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4.4 数学归纳法
思维导图
常见考法考点一 增项问题
【例1】（2020·浙江海曙·效实中学）用数学归纳法证明
的过程中，当 从 到 时，等
式左边应增乘的式子是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 时，等式左边 ，
当 时，等式左边 ，
因此，当 从 到 时，等式左边应增乘的式子为
.故选：C.
【一隅三反】
1．（2020·上海市市西中学月考） ( )，那么
共有（ ）项.
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【解析】 ，共有 项．
故选：B．2．（2020·江西期末（理））用数学归纳法证明不等式 的过程中，由
递推到 时，不等式左边（ ）
A．增加了 B．增加了
C．增加了 D．增加了
【答案】D
【解析】用数学归纳法证明不等式 的过程中
由 时， ，①
当 时，左边 ，
，②，
② ①得：左边 .
故选：D.
3．（2020·甘肃省会宁县第二中学）用数学归纳法证明等式 （n∈N*）的过程
中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）
A．
B．
C．D．
【答案】B
【解析】由数学归纳法知第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到
4．（2020·浙江绍兴·高一期末）用数学归纳法证明“ ”，由
到 时，不等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时，不等式左边为
当 时，不等式左边为
即由 到 时，不等式左边应添加的项是
故选：D
考点二 等式的证明
【例2】．（2020·镇原中学高二期中（理））用数学归纳法证明
.【答案】见解析
【解析】证明：①当 时，左边 ，右边 ，等式成立；
②假 设 当 时等式成立，
即 .
那么，
即当 时等式也成立.
由①②知，等式对任何 都成立.
【一隅三反】
1．（2020·福建高二期中（理））用数学归纳法证明等式
.
【答案】证明见解析
【解析】①当 时，左边 ，
右边 ，左边 右边，原等式成立；
②假设当 时等式成立，即有 ，
那么，当 时，
，
所以当 时，等式也成立，
由①②知，对任意 ，都有 .
2．（2020·广西钦州·高二期末（理））用数学归纳法证明：
.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）要证明 成立，只需证明 成立，
即证明 成立，只需证明 成立，即证明 成立，
因为 显然成立，所以原不等式成立，即 ；
（2）①当 时， ，等式左边 ，右边 ，等式成立；
②设当 时，等式成立，即 ，
则当 时，
，
即 成立，综上所述， ．
考点三 不等式的证明
【例3】．（2019·浙江省春晖中学高二月考）用数学归纳法证明：
.
【答案】证明见解析
【解析】先证明出 ， ，即 ，
构造函数 ，
当 时，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，则 ，
则 ，即 ，
即 ，
对任意的 ，当 时， .
当 时，左边 ，右边 ，左边 右边；假设当 时，不等式成立，即 .
则当 时，则
.
这说明，当 时，原不等式也成立.
综上所述，对任意的 ， .
【一隅三反】
1．（2020·安徽高二期中（文））证明：不等式 ，恒成立.
【答案】见解析
【解析】当 时， 成立
假设 时，不等式 成立
那么 时
， ， ，
即 时，该不等式也成立综上：不等式 ，恒成立 .
2．（2020·安徽蚌山·蚌埠二中（理））试用数学归纳法证明 .
【答案】证明见解析
【解析】（1）当 时，左边＝ ，右边＝ ，不等式成立；
（2）假设当 时，原不等式成立，即 ，
当 时，
∵
∴ ．即 ，
所以，当 时，不等式也成立．
根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立．
考点四 整除问题
【例4】（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明： 能被133整除 ．
【答案】见解析
【解析】证明： ①当 时， 能被133整除，所以 时结论成立，．
②假设当 时， 能被133整除，那么当 时，
．由归纳假设可知 能被133整除，即 能被133整除．所以
时结论也成立
综上，由①②得， 能被133整除
【一隅三反】
1．（2020·上海高二课时练习）求证： 能被 整除．
【答案】证明见解析.
【解析】当n=1时， 能被 整除，
假设当 ,时 能被 整除，
则当 时， ，
其中 能被 整除，所以 能被 整除，
所以 能被 整除，
即当 时， 能被 整除，
所以 能被 整除.
2．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：对任意正整数 能被9整除．
【答案】见解析
【解析】证明：（1）当 时， ，能被9整除，
故当 时， 能被9整除．
（2）假设当 时，命题成立，即 能被9整除，
则当 时， 也能被9整除.综合(1)(2)可得, 对任意正整数 能被9整除．
考点五 数归在数列的应用
【例5】．（2020·江西高二期末（理））设数列 的前 项和为 ，且对任意的正整数 都满足
．
（1）求 ， ， 的值，猜想 的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的 的表达式的正确性．
【答案】（1） ， ， ， ， ；（2）证明见解析．
【解析】（1）当 时， ，∴ ，
当 时， ，∴ ，
∴ ， ，
猜想 ， ；
（2）下面用数学归纳法证明：
①当 时， ， ，猜想正确；
②假设 时，猜想正确，即 ，
那么当 时，可得 ，
即 时，猜想也成立．
综上可知，对任意的正整数 ， 都成立．
【一隅三反】
1．（2019·浙江余姚中学高二期中）已知数列 的前 项和为 ， ，且
.
（1）求 、 、 ；
（2）由（1）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】（1） ， ， ；（2）猜想 ，证明见解析.
【解析】（1） ，
当 时， ，解得 ，即有 ；
当 时， ，解得 ，则 ；
当 时， ，解得 ，则 ；（2）由（1）猜想可得数列 的通项公式为 ．
下面运用数学归纳法证明．
①当 时，由（1）可得 成立；
②假设 ， 成立，
当 时， ，
即有 ，
则 ，
当 时，上式显然成立；
当 时， ，即 ，
则当 时，结论也成立．
由①②可得对一切 ， 成立．
2．（2020·浙江高三开学考试）已知等比数列 的公比 ，且 ， 是 ，
的等差中项，数列 满足：数列 的前 项和为 ．
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）数列 满足： ， ，证明【答案】（1） ， ；（2）详见解析.
【解析】（1）由题意 ，得 ，
即 ，解得 或 ，已知 故 ．
， ．
当 时， ，
当 时， ，
当 时， 满足上式，
， ．
（2）
法1． ，
，累加得当 ， ，
当 ，
∴法2．先用数学归纳法证明当 ， ．
①当 时， ，左式>右式，不等式成立．
②假设 时，不等式成立，即
当 时， ，因为 在 上单调递增，由
，得 ，即 ，可得 ，不等式也成立．
③由①②得证当 ， ．
.
3．（2020·四川省珙县中学月考）若 ，且 .
（1）求 ， ， ， ，
（2）归纳猜想通项公式 ，用数学归纳法证明.
【答案】（1） ；（2） ，证明见解析．
【解析】（1）因为 ，且 .
所以 ， ， ， ；
（2）猜想 ．
可用数学归纳法证明．① 已成立；
②假设 时， ，则 ，
时，命题也成立，
综上对所有正整数 ，都有 ．
