专题02空间向量及其运算的坐标表示（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_06.专项练习_专题02空间向量及其运算的坐标表示-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题02 空间向量及其运算的坐标表示 一、单选题     a (1,2,1) ab (1,2,1) b  1．（2019·黑龙江省牡丹江一中高二期中）已知向量 ， ，则向量 （ ） (2,4,2) (2,4,2) A． B． (2,0,2) (2,1,3) C． D． 【答案】A 【解析】  b 1,2,11,2,12,4,2 由已知可得 . 故选：A.   b2,0,1 b2,0,1   2．（2020·南京市秦淮中学高二期末）已知向量 ，向量 ，若ab，则实数x（ ） 3 3 6 6 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】   a3,2,x b2,0,1      ， ，ab，ab6x0，解得x6. 故选：D. a (0,1,1),b  (1,1,0) (ab  )a 3．（2019·湖南省衡阳县江山学校高二月考）若向量 ，且 ，则实数 的值是（ ） A．1 B．0 C．2 D．1 【答案】C 【解析】   ab(0,1,1)(1,1,0)(,1,1) 由已知 ，      (ab)a (ab)a (,1,1)(0,1,1)110 由 得： ， 2， 故选：C.   a1,n,2 b2,1,2    4．（2019·浙江省宁波市鄞州中学高二月考）已知空间向量 ， ，若2ab与b垂 r a 直，则 等于（ ） 3 5 37 21 5 3 A． 2 B． 2 C． 2 D． 2 【答案】A 【解析】   a1,n,2 b2,1,2    由空间向量 ， ，若2ab与b垂直，    (2ab)b0 则 ，   2 2abb 即 ， 即2n49， 5 n 即 2 ，   5  a 1, ,2   即  2 ， r 25 3 5 a  1 4  即 4 2 ， 故选：A.   a 2,1,2 b4,2,x   5．（2019·佛山市荣山中学高二期中）已知 ， ，且a//b，则x（ ） A．-4 B．-5 C．5 D．-2 【答案】A 【解析】  a 2,1,2 b4,2,x   因为 ， ，且a//b，    ba 所以存在实数 ，使得 ， 42  2 2 即 解得    x2 x4 故选：A    b a  6．（2019·湖北省沙市中学高二月考）若a (1m,2m1,0),b (2,m,m)，则 的最小值是（ ） 5 6 2 3 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】   b  a   (m1)2 (1m)2 m2  3m2 2  2 b a (m1,1m,m)，所以 ，故选C A (2,1,3) xOz B 7．（2019·南郑中学高二期末）在空间直角坐标系中，点 关于平面 的对称点为 ，则   OAOB ( ) 10 10 12 12 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 A (2,1,3) xOz B(2,1,3) 由题意，空间直角坐标系中，点 关于平面 的对称点 ，     OA =(2,1,3),OB(2,1,3) OAOB 22(1)13312 所以 ,则 ，故选D.   a(4,2,4) b(6,3,2) 8．（2019·陕西省西北农林科技大学附中高二期末）已知向量 ， ，则下列结论 正确的是（ ） a  b  (10,5,6) a  b  2,1,6 A． B．r r  a 6 C．ab10 D． 【答案】D 【解析】   a(4,2,4) b(6,3,2) 因为 ， 所以 a  b  (10,5,2) ， a  b  2,1,6 ， a   b  46234222  a  42 22 42 6 故选：D   9．（2017·陕西省西安中学高二期中）已知 a 2,1,3 ， b  1,4,4 ， c7,7, ，若a  、b  、c  三  个向量共面，则实数 ( ) A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【解析】    a 2,1,3 ， b  1,4,4 ， c7,7, ， a  、b  、c  三个向量共面，     m n cmanb 存在实数 ， ，使得 ，即有： 72mn  7m4n ，  3m4n  解得m5，n3， 实数35433． 故选：A． ABCDABC D 2 E 10．（2020·北京交通大学附属中学高二月考）如图，在边长为 的正方体 1 1 1 1中， 为 BC 的中点，点 P 在底面 ABCD 上移动，且满足 B 1 P  D 1 E ，则线段 B 1 P 的长度的最大值为（ ）4 5 A． 5 B． 2 C．2 2 D．3 【答案】D 【解析】 如下图所示，以点 D 为坐标原点， DA 、 DC 、 DD 1所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ， B 2,2,2 D 0,0,2 E1,2,0 Px,y,00 x2,0 y2 则点 1 、 1 、 ，设点 ，  DE 1,2,2 BP x2,y2,2 1 ， 1 ，  DE  BP BPDE  x22y24 x2y20 x  22y  1 1 ， 1 1 ，得 ， 0 x2 022y2   由 0 y2，得 0 y2 ，得0 y1，   BP  x22 y22 4  5y2 4y8 ， 1  BP  0 y1，当y 1时， 1 取得最大值3. 故选：D. 二、多选题 a (1,1,0) a  e  11．（2019·晋江市南侨中学高二月考）已知向量 ，则与 共线的单位向量 （ ） 2 2 ( , ,0) A． 2 2 B．(0,1,0) 2 2 ( , ,0) C． 2 2 D．(1,1,1) 【答案】AC 【解析】        a  e    a 设与a共线的单位向量为e，所以ae，因而 ，得到 ．   a e  2 2  2 2 故 a  ，而 a   11 2 ，所以e( , ,0)或e( , ,0)． 2 2 2 2 故选：AC．   ax ,y ,z  bx ,y ,z  12．（2020·南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量 1 1 1 ， 2 2 2 ，以下说法错 误的有( )   x x  y y z z 0 ab A．若 ，则 1 2 1 2 1 2 x y z r r 1  1  1 B．若a//b，则 x y z 2 2 2  x x  y y z z cosa,b 1 2 1 2 1 2 C． x2  y2 z2  x2  y2 z2 1 1 1 2 2 2  x  y  z 1 a D．若 1 1 1 ，则 为单位向量 【答案】BD 【解析】     ab x x  y y z z 0 对于A选项，因为ab，则 1 2 1 2 1 2 ，A选项正确； x r r 1 对于B选项，若x 0，且y 0，z 0，若a//b，但分式 x 无意义，B选项错误； 2 2 2 2   x x  y y z z cosa,b 1 2 1 2 1 2 对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知 x2  y2 z2  x2  y2 z2 ，C选项正确； 1 1 1 2 2 2 对于D选项，若 x  y  z 1 ，则 a  12 12 12  3 ，此时，a  不是单位向量，D选项错误. 1 1 1 故选：BD.  a 1,,2 b 2,1,1   a b 120  13．（2020·辽宁省高二期末）若 ， ， 与 的夹角为 ，则 的值为（ ） A．17 B．－17 C．－1 D．1 【答案】AC 【解析】     a  12 4  52, b  411 6 由已知ab224， ，   ab 4 1 cos120    a   b  52  6 2，解得 或 ， 17 1 故选：AC. 三、填空题   a3,2,5 b1,5,1   ab 14．（2019·佛山市荣山中学高二期中）已知 ， ，则 ______. 【答案】2【解析】   a 3,2,5 b1,5,1  ，   a b3125512  故答案为：2 r r  15．（2020·浙江省高二期末）已知向量a=(1,2,2)，b =(2,x,- 1)，则 a  _____；若a  b  ，则x _______ 【答案】3 0 【解析】 r r a=(1,2,2) b =(2,x,- 1) ∵向量 ， ，  |a| 144 3 ∴ .     a b ab 22x20 x0 若 ，则 ，解得 . 故答案为：3，0. a 1,1,0 b  0,1,1 c 1,0,1 p ab  16．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）已知 ， ， ， ， q a2b  c pq  ，则 ______. 【答案】-1 【解析】  p  a  b  1,0,1,q  0,3,1  p  q  0011 依题意 ，所以 . 故答案为：1 ABCDABC D M 17．（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三期末）如图，棱长为2的正方体 1 1 1 1中， 是棱 AA ABB A DP CM PBC 1的中点，点P在侧面 1 1内，若 1 垂直于 ，则 的面积的最小值为__________.2 5 【答案】 5 【解析】 DD 以D点为空间直角坐标系的原点，以DC所在直线为y轴，以DA所在直线为x轴，以 1 为z轴，建立 P(2,y,z),D (0,0,2) 空间直角坐标系.则点 1 ，  DP (2,y,z2) 所以 1 .  C(0,2,0),M(2,0,1) CM (2,2,1) 因为 ，所以 ,   DPCM 42yz20 z 2y2 因为 1 ,所以 ，所以 ，  BP (0,y2,z) 因为B(2，2，0)，所以 ， BP  (y2)2 z2  (y2)2 (2y2)2  5y2 12y8 所以 6 2 y  BP  5 因为0 y2，所以当 5时， min 5 . 1 2 5 2 5 (S )  2  因为BC⊥BP,所以 PBC min 2 5 5 . 2 5 故答案为： 5 . 四、解答题    a 2,1,3 b4,2,x c1,x,2 18．（2020·宁夏回族自治区宁夏育才中学高二期末）已知 ， ， .  a//b x （1）若 ，求 的值；    ab c （2）若 ，求x的值. 【答案】（1）-6；（2）-4. 【解析】   ba （1） ， 24  2 ∴ ，  x3  x6 ∴ .   ab2,1,3x （2） ，    (ab)c ∵ ，    (ab)c0 ∴ ， 2x23x0 ∴ ， x4 ∴ .    AB1,1,1 AC 1,2,1 AD3,y,1 19．（2019·甘肃省静宁县第一中学高二期末）已知向量 ， ， . AD AC y （1）若 ，求 的值； A B C D y （2）若 、 、 、 四点共面，求 的值. y 1 y 4 【答案】（1） ；（2） . 【解析】     AD AC AD AC ADAC 0 （1） ，得 ， ，3,y,11,2,10 32y10 y 1 ， ，解得 ；    （2）由 A 、B、 C 、 D 四点共面，得  ， R ，使得， ADABAC ， 3  2 y ， ，解得 . 1,1,11,2,13,y,1   1 y 4    a (2,1,2) b(1,1,2) c (x,2,2) 20.（2019·北京高二期末）已知向量 ， ， .     |c|2 2 kab c x k （Ⅰ）当 时，若向量 与 垂直，求实数 和 的值；    c a b x （Ⅱ）若向量 与向量 ， 共面，求实数 的值. 1  【答案】（Ⅰ）实数x和k的值分别为0和3.（Ⅱ） 2 【解析】  |c|2 2 x2 22 22 2 2  x0 (Ⅰ)因为 ,所以 .   kab (2k1,1k,2k2) 且 .    kab c 因为向量 与 垂直,    (kab)c0 所以 . 2k60 即 . x k 0 3 所以实数 和 的值分别为 和 . r r r    c a b cab ,R (Ⅱ)因为向量 与向量 ， 共面,所以设 （ ）. (x,2,2)(2,1,2)(1,1,2) 因为 , 1 x ,  2   1 x2,  , 所以 2   2,  3   222,    2 . 1  所以实数x的值为 2 . 21．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知空间三点 A2,0,2,B1,1,2,C3,0,4 a   A  B  ,b    A  C  ，设 .   a b  （1）求 和 的夹角 的余弦值； ka  b  ka2b  k （2）若向量 与 互相垂直，求 的值. 10 5  k  【答案】（1） 10 ；（2） 2或k 2. 【解析】   a  AB (1,1,2)(2,0,2)(1,1,0) ，   b AC (3,0,4)(2,0,2)(1,0,2) ．   ab 100 10 cos     （1） |a||b| 2 5 10 ， 10    所以a与b的夹角的余弦值为 10 .   kab(k,k,0)(1,0,2)(k1,k,2) （2） ，   ka2b(k,k,0)(2,0,4)(k2,k,4) ， (k1,k,2)(k2,k,4)k1k2k2 80 所以 ,2k2 k100 即 ， 5 k  所以 2或k 2. a  1,2,2 22．（2019·建瓯市第二中学高二月考）已知向量 .  a  b （1）求与 共线的单位向量 ；  c  0,m,n a （2）若 与单位向量 垂直，求m，n的值.  2  2 m , m ,  2  2   【答案】（1） 或 .（2） 或  1 2 2   1 2 2  2  2 b   , ,  b    , ,  n n . 3 3 3  3 3 3   2   2 【解析】   b b （1）设 =(λ,2λ,-2λ)，而 为单位向量， 1  ∴|b |=1，即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=1，∴λ=±3. 1 2 2  1 2 2 , ,  , ,       ∴b =3 3 3或b = 3 3 3.    c 1 ac 0 （2）由题意，知 ，且 102m2n0,  故可得  m2 n2 02 1,  2  2 m , m ,  2  2   解得 或  2  2 n n .    2  2 A2,0,2 B1,1,2 C3,0,4 23．（2019·佛山市荣山中学高二期中）已知空间中三点 ， ， ，设    a AB b AC ， .  c 3    （1）若 ，且c//BC，求向量c；    kab b k （2）已知向量 与 互相垂直，求 的值； ABC （3）求 的面积. r 3 【答案】（1） c2,1,2 或c  2,1,2 ；（2）5；（3）2 【解析】 A2,0,2 B1,1,2 C3,0,4     a AB b AC （1）空间中三点 ， ， ，设 ， ，   a  AB 1,1,22,0,21,1,0 所以 ，   b AC 3,0,42,0,21,0,2 ，  BC (3,0,4)(1,1,2)(2,1,2) ， c  3      ，且 c//BC ，设cmBC   cmBC m2,1,22m,m,2m ，  c  (2m)2 (m)2 (2m)2 3m 3 ， r m1 ， c2,1,2 或 c  2,1,2 ．    kabk1,1,01,0,21k,k,2 b1,0,2 （2） ，    kab b 且向量 与 互相垂直，      kab b1k40  ，解得k 5． k 的值是5．    AB1,1,0 AC 1,0,2 BC 2,1,2 （3）因为 ， ，   A  B   12 12  2  A  C   12 22  5 AB AC 1， ，    cos  A  B  ,  A  C   AB  AC  1  1   |AB||AC| 2 5 10 ，     1 3 sin AB,AC  1  10 10 ， 1     S   AB  AC sin AB,AC  ABC 2 1 3   2 5 2 10 3  2．