4.4 数学归纳法
基础练
一、单选题
1．如果f(n)=1+ +…+ (n∈N ),那么f(n+1)-f(n)等于（ ）
+
A． B．
C． D．
2．观察下列式子:1+ ,1+ ,1+ ,…,则可归纳出1+ +…+
小于（ ）
A． B． C． D．
3．设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足“当f(k)≥k2成立时总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立．”则下列
命题总成立的是（ ）
A．若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立
D．若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
4．已知n为正偶数,用数学归纳法证明1- +…+ =2 时,若已假设
n=k(k≥2,k为偶数)时命题成立,则还需要用归纳假设证（ ）
A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立
5．在数列{a}中,a= ,且S=n(2n-1)a,通过求a,a,a,猜想a 的表达式为（ ）
n 1 n n 2 3 4 n
A． B． C． D．
6．已知f(n)= +…+ ,则（ ）
A．f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=
B．f(n)中共有(n+1)项,当n=2时,f(2)=1+
C．f(n)中共有(n2-n+2)项,当n=2时,f(2)=1+
D．f(n)中共有(n2-n+1)项,当n=2时,f(2)=1+
二、填空题
7．用数学归纳法证明命题“1+ +…+ (n∈N ,且n≥2)”时,第一步要证明的结论是
+
.
8．用数学归纳法证明关于n的恒等式,当n=k时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表
达式为 .
9．用数学归纳法证明关于n的不等式 +…+ (n∈N ),由n=k递推到n=k+1时,不等式
+
的左边的变化为 .三、解答题
10．用数学归纳法证明12+22+32+…+n2= (n∈N ).
+参考答案
1．【答案】D
【解析】∵f(n+1)=1+ +…+ ,
f(n)=1+ +…+ ,
∴f(n+1)-f(n)=
= .
故选D
2．【答案】C
【解析】所猜测的分式的分母为n+1,而分子3,5,7,…,恰好是第(n+1)个正奇数,即2n+1.
故选C
3．【答案】 D
【解析】由数学归纳法原理可得,
若f(3)≥9成立,则当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,即A不正确.
若f(5)≥25成立,则当k≥5时,均有f(k)≥k2成立,即B不正确.
若f(7)<49成立,则当k≤6时,均有f(k)<k2成立,即C不正确.
若f(4)=25>42成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立.
故选D
4．【答案】B
【解析】根据数学归纳法的步骤,若已假设n=k(k≥2,k为偶数)时命题成立,则还需要用归纳假设证下一个
偶数,即n=k+2时等式成立.故选B
5．【答案】C
【解析】∵由a= ,S=n(2n-1)a,得S=2(2×2-1)a,
1 n n 2 2
即a+a =6a，∴a= .
1 2 2 2
∵S=3(2×3-1)a,即 +a =15a,
3 3 3 3
∴a= .
3
同理可得a= .
4
据此可猜想a= .
n
故选C
6．【答案】C
【解析】f(n)中共有n2-(n-1)+1=n2-n+2项,当n=2时,f(n)=1+ .
故选C
7．【答案】
1 1 1 2+2
【解析】因为n≥2,所以第一步要证的是当n=2时结论成立,即1+ + + > .
2 3 4 2
故填8．【答案】1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2
【解析】1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2
故填1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2
9．【答案】增加
【解析】假设n=k时,不等式成立,即 +…+ ,
则当n=k+1时,不等式左边= +…+
= +…+
= +…+
= +…+ .
故填增加
10．【答案】证明略
【解析】证明：(1)当n=1时,左边=12=1,右边= =1,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N )时等式成立,即12+22+…+k2= ,
+
则当n=k+1时,12+22+…+k2+(k+1)2= +(k+1)2=
=
= ,
即当n=k+1时等式也成立.
由(1)和(2),可知等式对任何n∈N 都成立.
+
