文档文本内容
专题4.4 数学归纳法*
知识储备
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数
学归纳法．
【名师点津】
1．数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推的依据．
2．运用数学归纳法时易犯的错误：
(1)对项数估算错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化易弄错；
(2)不利用归纳假设：归纳假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了；
(3)步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何推导或计算而直接写出所要结论．
能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字
笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．用数学归纳法证明：首项是a ，公差是d的等差数列的前n项和公式是S ＝na ＋ d时，
1 n 1
假设当n＝k时，公式成立，则S＝( )
k
A．a＋(k－1)d B．
1
C．ka＋ d D．(k＋1)a＋ d
1 1
2．已知f(n)＝ ，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝ ＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝ ＋ ＋
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝ ＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝ ＋ ＋
3．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)
＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于( )
A．3k－1 B．3k＋1
C．8k D．9k
4．证明等式12＋22＋32＋…＋n2＝ (n∈N*)时，某学生的证明过程如下：
①当n＝1时，12＝ ，等式成立；
②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＝ ，则当n＝k＋1时，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
＝ ＋(k＋1)2
＝
＝
＝ ，
所以当n＝k＋1时，等式也成立，故原式成立．
那么上述证明( )
A．过程全都正确
B．当n＝1时验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c
的值为( )
A．a＝ ，b＝c＝
B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝
D．不存在这样的a，b，c
6.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步验证 ( )
A.n=1 B.n=2
C.n=3 D.n =4
1 1 1
7.利用数学归纳法证明不等式1+ + +…+ <n(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左
2 3 2n-1
边增加了( )
A.1项
B.k项
C.2k-1项
D.2k项
8．观察下列式子: ， ， ，…，则可归纳出
小于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成
立,则下列说法正确的是( )
A.该命题对于n=6时命题成立
B.该命题对于所有的正偶数都成立
C.该命题何时成立与k取值无关
D.以上答案都不对
10．在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古
代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女
善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长
织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织 尺，
一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知 匹 丈， 丈尺，若这一个月有 天，记该女子这一个月中的第 天所织布的尺数为 ， ，对于
数列 、 ，下列选项中正确的为（ ）
A． B． 是等比数列
C． D．
11．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契
数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列 满足： ， ，
.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为
1，记前 项所占的格子的面积之和为 ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．用数学归纳法证明 对任意 的自然数都成立，则以下满足条件的
的值为（ ）
A． B． C． D．三、填空题
13．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被 x＋y整除”，当第二步假设 n＝2k－
1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
14．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1
时，原式为__________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________________．
16．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的 n条直线把平面分为f(n)部分，则 f(n)＝1＋
.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋________.
1 1 1 1 1 1 1 1
16.用数学归纳法证明1- + - +…+ - = + +…+ 时,第一步应验证的等式是;
2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n
从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的等式是.
四、解答题
17．设f(n)＝1＋ ＋ ＋…＋ (n∈N*)．
求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
18．已知数列{a }中，a＝1，a ＝ (n∈N*)．
n 1 n＋1
(1)计算a，a，a；
2 3 4
(2)猜想a 的表达式，并用数学归纳法证明．
n
19．已知数列{a }的各项均为正数，且满足a ＝1，a ＝ a (4－a )，n∈N*.证明a ＜a ＜
n 1 n＋1 n n n n＋1
2(n∈N*)．
20．平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这
n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
20．已知f(n)＝1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ， － ，n∈N*.
（1）当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；
（2）猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．
21．已知数列 中， 是 的前 项和且 是 与 的等差中项，其中 是不为 的
常数.
（1）求 .
（2）猜想 的表达式，并用数学归纳法进行证明.
22．观察下列等式：．．．．．．
按照以上式子的规律：
（1）写出第5个等式，并猜想第 个等式；
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第 个等式成立．
