专题02空间向量及其运算的坐标表示（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_06.专项练习_专题02空间向量及其运算的坐标表示-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题02 空间向量及其运算的坐标表示
一、单选题
   
a (1,2,1) ab (1,2,1) b 
1．（2019·黑龙江省牡丹江一中高二期中）已知向量 ， ，则向量 （
）
(2,4,2) (2,4,2)
A． B．
(2,0,2) (2,1,3)
C． D．
【答案】A
【解析】

b 1,2,11,2,12,4,2
由已知可得 .
故选：A.
 
b2,0,1 b2,0,1  
2．（2020·南京市秦淮中学高二期末）已知向量 ，向量 ，若ab，则实数x（
）
3 3 6 6
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
 
a3,2,x b2,0,1    
 ， ，ab，ab6x0，解得x6.
故选：D.
a (0,1,1),b  (1,1,0) (ab  )a
3．（2019·湖南省衡阳县江山学校高二月考）若向量 ，且 ，则实数
的值是（ ）
A．1 B．0 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
 
ab(0,1,1)(1,1,0)(,1,1)
由已知 ，     
(ab)a (ab)a (,1,1)(0,1,1)110
由 得： ，
2，
故选：C.
 
a1,n,2 b2,1,2   
4．（2019·浙江省宁波市鄞州中学高二月考）已知空间向量 ， ，若2ab与b垂
r
a
直，则 等于（ ）
3 5 37 21
5 3
A． 2 B． 2 C． 2 D． 2
【答案】A
【解析】
 
a1,n,2 b2,1,2   
由空间向量 ， ，若2ab与b垂直，
  
(2ab)b0
则 ，
  2
2abb
即 ，
即2n49，
5
n
即 2 ，
  5 
a 1, ,2
 
即  2 ，
r 25 3 5
a  1 4 
即 4 2 ，
故选：A.
 
a 2,1,2 b4,2,x  
5．（2019·佛山市荣山中学高二期中）已知 ， ，且a//b，则x（ ）
A．-4 B．-5 C．5 D．-2
【答案】A
【解析】 
a 2,1,2 b4,2,x  
因为 ， ，且a//b，
 
 ba
所以存在实数 ，使得 ，
42

2 2
即 解得
 
 x2 x4
故选：A

  b a 
6．（2019·湖北省沙市中学高二月考）若a (1m,2m1,0),b (2,m,m)，则 的最小值是（ ）
5 6 2 3
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
  b  a   (m1)2 (1m)2 m2  3m2 2  2
b a (m1,1m,m)，所以 ，故选C
A (2,1,3) xOz B
7．（2019·南郑中学高二期末）在空间直角坐标系中，点 关于平面 的对称点为 ，则
 
OAOB
( )
10 10 12 12
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
A (2,1,3) xOz B(2,1,3)
由题意，空间直角坐标系中，点 关于平面 的对称点 ，
   
OA =(2,1,3),OB(2,1,3) OAOB 22(1)13312
所以 ,则 ，故选D.
 
a(4,2,4) b(6,3,2)
8．（2019·陕西省西北农林科技大学附中高二期末）已知向量 ， ，则下列结论
正确的是（ ）
a  b  (10,5,6) a  b  2,1,6
A． B．r r 
a 6
C．ab10 D．
【答案】D
【解析】
 
a(4,2,4) b(6,3,2)
因为 ，
所以 a  b  (10,5,2) ， a  b  2,1,6 ， a   b  46234222

a  42 22 42 6
故选：D
 
9．（2017·陕西省西安中学高二期中）已知 a 2,1,3 ， b  1,4,4 ， c7,7, ，若a  、b  、c  三

个向量共面，则实数 ( )
A．3 B．5
C．7 D．9
【答案】A
【解析】
 
 a 2,1,3 ， b  1,4,4 ， c7,7, ， a  、b  、c  三个向量共面，
  
 m n cmanb
存在实数 ， ，使得 ，即有：
72mn

7m4n
，

3m4n

解得m5，n3，
实数35433．
故选：A．
ABCDABC D
2 E
10．（2020·北京交通大学附属中学高二月考）如图，在边长为 的正方体 1 1 1 1中， 为
BC 的中点，点 P 在底面 ABCD 上移动，且满足 B 1 P  D 1 E ，则线段 B 1 P 的长度的最大值为（ ）4 5
A． 5 B． 2 C．2 2 D．3
【答案】D
【解析】
如下图所示，以点 D 为坐标原点， DA 、 DC 、 DD 1所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系Dxyz
，
B 2,2,2 D 0,0,2 E1,2,0 Px,y,00 x2,0 y2
则点 1 、 1 、 ，设点 ， 
DE 1,2,2 BP x2,y2,2
1 ， 1 ， 
DE  BP BPDE  x22y24 x2y20 x  22y
 1 1 ， 1 1 ，得 ，
0 x2 022y2
 
由 0 y2，得 0 y2 ，得0 y1，

 BP  x22 y22 4  5y2 4y8 ，
1

BP
 0 y1，当y 1时， 1 取得最大值3.
故选：D.
二、多选题
a (1,1,0) a  e 
11．（2019·晋江市南侨中学高二月考）已知向量 ，则与 共线的单位向量 （ ）
2 2
( , ,0)
A． 2 2 B．(0,1,0)
2 2
( , ,0)
C． 2 2 D．(1,1,1)
【答案】AC
【解析】
  
    a  e    a
设与a共线的单位向量为e，所以ae，因而 ，得到 ．

 a
e  2 2  2 2
故
a
 ，而
a

 11 2
，所以e( , ,0)或e( , ,0)．
2 2 2 2
故选：AC．
 
ax ,y ,z  bx ,y ,z 
12．（2020·南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量 1 1 1 ， 2 2 2 ，以下说法错
误的有( )
  x x  y y z z 0
ab
A．若 ，则 1 2 1 2 1 2
x y z
r r 1  1  1
B．若a//b，则 x y z
2 2 2  x x  y y z z
cosa,b 1 2 1 2 1 2
C． x2  y2 z2  x2  y2 z2
1 1 1 2 2 2

x  y  z 1 a
D．若 1 1 1 ，则 为单位向量
【答案】BD
【解析】
 
  ab x x  y y z z 0
对于A选项，因为ab，则 1 2 1 2 1 2 ，A选项正确；
x
r r 1
对于B选项，若x 0，且y 0，z 0，若a//b，但分式 x 无意义，B选项错误；
2 2 2 2
  x x  y y z z
cosa,b 1 2 1 2 1 2
对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知 x2  y2 z2  x2  y2 z2 ，C选项正确；
1 1 1 2 2 2
对于D选项，若 x  y  z 1 ，则 a  12 12 12  3 ，此时，a  不是单位向量，D选项错误.
1 1 1
故选：BD.

a 1,,2 b 2,1,1  
a b 120 
13．（2020·辽宁省高二期末）若 ， ， 与 的夹角为 ，则 的值为（
）
A．17 B．－17 C．－1 D．1
【答案】AC
【解析】
 
  a  12 4  52, b  411 6
由已知ab224， ，
 
ab 4 1
cos120   
a

 b

52  6
2，解得 或 ，
17 1
故选：AC.
三、填空题
 
a3,2,5 b1,5,1  
ab
14．（2019·佛山市荣山中学高二期中）已知 ， ，则 ______.
【答案】2【解析】
 
a 3,2,5 b1,5,1
 ，
 
a b3125512

故答案为：2
r r 
15．（2020·浙江省高二期末）已知向量a=(1,2,2)，b =(2,x,- 1)，则 a  _____；若a  b  ，则x
_______
【答案】3 0
【解析】
r r
a=(1,2,2) b =(2,x,- 1)
∵向量 ， ，

|a| 144 3
∴ .
   
a b ab 22x20 x0
若 ，则 ，解得 .
故答案为：3，0.
a 1,1,0 b  0,1,1 c 1,0,1 p ab 
16．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）已知 ， ， ， ，
q a2b  c pq 
，则 ______.
【答案】-1
【解析】
 p  a  b  1,0,1,q  0,3,1  p  q  0011
依题意 ，所以 .
故答案为：1
ABCDABC D
M
17．（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三期末）如图，棱长为2的正方体 1 1 1 1中， 是棱
AA ABB A DP CM PBC
1的中点，点P在侧面 1 1内，若 1 垂直于 ，则 的面积的最小值为__________.2 5
【答案】
5
【解析】
DD
以D点为空间直角坐标系的原点，以DC所在直线为y轴，以DA所在直线为x轴，以 1 为z轴，建立
P(2,y,z),D (0,0,2)
空间直角坐标系.则点 1 ，

DP (2,y,z2)
所以 1 .

C(0,2,0),M(2,0,1) CM (2,2,1)
因为 ，所以 ,
 
DPCM 42yz20 z 2y2
因为 1 ,所以 ，所以 ，

BP (0,y2,z)
因为B(2，2，0)，所以 ，
BP  (y2)2 z2  (y2)2 (2y2)2  5y2 12y8
所以
6 2
y  BP  5
因为0 y2，所以当 5时， min 5 .
1 2 5 2 5
(S )  2 
因为BC⊥BP,所以 PBC min 2 5 5 .
2 5
故答案为： 5 .
四、解答题
  
a 2,1,3 b4,2,x c1,x,2
18．（2020·宁夏回族自治区宁夏育才中学高二期末）已知 ， ， . 
a//b x
（1）若 ，求 的值；
  
ab c
（2）若 ，求x的值.
【答案】（1）-6；（2）-4.
【解析】
 
ba
（1） ，
24

2
∴ ，

x3

x6
∴ .
 
ab2,1,3x
（2） ，
  
(ab)c
∵ ，
  
(ab)c0
∴ ，
2x23x0
∴ ，
x4
∴ .
  
AB1,1,1 AC 1,2,1 AD3,y,1
19．（2019·甘肃省静宁县第一中学高二期末）已知向量 ， ， .
AD AC y
（1）若 ，求 的值；
A B C D y
（2）若 、 、 、 四点共面，求 的值.
y 1 y 4
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
   
AD AC AD AC ADAC 0
（1） ，得 ， ，3,y,11,2,10
32y10 y 1
， ，解得 ；
  
（2）由 A 、B、 C 、 D 四点共面，得  ， R ，使得， ADABAC ，
3

2 y
， ，解得 .
1,1,11,2,13,y,1   1 y 4
  
a (2,1,2) b(1,1,2) c (x,2,2)
20.（2019·北京高二期末）已知向量 ， ， .
   
|c|2 2 kab c x k
（Ⅰ）当 时，若向量 与 垂直，求实数 和 的值；
  
c a b x
（Ⅱ）若向量 与向量 ， 共面，求实数 的值.
1

【答案】（Ⅰ）实数x和k的值分别为0和3.（Ⅱ） 2
【解析】

|c|2 2 x2 22 22 2 2  x0
(Ⅰ)因为 ,所以 .
 
kab (2k1,1k,2k2)
且 .
  
kab c
因为向量 与 垂直,
  
(kab)c0
所以 .
2k60
即 .
x k 0 3
所以实数 和 的值分别为 和 .
r r r
  
c a b cab ,R
(Ⅱ)因为向量 与向量 ， 共面,所以设 （ ）.
(x,2,2)(2,1,2)(1,1,2)
因为 , 1
x ,

2

 1
x2,
 ,
所以 2
 
2,
 3
  222,    2 .
1

所以实数x的值为 2 .
21．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知空间三点
A2,0,2,B1,1,2,C3,0,4 a   A  B  ,b    A  C 
，设 .
 
a b 
（1）求 和 的夹角 的余弦值；
ka  b  ka2b  k
（2）若向量 与 互相垂直，求 的值.
10 5
 k 
【答案】（1） 10 ；（2） 2或k 2.
【解析】
 
a  AB (1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)
，
 
b AC (3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)
．
 
ab 100 10
cos  
 
（1） |a||b| 2 5 10 ，
10
  
所以a与b的夹角的余弦值为 10 .
 
kab(k,k,0)(1,0,2)(k1,k,2)
（2） ，
 
ka2b(k,k,0)(2,0,4)(k2,k,4)
，
(k1,k,2)(k2,k,4)k1k2k2 80
所以 ,2k2 k100
即 ，
5
k 
所以 2或k 2.
a  1,2,2
22．（2019·建瓯市第二中学高二月考）已知向量 .

a  b
（1）求与 共线的单位向量 ；
 c  0,m,n
a
（2）若 与单位向量 垂直，求m，n的值.
 2  2
m , m ,
 2  2
 
【答案】（1） 或 .（2） 或
 1 2 2   1 2 2  2  2
b   , ,  b    , ,  n n .
3 3 3  3 3 3   2   2
【解析】
 
b b
（1）设 =(λ,2λ,-2λ)，而 为单位向量，
1

∴|b |=1，即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=1，∴λ=±3.
1 2 2  1 2 2
, ,  , ,
     
∴b =3 3 3或b = 3 3 3.

  c 1
ac 0
（2）由题意，知 ，且
102m2n0,

故可得
 m2 n2 02 1,
 2  2
m , m ,
 2  2
 
解得 或
 2  2
n n .
 
 2  2
A2,0,2 B1,1,2 C3,0,4
23．（2019·佛山市荣山中学高二期中）已知空间中三点 ， ， ，设   
a AB b AC
， .

c 3   
（1）若 ，且c//BC，求向量c；
  
kab b k
（2）已知向量 与 互相垂直，求 的值；
ABC
（3）求 的面积.
r 3
【答案】（1） c2,1,2 或c  2,1,2 ；（2）5；（3）2
【解析】
A2,0,2 B1,1,2 C3,0,4    
a AB b AC
（1）空间中三点 ， ， ，设 ， ，
 
a  AB 1,1,22,0,21,1,0
所以 ，
 
b AC 3,0,42,0,21,0,2
，

BC (3,0,4)(1,1,2)(2,1,2)
，
c  3    
 ，且 c//BC ，设cmBC
 
cmBC m2,1,22m,m,2m
，

c  (2m)2 (m)2 (2m)2 3m 3
，
r
m1 ， c2,1,2 或 c  2,1,2 ．
  
kabk1,1,01,0,21k,k,2 b1,0,2
（2） ，
  
kab b
且向量 与 互相垂直，
   
 kab b1k40
 ，解得k 5．
k 的值是5．
  
AB1,1,0 AC 1,0,2 BC 2,1,2
（3）因为 ， ，   A  B   12 12  2  A  C   12 22  5
AB AC 1， ，

 
cos  A  B  ,  A  C   AB  AC  1  1
 
|AB||AC| 2 5 10 ，
 
  1 3
sin AB,AC  1 
10 10 ，
1    
S   AB  AC sin AB,AC 
ABC 2
1 3
  2 5
2 10
3

2．