渐近线交于 ， 两点，
为坐标原点，证明： 的面积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）根据题意 两点关于原点对称得都在双曲线上，然后再分情况讨论 两点，从而求解.
（2）将直线 与双曲线方程联立，利用根与系数关系及相关条件从而可求出 面积为定值.
【详解】（1）因为： 关于原点对称，且双曲线 也关于原点对称，所以： 在双曲线 上，
对于点 ， ， ，所以： ，所以点 不在双曲线 上，
所以： 都在双曲线 上，所以： ，解得： ，
所以：双曲线 的标准方程为： .
（2）由题意，双曲线 的两条渐近线方程为 ，由双曲线的对称性，不妨设 为双曲线 右
支上的动点，且 ， ，
将直线方程与渐近线方程联立： ，化简得： ，
又因为： 在双曲线 ： ，所以： ，所以： ，
由根与系数关系得： ，设渐近线 的倾斜角为 ，则 ，
所以： ， ， ，
所以： ，
即 的面积为定值2.
【点睛】对于（2）中求 为定值，利用根与系数关系并结合具体的几何知识从而求解.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司22．（12分）已知抛物线 经过点 .
(1)求抛物线 的方程及其准线方程；
(2)设 为原点，过抛物线 的焦点作斜率不为0的直线 交抛物线 于 两点，直线 分别交直线
于点 和点 ，求证：以 为直径的圆经过定点.
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）将点 的坐标代入抛物线方程可求出 ，从而可求出抛物线方程和准线方程；
（2）设直线 的方程为 ，代入抛物线方程化简，利用根与系数关系，表示出直线
方程，表示出点 和点 的坐标，设 ，由 可求得结果.
【详解】（1）由抛物线 经过点 ，得 .
所以抛物线 的方程为 ，其准线方程为 ..
（2）抛物线 的焦点为 ，设直线 的方程为 .
由 ，得 .
设 ，则 .
直线 的方程为 ，令 ，得 ，同理 .
由抛物线的对称性可得若以 为直径的圆过定点，则定点必在 轴上.
设 ，则 ，
所以 .
令 ，即 ，得 或 .
综上，以 为直径的圆经过 轴上的定点 和 ..
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，第（2）问解题的
关键是根据题意表示出直线 方程，从而可表示出点 和点 的坐标，设 ，再由
化简计算可得结论，考查计算能力，属于较难题.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
