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期中测试卷
（考试范围：人教A版2019选择性必修第三册）
姓名： 班级：
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的。
1．A、B、C、D四人并排站成一排，如果A与B相邻，那么不同的排法种数是（ ）。
A、24种
B、12种
48
C、 种
23
D、 种
【答案】B
A2 ⋅A3 =12
【解析】由题意，有 2 3 种，故选B。
2．某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻。现要选3人上台报告
事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告
方案共有（ ）。
80
A、 种
120
B、 种
130
C、 种
140
D、 种
【答案】D
C1 ×C2 ×A3 =120
【解析】报告方案可分为两种，一种是夫妻两人只有一人被选，有 2 5 3 种，
C1 ×A2 ×A2 =20
二是夫妻两人同时被选，有 5 2 2 种，
∴共有
120+20=140
种，故选D。
3．从4件合格品和2件次品共6件产品中任意抽取2件检查，抽取的2件中至少有1件是次品的概率是
（ ）。
2
5
A、
3
5
B、
8
15
C、2
3
D、
【答案】B
【解析】从6件产品中任意抽取2件，共有
C2
6
=15
种抽取方法，
抽取的2件中至少有1件是次品，共有
C1
2
⋅C1
4
+C
2
2 =9
种抽取方法，
9 3
=
则抽取的2件中至少有1件是次品的概率是 15 5 ，
故选B。
2
(x2 +m)⋅(x− ) 6
x x4 30
4．若 的展开式中 的系数为 ，则m的值为（ ）。
15
−
2
A、
5
−
2
B、
5
2
C、
15
2
D、
【答案】C
2 2
(x− ) 6 T =Cr ⋅x6−r ⋅(− ) r =Cr ⋅(−2) r ⋅x6−2r
x r+1 6 x 6
【解析】 的通项公式为 ，
∴
x2 ⋅T
r+1
=C
6
r ⋅(−2) r ⋅x8−2r
，令8−2r=4，解得r=2，
C2
6
⋅(−2) 2 =60
，
m⋅T
r+1
=m⋅C
6
r ⋅(−2) r ⋅x6−2r
，令6−2r=4，解得r=1，
m⋅C1
6
⋅(−2) 1 =−12m
，
2 5
(x2 +m)⋅(x− ) 6 m=
∴
x
的展开式中
x4
的系数为
60−12m=30
，解得
2
，故选C。
5．我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水
克火，火克金。”将这五种不同属性的物质任意排成一排，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质均
不相邻”，则事件A发生的概率为（ ）。
1
24
A、
1
12
B、
1
6
C、
5
12
D、【答案】B
A5 =120
【解析】由题意知，五种不同属性的物质任意排成一列有 5 种排法，
事件A表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”可看作五个位置排列五个元素，
第一位置有五种排列方法，不妨假设是金，
则第二步只能从土与水两者中选一种排放，有两种选择，不妨假设排上的是水，
第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，
10 1
P(A)= =
∴总的排列方法种数为5×2×1×1×1=10 ，∴事件A发生的概率为 120 12 ，故选
B。
(2−x) 7 =a +a⋅(1+x)+a⋅(1+x) 2 +¿⋅¿+a⋅(1+x) 7 a +a +a +¿⋅¿+a =
6．记 0 1 2 7 ，则 0 1 2 6 （ ）。
A、−1
B、2
129
C、
256
D、
【答案】C
(2−x) 7 =a +a⋅(1+x)+a⋅(1+x) 2 +¿⋅¿+a⋅(1+x) 7
【解析】在 0 1 2 7 中，
令x=0，可得
a
0
+a
1
+a
2
+¿⋅¿+a
6
+a
7
=27
，
(2−x) 7 =[3−(1+x)] 7 =a +a⋅(1+x)+a⋅(1+x) 2 +¿⋅¿+a⋅(1+x) 7
又 0 1 2 7 ，
a =C7 ⋅30 ⋅(−1) 7 =−1 a +a +a +¿⋅¿+a =27 −a =128+1=129
则 7 7 ，∴ 0 1 2 6 7 ，故选C。
7．
2019
年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（
COVID−19
）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很
快。因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，
武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊
的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等
“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人。在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患
者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，
则该家庭为“感染高危户”。设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（ 00
g(x)=f(1−p)=(1−x)⋅(1+x)⋅x4 =(1−x2 )⋅x4
设 ，则 ，
1 1
(2−2x2 )+x2 +x2
4
g(x)=(1−x2 )⋅x4
=
×[(2−2x2 )×x2 ×x2
]≤ ×[ ]
3
=
∴ 2 2 3 27 ，
√6 √6
x= p=p =1−
当且仅当
2−2x2 =x2
，即
3
时取等号，即
0 3
，故选A。
8．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬
ξ
行n次后小虫所在位置对应的数为随机变量 n，则下列说法错误的是（ ）。
E(ξ )=0
A、 n
D(ξ )=n
B、 n
P(ξ =0)1
P(ξ
2020
=2)
C1011 ⋅(
1
) 2020
1010
即 2020 2 ，有 P(ξ 2020 =0)>P(ξ 2020 =2) ，错，P(ξ =0)=C1009 ⋅( 1 ) 2018 P(ξ 2020 =0) = 4038 <1
2018 2020 2 P(ξ =0) 4040
D选项， ，即 2018 ，
P(ξ =0)1)=0.68 P(2≤X<3)=0.18
D、若随机变量 ， ，则
【答案】CD
【解析】A选项，求数据1、2、3、4、5、6、7、8、9、 10 的 70% 分位数，i=10×70%=7，
7+8
=7.5
则为 2 ，错，
1 1 1 4
X~B(6, ) D(X)=6⋅ ⋅(1− )=
3 3 3 3
B选项，若随机变量 ，则 ，错，
C选项，若事件A、B满足 P(AB¯)=P(A)⋅[1−P(B)] ，则A与 B¯ 独立，同时A与B独立，对，X~N(2，σ2 ) P(X>1)=P(2≥X>1)+0.5=0.68
D选项，若随机变量 ， ，
P(2≤X<3)=P(160
， 9分
∴点P会受到噪声污染的干扰。 10
分
18．（本小题满分12分）习近平总书记曾提出，“没有全民健康，就没有全面小康”。为响应总书记的号
召，某社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动。运动分为徒手运动和器械运动两大类．该社区
1200 650 550
对参与活动的 人进行了调查，其中男性 人，女性 人，所得统计数据如表所示：（单位：人）。
徒手
性别 器械类 合计
类
男性 590
女性 240
合计 900
99%
（1）请将题中表格补充完整，并判断能否有 把握认为“是否选择器械类与性别有关”？
（2）为了检验活动效果，该社区组织了一次竞赛活动。竞赛包括三个项目，一个是器械类，两个是徒手
4
5
类，规定参与者必需三个项目都参加。据以往经验，参赛者通过器械类竞赛的概率是 ，通过徒手类竞赛
3
4 ξ
的概率都是 ，且各项目是否通过相互独立。用 表示某居民在这次竞赛中通过的项目个数，求随机变量
ξ
的分布列和数学期望。
（参考数据：
12302 =1518900
，
65×65×9=32175
，
1518900÷32175≈47
）
n(ad−bc) 2
K2
=
(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)
附： 。
P(K2 >k) 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【解析】（1）补充完整的2×2列联表如下： 2
分
性 徒手
器械类 合计
别 类
男
590 60 650
性
女
310 240 550
性
合
900 300 1200
计
1200×(590×240−60×310) 2
K2 = ≈188>6.635
∴
650×550×900×300
， 4
分
99%
∴有 把握认为“是否选择机械类与性别有关”；
5分
（2）随机变量 ξ 的所有可能取值为0、1、2、3， 6
分1 1 1 1 4 1 1 1 3 1 1
P(ξ=0)= × × = P(ξ=1)= × × +2× × × =
5 4 4 80 5 4 4 5 4 4 8
， ，
1 3 3 4 3 1 33 4 3 3 9
P(ξ=2)= × × +2× × × = P(ξ=3)= × × =
5 4 4 5 4 4 80 5 4 4 20
， ， 10
分
ξ
∴ 的分布列为：
ξ 0 1 2 3
1 1 33 9
P
80 8 80 20
1 1 33 9
E(ξ)=0× +1× +2× +3× =2.3
80 8 80 20
∴数学期望 。 12分
19．（本小题满分12分） 2020 年11月22日，第 29 届全国中学生数学奥林匹克决赛举行，若将本次成绩
转化为百分制，现从中随机抽取了
100 名学生的成绩，经统计这批学生的成绩全部在[60，100]之内，将数
据按照[60，70)、[70，80)、[80，90)、 [90，100] 的分组作出频率分布直方图，如图所示，已知a、b、c成等
差数列且a−c=0.008
。
（1）求频率分布直方图中a、b、c的值；
100
（2）并估计这 名学生成绩的众数；
（3）若按照分层抽样从成绩在[70，80)、[80，90)的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记X
为3人中成绩在[80，90)的人数，求X的分布列和数学期望。
(0.04+a+b+c)×10=1
【解析】（1）根据频率分布直方图的性质，可得 ， 1
分
∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，又a−c=0.008
， 2
分
联立解得：a=0.024 ，b=0.02 ，c=0.016
； 3
分
（2）众数即频率分布直方图图中最高矩形的底边中点的横坐标，
100 75
故估计这 名学生成绩的众数是 ； 5分
（3）由题意可得：成绩在[70，80)共有0.004×10×100=40
人，
在[80，90)共有0.02×10×100=20
人，∴在[70，80)抽取了4人，在[80，90)中抽取了2人，
7
分
∴随机变量X的取值为0、1、2，
C3 ⋅C0
1
C2⋅C1
3
C1⋅C2
1
P(X=0)= 4 2 = P(X=1)= 4 2 = P(X=2)= 4 2 =
C3 5 C3 5 C3 5
则 6 ， 6 ， 6 ， 10分
∴X的分布列为：
X 0 1 2
1 3 1
P
5 5 5
1 3 1
E(X)=0× +1× +2× =1
∴ 5 5 5 。 12
分
20．（本小题满分12分）北京时间 2021 年11月7日凌晨1点。来自中国赛区的 EDG 战队，捧起了英雄联
盟S11
全球总决赛的冠军奖杯，据统计，仅在
bilibili 平台，S11 总决赛的直播就有3.5亿人观看，电子竞
技作为正式体育竞赛项目已经引起越来越多的年轻人关注，已知该项赛事的季后赛后半段有四支战队参加，
采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：
第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组。
第二轮：胜者组两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜名组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮
落入败者组两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组。
第三轮：败者组两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军），获胜队伍成为败者组第一名。
第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军。
假设每场比赛双方获胜的率均为0.5，每场比赛之间相独立。问：
（1）若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？
（2）已知队伍B在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B获智亚军的
概率。
【解析】（1）由题意可知，第一轮队伍A和队伍D对阵，
则获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，
1 1 1 1
× × =
他们才能在决赛中对阵，∴所求的概率为2 2 2 8；
4
分
W L
（2）设 i表示队伍B在比赛i中胜利， i表示队伍B在比赛i中失败，设事件E：队伍B获得亚军，事件F：队伍B所参加的所有比赛中败了两场，
L L L W L W L L W L W L L W W L
则事件F包括 2 4、 2 4 5、 2 3 5、 2 3 5 6、 2 4 5 6，
且这五种情况彼此互斥，
P(F)=P(L L )+P(L W L )+P(W L L )+P(W L W L )+P(L W W L )
∴ 2 4 2 4 5 2 3 5 2 3 5 6 2 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5
= × + × × + × × + × × × + × × × =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8
， 7
分
E∩F W L W L L W W L
事件 包括 2 3 5 6、 2 4 5 6且这两种情况互斥，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
P(E∩F)=P(W L W L )+P(L W W L )= × × × + × × × =
2 3 5 6 2 4 5 6 2 2 2 2 2 2 2 2 8
∴ ， 10
分
P(E∩F) 1
P(E|F)= =
∴所求事件概率为
P(F) 5
。 12
分
21．（本小题满分12分）现有甲、乙、丙、丁四名同学，分别带着A、B、C、D四个不同的礼物参加
派对进行“礼物交换”游戏，将四个礼物放入袋中，每个同学分别抽取一个礼物。
（1）求四位同学都没有拿到自己所带的礼物的概率；
（2）记X 为未拿到自己所带的礼物的同学的人数，求X的分布列和数学期望。
A4 =24
【解析】（1）四位同学抽取礼物的总情况为： 4 种，
若四位同学都没有拿到自己所带的礼物，则甲同学拿的是B、C、D中的一个，
有3种可能假设甲同学拿的是B，接下来分成两种情况：
2
分
①若乙同学拿的是A礼物，则丙、丁同学分别拿到D、C礼物，共1种情况，
②若乙同学拿的不是A礼物，则乙同学从C、D两个礼物中取一个，有两种可能，
假设乙同学拿的是C礼物，则丙、丁分别拿到D、A礼物，这种情况共有
C1
2
=2
种，
C1 ⋅(1+C1 )=9
四位同学都没有拿到自己所带礼物的情况有： 3 2 种， 4分
9 3
P= =
24 8
∴四位同学都没有拿到自己所带礼物的概率为 ； 5
分
（2）X 为未拿到自己所带礼物的同学的人数，X的可能取值为0、2、3、4， 6
分
1 1
P(X=0)= =
X=0表示四位同学都拿到自己所带的礼物，只有一种可能，∴ A 4 4 24 ，
6 1
P(X=2)= =
X=2表示恰好有两位同学拿到自己所带的礼物，共有
C2
4
=6
种，∴
A
4
4 4
，X=3表示恰有一位同学拿到自己所带的礼物，
C1 =4
从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名同学拿到自己所带的礼物，有 4 ，
假设是甲拿到了A礼物，则其他人都得拿到别人的礼物，还有两种可能：
乙C、丙D、丁B，或者乙D、丙B、丁C，共有4×2=8种，
8 1
P(X=3)= =
A4 3
∴ 4 ，
3
P(X=4)=
8
由（1）可知： ， 10
分
∴X的分布列为：
X 0 2 3 4
1 1 1 3
P
24 4 3 8
1 1 1 3
E(X)=0× +2× +3× +4× =3
24 4 3 8
∴数学期望 。 12分
22．（本小题满分12分）条件概率和条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，随着人们对随机现
象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中。我们可以进行定义：设
X、 Y 是 离 散 型 随 机 变 量 ， 则 X 在 给 定 事 件 Y=y 条 件 下 的 期 望 为 ：
n
E(X|Y=y)=∑x⋅P(X=x|Y=y)=
i i
i=1
n P(X=x，Y=y)
∑x⋅ i
i=1 i P(Y=y) ，其中 {x 1 ，x 2 ，⋅¿⋅，x n } 为X的所有可能取值集合。 P(X=x，Y=y)表示事件“
X=x”与事件“ Y=y ”都发生的概率。
某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p（ 0
