4.4数学归纳法（重点练）-高二数学十分钟同步课堂专练（人教A版选择性必修第二册）_E015高中全科试卷_数学试题_选修2_01.同步练习_同步练习（第四套）

4.4 数学归纳法 重点练 一、单选题 1．用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为 （ ） A．(5k-2k)+4×5k-2k B．5(5k-2k)+3×2k C．(5-2)(5k-2k) D．2(5k-2k)-3×5k 2．已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N 都成立,则a,b,c的值为（ ） + A．a= ,b=c= B．a=b=c= C．a=0,b=c= D．不存在这样的a,b,c 111 1n 1  nN*,n�2  3．用数学归纳法证明不等式234  2n12(n∈N¿,n≥2)时，以下说法正确的是（ ） A．第一步应该验证当 时不等式成立 B．从“ 到 ”左边需要增加的代数式是 C．从“ 到 ”左边需要增加 项 1 1 1 + +⋯+ D．从“ 到 ”左边需要增加的代数式是2k−1 +1 2k−1 +2 2k 4．已知数列 满足 ， ，若对于任意 ，都有 ， 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D．二、填空题 5．用数学归纳法证明“当n∈N 时,1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数”,当n=1时,原式为 + ,从k到k+1时需增添的项是 . 6．已知函数 ，对于 ，定义 ，则 的解析式为________. 三、解答题 7．1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2= ·(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立?并说明你的结论.参考答案 1．【答案】B 【解析】假设当n=k时,5k-2k能被3整除,当n=k+1时,作如下变形:5k+1- 2k+1=5×5k-2×2k=5×5k-5×2k+3×2k=5(5k-2k)+3×2k,就可以应用假设.故选B. 故选B 2．【答案】A 【解析】∵等式对一切n∈N 都成立,∴当n=1,2,3时等式成立,将其分别代入等式,得 + 解得a= ,b=c= . 故选A 3．【答案】D 【解析】第一步应该验证当 时不等式成立,所以 不正确； 因为 ， 所以从“ 到 ”左边需要增加的代数式是 ，所以 不正确； 所以从“ 到 ”左边需要增加 项，所以 不正确。 故选D 4．【答案】B 【解析】用排除法：当 时， ，明显有 ， 下面用数学归纳法证明 ，当 时， ，成立； 假设当 时， 成立， 则当 时， ， 所以当 时， 成立， 综上：对任意 ，都有 ； 另外 ， 所以 ， 所以当 时， 恒成立，排除CD； 当 时， ，若 ，则 ，因为 ，此时 是有可能的， 故排除A， 故选B. 5．【答案】1+2+22+23+24，25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4 【解析】∵当n=1时,原式应加到25×1-1=24, ∴原式为1+2+22+23+24. 从k到k+1时需添上25k+25k+1+…+25(k+1)-1. 故填1+2+22+23+24，25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4 6．【答案】 【解析】 函数对于 ，定义 ，． ， ， 由此可以猜想 以下用数学归纳法证明：当 时， ，显然成立； 假设 时成立，即 ， 则 时， 也成立 故 故填 ． 7．【答案】存在a=3,b=11,c=10使等式对一切正整数n都成立，证明略 【解析】假设存在常数a,b,c,使等式对于一切正整数n成立,令n=1,2,3得 整理得 解得 令S=1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2. n 于是对于n=1,2,3,等式S= (3n2+11n+10)成立. n 用数学归纳法证明等式对于一切n∈N 都成立,过程如下: + ①当n=1时,已得等式成立. ②假设n=k(k≥1,k∈N )时,等式成立, + 即S= (3k2+11k+10), k 则n=k+1时,S =S+(k+1)(k+2)2 k+1 k = (3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2 = (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 = [k(3k+5)+12(k+2)]= [3(k+1)2+11(k+1)+10], ∴当n=k+1时,等式也成立. 根据①②可以断定,对于一切n∈N 等式都成立,即存在a=3,b=11,c=10使等式对一切正整数n都成立. +