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期中检测卷 04
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知直线a在平面 外，则（ ）
A．a∥ α
B．直线αa与平面 至少有一个公共点
C．a∩ ＝A α
D．直线αa与平面 至多有一个公共点
α
【答案】D
【分析】由直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交得答案．
【解答】解：空间中直线与平面的位置关系有两种，即直线在平面外和直线在平面内，
而直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交，
可知，若直线a在平面 外，则直线a与平面 至多有一个公共点，
故选：D．
α α
【知识点】平面的基本性质及推论
2.在△ABC中， ， ．若点D满足 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意先求出 ， ，再求出 ．
【解答】解：在△ABC中， ， ；如图；∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
又 ，
∴ ＝ ＝ （ ﹣ ）；
∴ ＝ + ＝ + （ ﹣ ）＝ + ；
故选：C．
【知识点】向量加减混合运算
3.设E为△ABC所在平面内一点，若 ＝2 ，则（ ）
A． ＝ + B． ＝ ﹣
C． ＝ + D． ＝ ﹣
【答案】A
【分析】直接利用向量的线性运算的应用和减法求出结果．
【解答】解：E为△ABC所在平面内一点，若 ＝2 ，
根据向量的线性运算： ，
则 ．
故选：A．
【知识点】向量数乘和线性运算
4.复数z满足z（1+i）＝1﹣ai，且z在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，+∞）
【答案】C
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组
求解．【解答】解：由z（1+i）＝1﹣ai，得z＝ ，
∵z在复平面内对应的点在第四象限，
∴ ，解得﹣1＜a＜1．
∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．
故选：C．
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
5.在棱长为4的正方体ABCD﹣ABC D 中，点M为BC 的中点，过点D作平面a使a⊥BM，则平面a截
1 1 1 1 1 1
正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先作出平面 ，进而求出截面的面积．
【解答】解：作出截面 CDEF，点 E，F 分别为 AA，BB 中点，
1 1
α
四边形CDEF的面积为 ＝ ．
故选：C．
【知识点】平面的基本性质及推论
6.已知z＝x+yi，x，y R，i是虚数单位．若复数 +i是实数，则|z|的最小值为（ ）
∈
A．0 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x＝y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数
的单调性即可得出．【解答】解：∵复数 +i＝ ＝ ＝ 是实数，
∴ ＝0，得到x＝y+2．
∴|z|＝ ＝ ＝ ，当且仅当y＝﹣1，x＝1取等号．
∴|z|的最小值为 ．
故选：D．
【知识点】复数的模
7.已知平面向量 ， ， 满足| |＝2| ﹣ |＝2| ﹣ |＝2| |＝2，则 • 的取值范围是（ ）
A．[1，2] B． C． D．
【答案】C
【分析】建立平面坐标系，得出三向量的终点满足的条件，用参数表示出 ，根据三角恒等变换化简即
可求出最小值．
【解答】解：设 ＝ ， ＝ ， ＝ ，则由题意可知PA＝2，AB＝1，PC＝1，BC＝1，
以PA为x轴，以PA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系O﹣xy，
则B点在圆A：（x﹣1）2+y2＝1上，C点在圆P：（x+1）2+y2＝1上，
设B（1+cos ，sin ），C（﹣1+cos ，sin ），
则 ＝ ＝（2+cos ，sin ）， ＝ ＝（cos ，sin ），
α α β β
α α β β
∴ ＝2cos +cos cos +sin sin ，
β α β α β
∵BC＝1，∴| |＝1，∴ + ﹣2 ＝1，
即（1+cos ）2+sin2 +（﹣1+cos ）2+sin2 ﹣2（1+cos ）（﹣1+cos ）﹣2sin sin ＝1，
α α β β α β α β
整理可得：cos cos +sin sin ＝ +2cos ﹣2cos ，
α β α β α β
∴ ＝ +2cos ，
∵|BC|＝1，∴以B为圆心，以1为半径的圆B与圆P有公共点，
α
故1≤|PB|≤2，即1≤（2+cos ）2+sin2 ≤2，∴﹣2≤2cos ≤﹣ ，
α α α
∴ ≤ ≤1．
故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算
8.如图所示，在正方体ABCD﹣ABC D 中，E为棱AA 的上的一点，且AE＝2EA＝2，M为侧面ABBA 上
1 1 1 1 1 1 1 1
的动点．若C M∥面ECD ，动点M形成的图形为线段PQ，则三棱锥B﹣PQC 的外接球的表面积是（
1 1 1 1
）
A．27 B．11 C．14 D．17
π π π π
【答案】D
【分析】若 C M∥面ECD ，则P、Q分别满足BQ＝2QB＝2，BP＝2PA ＝2；然后证明 C Q∥DE，
1 1 1 1 1 1 1
PQ∥DC，根据面面平行的判定定理可推出平面 C PQ∥平面ECD ，故C M∥面ECD ；于是以
1 1 1 1 1
B 为顶点，BP、BQ、BC 分别为长、宽、高构造一个长方体，求得该长方体的体对角线即可得
1 1 1 1 1
三棱锥B﹣PQC 外接球的直径，再由球的表面积公式即可得解．
1 1
【解答】解：若C M∥面ECD ，则P、Q分别满足BQ＝2QB＝2，BP＝2PA＝2．理由如下：
1 1 1 1 1
连接C Q、C P，
1 1
∵AE＝2EA＝2，BQ＝2QB＝2，
1 1
∴C D∥EQ，C D＝EQ，
1 1 1 1
∴四边形C DEQ为平行四边形，∴C Q∥DE．
1 1 1 1
∵BQ＝2QB＝2，BP＝2PA＝2
1 1 1
∴PQ∥AB∥DC．
1 1
又C Q∩PQ＝Q，DE∩DC＝D，C Q、PQ 平面C PQ，DE、DC 平面ECD ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴平面C PQ∥平面ECD ，
1 1
⊂ ⊂
∵C M 平面C PQ，∴C M∥面ECD ．
1 1 1 1
⊂以B 为顶点，BP＝2、BQ＝2、BC ＝3分别为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的体
1 1 1 1 1
对角线为三棱锥B﹣PQC 外接球的直径，
1 1
∴2R＝ ，其中R为外接球的半径，
∴R＝ ，
∴外接球的表面积S＝4 R2＝17 ．
故选：D．
π π
【知识点】球的体积和表面积
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）
9.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量 满足 ，则下列结论正确的是（
）
A． 是单位向量 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据条件可求出 ，从而判断选项 A 正确；可得出 ，从而判断选项 B 正确；对
两边平方即可得出 ，从而判断选项 C 错误；根据前面，可以得出
，从而判断选项D正确．
【解答】解：A．∵ ，∴由 得， ，∴ 是单位向量，该选项正确；
B．∵ ，∴ ，该选项正确；C. ，∴由 得， ，即 ，∴
，该选项错误；
D．∵ ，由上面得， ，∴ ，该
选项正确．
故选：ABD．
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、平面向量数量积的性质及其运算
10.四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2AD＝2DC， ，则下列表示正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据图象以及三角形法则分别求出对应选项的向量，即可判断选项是否正确．
【解答】解：由已知四边形ABCD如图所示：
由图可得： ＝ + + ＝﹣ + + ＝ + ，所以A错误，
＝ ＝ （ + ）＝ + ）＝ + ＝
＝ + ＝ ，B正确，
＝ ＝﹣ ＝ ，C错误，
＝ ＝ ＝﹣ ，D正确，
故选：BD．
【知识点】平面向量的基本定理
11.如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝ AB＝1，E为AB中点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝ ．则（ ）
A．平面PED⊥平面EBCD
B．二面角P﹣DC﹣B的大小为
C．PC⊥ED
D．PC与平面PED所成角的正切值为
【答案】AB
【分析】根据PC的长证明PE⊥平面BCDE，分别计算线线角、线面角、面面角的大小即可作出判断．
【解答】解：∵AB∥CD，BC⊥AB，CD＝BC＝ AB＝BE，
∴四边形BCDE是正方形，∴DE⊥AE，DE⊥BE，
故翻折后DE⊥PE，∵PE＝AE＝1，EC＝ ＝ ，PC＝ ，
∴PE2+EC2＝PC2，故PE⊥EC，又DE∩EC＝E，
∴PE⊥平面BCDE，又PE 平面PDE，
∴平面PED⊥平面BCDE，故A正确，
⊂
由PE⊥平面BCDE可得PE⊥CD，又CD⊥DE，PE∩DE＝E，
∴CD⊥平面PDE，故CD⊥PD，
∴∠PDE为二面角P﹣DC﹣B的平面角，
∵PE＝DE＝1，PE⊥DE，∴∠PDE＝ ，故B正确；
∵DE∥BC，∴∠PCB为异面直线PC与DE所成的角，
∵DE⊥PE，DE⊥BE，PE∩BE＝E，∴DE⊥平面PBE，
∴DE⊥PB，又DE∥BC，∴BC⊥PB，
∴∠PCB＜ ，故C错误；
由CD⊥平面PDE可得∠CPD为PC与平面PDE所成角，
∴tan∠CPD＝ ＝ ＝ ，故D错误．
故选：AB．【知识点】二面角的平面角及求法、平面与平面垂直、直线与平面所成的角
12.如图，正方体ABCD﹣ABC D 的棱长为a，线段BD 上有两个动点E，F，且EF＝ a，以下结论正
1 1 1 1 1 1
确的有（ ）
A．AC⊥BE
B．点A到△BEF的距离为定值
C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣ABC D 体积的
1 1 1 1
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
【答案】ABC
【分析】由异面直线的判定判断 A；由二面角的平面角的定义可判断 B；运用三棱锥的体积公式可判断
C；运用三角形的面积公式可判断D．
【解答】解：对于A，根据题意，AC⊥BD，AC⊥DD ，AC⊥平面BDD B，
1 1 1
所以AC⊥BE，所以A正确；
对于B，A到平面CDD C 的距离是定值，所以点A到△BEF的距离为定值，
1 1
则B正确；
对于C，三棱锥A﹣BEF的体积为
V ＝ • EF•AB•BB•sin45°＝ × × ×a×a× a＝ a3 ，
三棱锥A﹣BEF 1
三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣ABC D 体积的 ，正确；
1 1 1 1
对于D，异面直线AE，BF所成的角为定值，命题D错误；
故选：ABC．
【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.已知平面向量 ， ，其中 ， ， ，则 ＝ ；若 t为实数，则
的最小值为 ．
【分析】根据条件可求出 ，然后根据 进行数量积的运算即可求出
的值；根据 进行数量积的运算即可求出 ，然后配方
即可求出答案．
【解答】解：∵ ，
∴ ＝ ；
＝ ，
∴t＝﹣1时， 取最小值 ．
故答案为： ．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
14.在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9．若 ＝m +
（ ﹣m） （m为常数），则CD的长度是 ．
【分析】以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求得B与C的坐标，
再把 的坐标用m表示．由AP＝9列式求得m值，然后分类求得D的坐标，则CD的长度可求．【解答】解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则B（4，0），C（0，3），
由 ＝m +（ ﹣m） ，得 ，
整理得：
＝﹣2m（4，0）+（2m﹣3）（0，3）＝（﹣8m，6m﹣9）．
由AP＝9，得64m2+（6m﹣9）2＝81，解得m＝ 或m＝0．
当m＝0时， ，此时C与D重合，|CD|＝0；
当m＝ 时，直线PA的方程为y＝ x，
直线BC的方程为 ，
联立两直线方程可得x＝ m，y＝3﹣2m．
即D（ ， ），
∴|CD|＝ ．
∴CD的长度是0或 ．
故答案为：0或 ．
【知识点】向量的概念与向量的模
15.已知复数z＝x+yi（x，y R）满足|z﹣1|＝x，那么z在复平面上对应的点（x，y）的轨迹方程为 ﹣ ；
|z| ＝ ． ∈
min
【分析】把z＝x+yi（x，y R）代入|z﹣1|＝x，整理后可得z在复平面上对应的点（x，y）的轨迹方程，画
出图形，数形结合可得|z| ．
min
∈
【解答】解：∵z＝x+yi（x，y R）且|z﹣1|＝x，
∴|（x﹣1）+yi|＝x∈，即 ，整理得y2＝2x﹣1．
图象如图，
∴|z| ＝ ．
min
故答案为：y2＝2x﹣1； ．
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午
节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形
形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六
面体，则该六面体的体积为 ；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 ．
【分析】该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为 1，在棱长为1的正四面体S﹣
ABC中，取BC中点D，连结SD、AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，求出AD＝SD＝
，OD＝ ＝ ，SO＝ ＝ ，该六面体的体积
V＝2V ；当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，
S﹣ABC
过球心O作OE⊥SD，则OE就是球半径，由此能求出该球体积的最大值．
【解答】解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，
如图，在棱长为1的正四面体S﹣ABC中，
取BC中点D，连结SD、AD，
作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，
则AD＝SD＝ ＝ ，OD＝ ＝ ，SO＝ ＝ ，∴该六面体的体积：
V＝2V ＝2× ＝ ．
S﹣ABC
当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，
过球心O作OE⊥SD，则OE就是球半径，
∵SO×OD＝SD×OE，∴球半径R＝OE＝ ＝ ＝ ，
∴该球体积的最大值为：V ＝ ＝ ．
球
故答案为： ， ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
17.已知向量 ＝（2sinA，1）， ＝（sinA+ cosA，﹣3）， ⊥ ，其中A是△ABC的内角．
（1）求角A的大小；
（2）若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝ ， ＞0，求b+c的取值范围．
【分析】（1）根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 ，从而可求
出 ；
（ 2 ） 根 据 即 可 得 出 ， 然 后 根 据 正 弦 定 理 即 可 得 出，从而可得出 ，从而可得出b+c的取值范围．
【解答】解：（1）∵ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ，
∵0＜A＜ ，∴ ，
π
∴ ，解得 ；
（2）由 ，得∠B为钝角，
∴ ，
由正弦定理，得 ，
∴b＝sinB， ，
∴ ＝ ，
又 ，∴ ，
∴b+c的取值范围为 ．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算
18.如图，在△OAB中，点P为直线AB上的一个动点，且满足 ＝ ，Q是OB中点．
（Ⅰ）若O（0，0），A（1，3），B（ ，0），且 ＝ ，求 的坐标和模？
（Ⅱ）若AQ与OP的交点为M，又 ＝t ，求实数t的值．【分析】（Ⅰ）根据题意， ＝ ，代入可求，然后结合向量模长的坐标表示可求，
（II）由 ，然后结合向量的线性表示可转化为 ＝ ，再结合 ＝t ＝t
（ ），结合平面向量基本定理可求．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，Q是OB中点，即OQ＝ ，
又ON＝ ，且A（1，3），B（ ），
若O（0，0），A（1，3），B（ ，0），且 ＝ ，
可知 ＝（ ）， ＝（ ），
∴ ＝ ＝（1，﹣1），
且| |＝ ＝ ，
（II）因为 ，
所以 ＝ ，可以化简为： ＝ ，
又 ＝t ＝t（ ），
不妨再设 ，即 ＝ ，
所以 ＝（1﹣ ） + ，
μ ①
由Q是OB的中点，所以 ，
即 ＝（1﹣ ） + ，
μ ②由①②，可得1﹣ ＝ ， ，
μ
联立得t＝ ．
【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理
19.已知复数z＝ +（a2﹣1）i，z＝2+2（a+1）i（a R，i是虚数单位）．
1 2
（1）若复数z﹣z 在复平面上对应点落在第一象限，求∈实数a的取值范围；
1 2
（Ⅱ）若虚数z 是实系数一元二次方程4x2﹣4x+m＝0的根，求实数m值．
1
【分析】（1）由复数对应的点在第一象限得到实部大于0，虚部大于0，解不等式组即可；
（Ⅱ）利用z 是实系数一元二次方程4x2﹣4x+m＝0的根，得到另一个根是复数z 的共轭复数，
1 1
利用根与系数的关系得到a和m．
【解答】解：（Ⅰ由已知得到z﹣z ＝ ﹣2+（a2﹣2a﹣3）i，因为在复平面上对应点落在第一象限，所
1 2
以 ，解得 ，所以 ；
（Ⅱ）因为虚数z 是实系数一元二次方程4x2﹣4x+m＝0的根，所以 是方程的另一个根，所
1 1
以 ＝1，所以a＝0，
所以 ， ，
所以 ，所以m＝5．
【知识点】复数的运算
20.已知复数z满足z＝（﹣1+3i）（1﹣i）﹣4．
（1）求复数z的共轭复数；
（2）若 ＝z+ai，且复数 对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
ω ω
【分析】（1）根据复数的代数形式的运算法则，求出复数z，再求z的共轭复数；
（2）求出复数 、z对应的向量 、 ，利用| |≤| |列出不等式求出a的取值范围．
ω ω
【解答】解：（1）复数z＝（﹣1+3i）（1﹣i）﹣4＝﹣1+i+3i+3﹣4＝﹣2+4i，
∴复数z的共轭复数为 ＝﹣2﹣4i；
（2）∵ ＝z+ai＝﹣2+（4+a）i，
∴复数 对应向量为 ＝（﹣2，4+a）；
ω
ω此时| |＝ ＝ ，
又∵复数z对应的向量 ＝（﹣2，4），
∴| |＝2 ；
∴| |≤| |，
ω
∴ ≤2 ，
即a（a+8）≤0，
解得实数a的取值范围是﹣8≤a≤0．
【知识点】复数的模
21.如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB＝AE＝BC＝ AD＝1，BC∥AD，
AE⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，N为DE的中点．
（1）求证：NC∥平面EAB；
（2）求二面角A﹣CN﹣D的余弦值．
【分析】（1）取AE中点F，连接FN，BF，证明四边形BCNF为平行四边形，即可证得NC∥BF，进而得
证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可．
【解答】解：（1）证明：取AE中点F，连接FN，BF，易知 ，
又 ，故 ，
∴四边形BCNF为平行四边形，
∴NC∥BF，
又∵NC 平面ABE，BF 平面ABE，
∴NC∥平面EAB；
⊄ ⊂
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直
角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），E（0，0，1），N（0，1，
），∴ ，
设平面ACN的法向量为 ，则 ，则可取 ，
设平面CND的法向量为 ，则 ，则可取 ，
∴ ，
易知二面角A﹣CN﹣D为钝角，故二面角A﹣CN﹣D的余弦值为 ．
【知识点】二面角的平面角及求法、直线与平面平行
22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AB＝2，PD⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成
的角为45°，过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F．
（Ⅰ）求证：EF⊥DC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣E所成角的余弦值为 ，求 的值．
【分析】（Ⅰ）推导出 AD∥BC，AD∥平面 PBC，从而 AD∥EF，推导出 AD⊥DC，由此能证明EF⊥DC．
（Ⅱ）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
利用向量法能求出 ．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AD∥BC，
∵BC 平面PBC，AD 平面PBC，∴AD∥平面PBC，
∵AD 平面ADFE，平面ADFE∩平面PBC＝EF，
⊂ ⊄
∴AD∥EF，
⊂
∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC，∴EF⊥DC．
（Ⅱ）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
平面ADP的法向量 ＝（0，1，0），
A（2，0，0），D（0，0，0），P（0，0，2 ），B（2，2，0），
令 ＝ ，则 ，∴E（ ），
＝（ ）， ＝（ ），
λ
设平面ADE的法向量为 ＝（x，y，z），
则 ，即 ，
取z＝ ，得 ＝（0， ， ），
λ λ
∴二面角P﹣AD﹣E所成角的余弦值为 ，
∴|cos＜ ＞|＝ ＝ ＝ ，解得 ，
∴ ＝ ．
【知识点】二面角的平面角及求法、空间中直线与直线之间的位置关系
