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第四章 数列 单元过关检测 基础A卷
解析版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟
一、单选题
1 1 1
1．已知数列{a }的前4项为：l，- ， ，- ，则数列{a }的通项公式可能为（ ）
n 2 3 4 n
1 1
A．a = B．a =-
n n n n
(-1) n (-1) n-1
C．a = D．a =
n n n n
【答案】D
【解析】
【分析】
分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式
【详解】
(-1) n-1
正负相间用(-1) n-1表示，∴a = ．
n n
故选D．
【点睛】
本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律．
2．记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则数列 的公差为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】A
【分析】
利用等差数列{a}的前n项和与通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a}的公差．
n n
【详解】
∵S 为等差数列{a}的前n项和，a＝3，S＝21，
n n 3 6
∴ ，
解得a＝1，d＝1．
1
∴数列{a}的公差为1．
n
故选A．【点睛】
本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基
础题．
3．已知数列 ，满足 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用递推公式计算出数列 的前几项，找出数列 的周期，然后利用周期性求出 的值.
【详解】
，且 ， ， ，
，所以， ，
则数列 是以 为周期的周期数列， .
故选C.
【点睛】
本题考查利用数列递推公式求数列中的项，推导出数列的周期是解本题的关键，考查分析问题和解
决问题的能力，属于中等题.
4．在等比数列 中， ，则 =
A． 或 B． C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】
根据等比数列的性质得 ，又由 ，联立方程组，解得 的值，
分类讨论求解，即可得到答案.
【详解】由题意，根据等比数列的性质，可得 ，
又由 ，联立方程组，解得 或 ，
当 时，则 ，此时 ；
当 时，则 ，此时 ，
故选A.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中解答中根据等比数列的性质，联立方程组，求得
的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
5．等比数列 中（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【分析】
根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案.
【详解】
等比数列 中， ，
当 时，可得 ，及 ，故B正确；
但 和 不能判断大小（ 正负不确定），故A错误；
当 时，则 ，可得 ，即 ，可得 ，
由于 不确定，不能确定 的大小，故CD错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.6．两等差数列 和 ，前n项和分别为 ， ，且 ，则 的值为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
在 为等差数列中，当 ， ， ， 时， ．所以结合此
性质可得： ，再根据题意得到答案．
【详解】
解：在 为等差数列中，当 ， ， ， 时， ．
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题．
7．函数 的正数零点从小到大构成数列 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将函数化简为 ，再解函数零点得 或 ，
，再求 即可.
【详解】
解：∵
∴ 令 得： 或 ， ，
∴ 或 ， ，
∴ 正数零点从小到大构成数列为：
故选：B.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.
8．已知函数 （ ），正项等比数列 满足 ，则
A．99 B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为函数 （ ），
正项等比数列 满足 ，则 ，选C
二、多选题
9．无穷数列 的前 项和 ，其中 ， ， 为实数，则（ ）
A． 可能为等差数列
B． 可能为等比数列
C． 中一定存在连续三项构成等差数列
D． 中一定存在连续三项构成等比数列
【答案】AC
【分析】
由 可求得 的表达式，利用定义判定得出答案．
【详解】
当 时， ．
当 时， ．
当 时，上式＝ ．
所以若 是等差数列，则
所以当 时， 是等差数列，不可能是等比数列；当 时， 从第二项开始是等差数
列．
故选：AC
【点睛】
本题只要考查等差数列前n项和 与通项公式 的关系，利用 求通项公式，属于基础题．
10．已知数列 的首项为4，且满足 ，则（ ）
A． 为等差数列B． 为递增数列
C． 的前 项和
D． 的前 项和
【答案】BD
【分析】
由 得 ，所以可知数列 是等比数列，从而可求出
，可得数列 为递增数列，利用错位相减法可求得 的前 项和，由于
，从而利用等差数列的求和公式可求出数列 的前 项和.
【详解】
由 得 ，所以 是以 为首项，2为公比的
等比数列，故A错误；因为 ，所以 ，显然递增，故B正确；
因为 ， ，所以
，故 ，
故C错误；因为 ，所以 的前 项和 ，
故D正确.
故选：BD
【点晴】
本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差
数列前n项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.11．已知无穷等差数列 的前n项和为 ， ，且 ，则（ ）
A．在数列 中， 最大 B．在数列 中， 或 最大
C． D．当 时，
【答案】AD
【分析】
由已知得到 ,进而得到 ,从而对ABD作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的
关系可等价转化为 ，可知不一定成立，从而判定C错误.
【详解】
由已知得： ,
结合等差数列的性质可知， ,该等差数列是单调递减的数列，
∴A正确，B错误，D正确，
,等价于 ,即 ,等价于 ，即 ,
这在已知条件中是没有的，故C错误.
故选:AD.
【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.
12．将 个数排成 行 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的 个数从上到下构成以 为公差
的等差数列，每一行的 个数从左到右构成以 为公比的等比数列（其中 ）.已知 ，
，记这 个数的和为 .下列结论正确的有（ ）
……A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】
根据等差数列和等比数列通项公式，结合 可求得 ，同时确定 、 的值、得到
的正误；首先利用等比数列求和公式求得第 行 个数的和，再结合等差求和公式得到
的正误.
【详解】
对于 ， ， ， ，又 ，
， 正确；
对于 ， ， ， 错误；
对于 ， ， ， 正确；
对于 ，第 行 个数的和 ，
， 正
确.
故选： .
【点睛】
本题考查数列中的新定义问题，解题关键是能够灵活应用等差和等比数列的通项公式和求和公式，
将新定义的数阵转化为等差和等比数列的问题来进行求解.
三、填空题
13．已知 为等差数列, , 前n项和 取得最大值时n的
值为___________.【答案】20
【分析】
先由条件求出 ，算出 ，然后利用二次函数的知识求出即可
【详解】
设 的公差为 ，由题意得
即 ， ①
即 ，②
由①②联立得
所以
故当 时， 取得最大值400
故答案为：20
【点睛】
等差数列的 是关于 的二次函数，但要注意 只能取正整数.
14．《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠
亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚五尺，
两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；
小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的 .问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”
如果墙足够厚，S 为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S =_____尺.
n n
【答案】2n+1﹣21﹣n
【分析】
写出两只老鼠打洞的通项公式，利用分组求和即可得解.
【详解】根据题意大老鼠第n天打洞 尺，
小老鼠第n天打洞 尺，
所以
故答案为：
【点睛】
此题考查等比数列的辨析，写出通项公式，根据求和公式求和，关键在于熟练掌握相关公式，涉及
分组求和.
15．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．
例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一
圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是
__________．
【答案】405
【分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，
16．
如图，互不相同的点 和 分别在角O的两条边上，所有 相互平
行，且所有梯形 的面积均相等.设 .若 ， ，则数列 的通项公
式是________.
【答案】
【分析】
根据三角形相似和所有梯形 的面积均相等，找到与 相关的递推公式，再由递推公
式求得通项公式.
【详解】
由于 所以
梯形 的面积为 的面积減去 的面积，
则可得 即递推公式为
故 为等差数列，且公差 ，
故 ，得故答案为:
【点睛】
本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中
档题.
四、解答题
17．设等差数列 的前n项的和为 ，且 ， ，求：
（1）求 的通项公式 ；
（2）求数列 的前14项和.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由已知条件列出关于 的方程组，求出 可得到 ；
（2）由通项公式 先判断数列 中项的正负，然后再化简数列 中的项，即可求出结果.
【详解】
解：（1）设等差数列 的公差为d，依题意得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴由 得 ，
∴.
【点睛】
此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题.
18．数列 满足 ， ，
（1）设 ，证明数列 是等差数列
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明过程见详解；（2） .
【分析】
（1）先化简得到 即 ，再求得 ，最后判断
数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列.
（2）先求出数列 的通项公式 ，再运用“裂项相消法”求数列 的前 项和
即可.
【详解】
解：（1）因为 ，所以
因为 ，所以 ，且
所以数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列.
（2）由（1）的 ，
所以
所以【点睛】
本题考查利用定义求等差数列的通项公式、根据递推关系判断数列是等差数列、根据“裂项相消
法”求和，还考查了转化的数学思维方式，是基础题.
19．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面
的问题中，若问题中的 存在最大值，则求出最大值；若问题中的 不存在最大值，请说明理由.
问题：设 是数列 的前 项和，且 ，__________，求 的通项公式，并判断 是否
存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【分析】
若选①，求出数列 是首项为4，公比为 的等比数列，求出通项公式和前 项和，通过讨论
的奇偶性，求出其最大值即可；
若选②，求出数列 是首项为4，公差为 的等差数列，求出通项公式和前 项和，求出其最
大值即可；
若选③，求出 ，当 时， ，故 不存在最大值.
【详解】
解：选①
因为 ， ，所以 是首项为4.公比为 的等比数列，
所 .当 为奇数时， ，
因为 随着 的增加而减少，所以此时 的最大值为 .
当 为偶数时， ，
且
综上， 存在最大值，且最大值为4.
选②
因为 ， .所以 是首项为4，公差为 的等差数列，
所以 .
由 得 ，
所以 存在最大值.且最大值为 （或 ），
因为 ，所以 的最大值为50.
选③
因为 ，所以 ，
所以 ， ，… ，
则 ，
又 ，所以 .当 时， ，
故 不存在最大值.
【点睛】
此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题
20．已知数列 的前n项和为 ，满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）利用 ， ，可得 为等比数列，利用等比数列的通项公式即可
求得通项公式 ；
（2）利用错位相减法求和即可求 ．
【详解】
（1）当 时， ，解得 ，
当 时，由 可得
，
两式相减可得 ，即 ，
所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以
（2）由（1） ，
，则 ，
两式相减得
，
所以 ．
【点睛】
方法点睛：
由数列前 项和求通项公式时，一般根据 求解，考查学生的计算能力.
21．已知数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 ， 表示不超过 的最大整数，求 的前1000项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）利用 可求出；
（2）根据数列特点采用分组求和法求解.
【详解】
（1）当 时， ，
当 时， ，
将 代入上式验证显然适合，所以 .
（2）因为 ， ， ， ，所以 ，
所以 .
【点睛】
本题考查 和 的关系，考查分组求和法，属于基础题.
22．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作
答.
已知 是各项均为正数的等差数列，其前n项和为 ，________，且 ， ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求 .
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）利用 ， ， 成等比数列，可得 ，
若选①：由 得： ，即可解出 和 的值，即可求出 的通项公式；
若选②：由 可得 ，即可解出 和 的值，即可求出 的通项公式；
若选③：由 ，可表示出 ， ，结合 ， ， 成等比数列，
即可解出 和 的值，即可求出 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，分 为奇数和偶数，利用并项求和即可求解.【详解】
是各项均为正数的等差数列， ， ， 成等比数列.
所以 ，即 ，
整理可得 ，
若选①： ，则 ，即 ，
由 可得 代入 可得：
，解得 或 （舍）
所以 ，
所以 ，
若选②： ，即 ，代入 得：
，即
解得： 或 不符合题意；
若选③： ，则 ， ，
代入 可得
解得： 或 不符合题意；
综上所述： ，
，（2） ，
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
所以 .
【点睛】
关键点点睛：本题得关键点是分别由条件①②③结合 ， ， 成等比数列计算出 和 的值，
由 是各项均为正数的等差数列，所以 ， ，第二问中 正负交错的数列
求和，需要用奇偶并项求和，注意分 为奇数和偶数讨论.
